Тема: «Теорема синусов».
план-конспект урока по геометрии (9 класс) на тему

Урок геометрии в 9 классе.

     Тип урока: ОНЗ.

Тема: «Теорема синусов».

Автор: Метрик Е.В.

Урок составлен в технологии деятельностного метода.

Основные цели:

1.Доказать теорему синусов и показать ее применение при решении задач.

2. Повторить и закрепить:  вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними, вычисление площади параллелограмма, пропорция, основное свойство пропорции, умение составлять новые пропорции, умение выразить один из членов пропорции через остальные три.

Оборудование, демонстрационный материал.

задания для актуализации знаний:

использование решение домашнего задания №1020(в),№1021,№1024(а,б)

2) Найти отношения и сравнить

ВС/ Sin α

АВ/ SinС

3)Для произвольного треугольника АВС найти отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов и сравнить полученные результаты.

2)Эталоны

S=½ a×b×sin α, где а,b-стороны треугольника,α- угол между ними

S= a×b×sin α, где а,b-стороны параллелограмма, α- угол между ними

Эталон:  а = с

               в        d

( аd=вс)

а   = в     =с

sinА sinВ  sinС

Эталон для самопроверки самостоятельной работы

Карточка для этапа рефлексии

                   Ответьте на вопросы:

1)Данная тема мне понятна.

2)Я хорошо понял теорему синусов

3)Я знаю, как пользоваться теоремой синусов

4)В  самостоятельной работе у меня все получилось

5)Я понял теорему, но в самостоятельной работе на уроке допустил ошибки при вычислении___________________________________________________

6)Я доволен своей работой на уроке___________________________________

Раздаточный материал

Индивидуальные доски для обратной связи

Карточка план- реализации проекта для работы на этапе «Реализация построенного проекта»

1.Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2),(3)

2.Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на                                   (½ВС)

3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

      4.Аналогично, приравняйте 2 и 3 раенства и проделайте аналогичные шаги.

   5.Сделайте вывод.

Таблица Брадиса.

   Ход урока

1 этап. Мотивация к учебной деятельности.

Цель этапа: 1)включить учащихся в учебную деятельность;

2) определить содержательные рамки урока;

Организация учебного процесса на этапе 1

-Здравствуйте, умницы и умники, я рада вас видеть.

-Чем мы занимались на прошлом уроке? (мы доказали теорему о площади треугольника)

-Какие задачи вы учились решать? ( на вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними)

-Сегодня на уроке мы продолжим работать с треугольником и расширим свои знания о нем.

-Я уверена, что на этом уроке мы с вами будем так же дружно и успешно работать, как и на предыдущих уроках.

- Желаю вам новых открытий и успешных ответов.

2 этап. Актуализация знаний и фиксация индивидуальных затруднений в пробном действии.

Цель этапа:1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: теоремы синусов;

2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение;

3) зафиксировать все повторяемые понятия и алгоритмы в виде схем и символов: в виде правил, теорем.

4) ) зафиксировать индивидуальные затруднения в деятельности, демонстрирующие на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: : теоремы синусов

Организация учебного процесса на этапе 2

-Чем мы будем заниматься на этом этапе урока?

-Сформулируйте теорему о площади треугольника. (Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними)

 На доске появляется эталон        

S=½ a×b×sinα, где а,b-стороны треугольника,α- угол между ними.

Проверим  решение домашней задачи № 1020(в) с помощью кодоскопа.

- ученик, подготовивший решение на пленке комментирует решение задачи.

S==½×14×7×sin48=7×7×0,7347=36 ( см2)

- Как вы определили значение синуса угла 48 градусов? (пользуясь таблицей Брадиса, с помощью калькулятора...)

- Что в домашней задаче № 1021 вам нужно было доказать.

(Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними)

- Кто желает доказать?

На доске появился эталон:

S= a×b×sin α, где а,b-стороны параллелограмма, α- угол между ними.

- Разберем решение задачи №1024(а) и № 1020(б), которые учащиеся должны были решить по выбору.

