Теорема Пифагора
презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме

Слайд 1

Теорема Пифагора Выполнил: Панасенко Станислав, 9А Руководитель: Гордеева Светлана Николаевна

Слайд 2

Содержание 1. Предисловие 2. Цели проекта 3. Формулировка теоремы 4. Историческая справка 5. Доказательства теоремы 6. Практические задачи с применением теоремы 7. Информационные ресурсы 8. Заключение

Слайд 3

Предисловие И ныне теорема Пифагора верна, Как и в его далёкий век. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость.

Слайд 4

Цели проекта: Узнать, существует ли единственное доказательство теоремы, предложенное в школьном учебном материале. Научиться применять теорему Пифагора в решении практических задач.

Слайд 5

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Слайд 6

История теоремы: В древнекитайском сочинении «Чу-пей» так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3,4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Слайд 7

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² уже было известно египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Слайд 8

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

Слайд 9

Приведём несколько доказательств теоремы Пифагора

Слайд 10

Построим треугольник ABC с прямым углом С. Построим BF=CB, BF  CB Построим BE=AB, BE  AB Построим AD=AC, AD  AC Точки F, C, D принадлежат одной прямой. Начало доказательства методом Гофмана A B C a b c F D E

Слайд 11

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF= Е CB . Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC , получим: 1/2а 2 +1/2 b 2 =1 / 2 с 2 Соответственно: а 2 + b 2 = с 2 A B C D F E a b c Что и требовалось доказать!

Слайд 12

Алгебраическое доказательство (метод Мёльманна ) Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5 ab , с другой pr , где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности ( r=0.5(a+b-c)). A C B a b c

Слайд 13

Имеем: 0 .5ab=pr= = 0.5(a+b+c) * * 0.5(a+b-c) Отсюда следует, что с 2 = а 2 + b 2 A C B a b c Что и требовалось доказать!

Слайд 14

От Индийского математика Бхаскари Построим из прямоугольных треугольников квадрат И ллюстрирует доказательство великого индийского математика Бхаскари (знаменитого автора Лилавати, XII в.). Рисунок сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. c 0,5ab c 0,5ab c 0,5ab b c a ( b-a) 2 0,5ab

Слайд 15

Здесь изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c 2 = a 2 + b 2 . Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Слайд 16

Доказательство по косинусу Построим высоту из прямого угла С. По определению косинуса: Cos A= AD:AC=AC:AB AB*AD=AC 2 b c a C D A B

Слайд 17

Аналогично: cosB=BD:BC=BC:AB AB*BD=BC 2 Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC 2 +BC 2 =AB(AD+DB)=AB 2 Теорема доказана!!!

Слайд 18

Вывод №1 Существует вовсе не одно, а множество доказательств теоремы Пифагора (около 500). Но к сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы.

Слайд 19

Применение теоремы Пифагора на практике Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует огромное количество доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Слайд 20

Примеры задач с применением теоремы Пифагора Приведём примеры задач с применением теоремы Пифагора

Слайд 21

Задача о птицах На разных берегах реки растёт по пальме. Высота одной - 30 локтей, другой – 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм – 50 локтей. Обе птицы заметили рыбу, всплывшую на поверхность реки между пальмами. Птицы кинулись разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы всплыла рыба? (Арабская задача)

Слайд 22

Чертёж к решению задачи:

Слайд 23