№1020(а)

                    В                     Найдите площадь треугольника АВС,

                                            если ‹А= α, а высоты, проведенные из

        вершин В и С, соответственно равны h и h

К

С        С

А                 Н

Решение:

½АС×h =  ½АВ ×h                                                                                            

Из треугольника АВН по определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем

Sin α=h/ АВ→АВ=h/  Sin α

Из треугольника АКС по определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем

Sin α=h/ АС→АС=h/  Sin α

3) По формуле

S=½ a×b×sin α, где а,b-стороны треугольника,α- угол между ними

 Найдем площадь треугольника

S=½ АВ× АС×sin α= ½ h/  Sin α× h/  Sin α× Sin α =h ×h/ 2 sinα

 №1020(б)

                             В

 А        Н           Н        С        С

Найдите площадь треугольника АВС, если ‹А= α, ‹В=β, а высота, проведенная из вершины В, равна h.

Решение.

-На планшетах, в группах найдите отношение стороны ВС к синусу противолежащего угла, и отношение стороны АВ к синусу противолежащего угла и сравните результаты.

 ВС/ Sin α=h/Sin( α+β) Sin α

АВ/ Sin( α+β)=h/ Sin( α+β) Sin α

Учащиеся в группах по 4 человека работают, по окончании работы представители от групп выходят к доске и демонстрируют полученные результаты - отношения равны.

-Как называется полученное равенство? ( пропорция)

Эталон:  а = с

               в        d

_Составьте новые пропорции.

На доске эталоны.

Выразите в пропорции а, в, с,d

-Назовите основное свойство пропорции ( аd=вс)

Эталон.

Обобщаем, какие эталоны появились на доске.

Какое последнее равенство мы получили, использовав решение домашней задачи? (стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов).

-Чем мы сейчас займемся? ( мы получим задание, в котором будет затруднение)

-А для чего мы это сделали? ( мы повторили , чтобы все это использовать для открытия нового)

- На планшетах, в группах.

             В

А        С

Найдите отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и докажите, что они равны.

-Чем отличается это задание от предыдущего? ( нам  нужно доказать, что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

- Что вам придется доказывать? ( равенство отношений)

-Как называется равенство, которое требуется доказать? ( теорема)

-Сформулируйте тему урока. ( Доказать теорему о том,  что отношения сторон к синусам противолежащих углов равны)

-В геометрии эта теорема называется теоремой синусов.

Согласованная тема записывается на доске и в тетрадях

«Теорема синусов».

Попробуйте  доказать теорему..

На выполнение задания отводится 2 минуты.

Задания выполняют на индивидуальных досках в группах.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

По истечению времени прошу продемонстрировать полученные результаты.

Некоторые выставляю на доску.

3 этап. Выявление места и причины затруднения.

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности: отсутствие формулы для вычисления площади треугольника  по двум сторонам и углу между ними .

Организация учебного процесса на этапе 3

        Вариант первый:  фиксирую, что нет правильных ответов.

-Что показало выполнение задания?

( Мы не смогли решить эту задачу.)

Вариант второй: фиксирую правильные ответы.

-Вы можете доказать, что вы правильно выполнили задание?

-Нет.

_Что показало выполнение пробного задания? ( Мы не можем доказать                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               правильность своего решения)

-Какое задание вы должны были выполнить? ( Найти отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и доказать, что они равны)

_ В чем у вас было затруднение? (мы не смогли выполнить задание  или  не смогли обосновать свое решение)

 -Как вы пытались выполнить задание? Какие известные знания пытались применить?

-Вы выяснили чего вы не знаете? (не знаем, как доказать)

- Что мы теперь будем делать?

( доказывать теорему…)

_ я вам в этом помогу.

4 этап. Построения проекта выхода из затруднения.

Цель этапа:1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устанавливающего причину выявленного затруднения;

Организация учебного процесса на этапе 4

Чем мы сейчас будем заниматься? (построим план выхода из затруднения)

     -Сформулируйте цель нашей деятельности? ( Найти отношения сторон ВС, АВ, АС к синусам противоположных углов и доказать, что они равны)

-Как вы думаете какие знания нам помогут из тех, что мы повторили в процессе актуализации?

-Какая формула выражает зависимость между сторонами треугольника и синусами его углов?

S=½ a×b×sinα, где а,b-стороны треугольника,α- угол между ними.

-Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А.

S=½ АВ×ВС×sinВ,  (1)

S=½ АС×ВС×sinС,  (2)

S=½ АВ×АС×sinА,  (3)

- Можно ли приравнять 1и2, 2и3, 1и3 равенства?

-Почему? ( площадь одного и того же треугольника выражена по разному)

-Какое равенство у вас получится, если приравнять (1) и (2) равенства?

( ½ АВ×ВС×sinВ= ½ АС×ВС×sinС )

На что можно разделить полученное равенство? (½ВС)

-Какое равенство получится? (  АВ×sinВ= АС×sinС )

-Чему равно отношение АВ к sinС ? ( АС к sinВ)

-Аналогично можно провести работу со (2) и (3) равенствами?

Давайте обобщим все сказанное и составим план доказательства.

1.Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2),(3)

2.Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на                                   (½ВС)

3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

      4.Аналогично, приравняйте 2 и 3 раенства и проделайте аналогичные шаги.

   5.Сделайте вывод.

5 этап. Реализация построенного проекта.

Цель этапа: Организовать построение выхода из затруднения в групповой форме

Организация учебного процесса на этапе 5

Чем вы сейчас будете заниматься? (С помощью построенного плана реализовывать проект)

Далее работают учащиеся в группах.

На экране и у каждой группы  план реализации проекта.                  1.Выразите площадь треугольника через синус угла В, затем угла С, затем угла А. Пронумеровать равенства (1), (2),(3)

2.Приравняйте 1 и 2 равенства, разделите полученное равенство на                                   (½ВС)

3. Запишите полученное равенство и составьте пропорцию: равенство отношений сторон треугольника к синусам противолежащих углов.

         4.Аналогично, приравняйте 2 и 3 равенства и проделайте аналогичные шаги.

        5.Сделайте вывод.

На планшетах четко нумеруют этапы решения.

К доске приглашаются учащиеся для оглашения результата деятельности.

Подведение итогов.

А где мы можем проверить правильность нашего решения?

Откроем учебники на стр.242

Итак, мы доказали теорему синусов.

Эталон на доске:

а   = в     =с

sinА sinВ  sinС

6 этап Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.

 Цель этапа: зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 6

-Какую учебную цель вы перед собой ставили? ( доказать, что стороны треугольника пропорциональны синусам противоположных углов)

-Вы справились с поставленной задачей?9да)

-Что сейчас вы будете делать?( попробуем эту теорему применить при решении задач)

-Откройте рабочую тетрадь по геометрии на стр 23, прочитайте задачу № 41.

Кто желает решить эту задачу?

7 этап. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Цель этапа: проверить свое умение применять теорему о площади треугольника в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.

Организация учебного процесса на этапе 7

Что вы сейчас будете делать?(потренируемся)

Самостоятельно в тетрадях  решите № 1025

На экране эталон решения

Выяснить у кого какие результаты.

Кто и где допустил ошибку.

8 этап. Включение в систему знаний и повторение.

Цель этапа:1) тренировать навыки использования нового содержания с ранее изученным.

Организация учебного процесса на этапе 8

Чем вы сейчас будете зниматься? (будем выполнять задание,где используется теорема синусов)

№ 1026

Приглашаю к доске ученика.

9 этап. Рефлексия учебной деятельности на уроке.

 Цель этапа: зафиксировать новое содержание, оценить собственную деятельность.

Организация учебного процесса на этапе 9

-Какую цель вы ставили перед собой на уроке?

-Вы достигли поставленной цели?

Что помогало выполнять задание?

-Проанализируйте свою работу на уроке, заполнив карточку.

Карточка для этапа рефлексии

                   Ответьте на вопросы:

1)Данная тема мне понятна.

2)Я хорошо понял теорему синусов

3)Я знаю, как пользоваться теоремой синусов

4)В  самостоятельной работе у меня все получилось

5)Я понял теорему, но в самостоятельной работе на уроке допустил ошибки при вычислении___________________________________________________

6)Я доволен своей работой на уроке_______________________________________

По желанию 2-3 человека озвучивают свой анализ деятельности на уроке

Домашнее задание.

П.97, № 42 из рабочей тетради, № 1025( б, д, ж, и- две задачи по выбору учащегося)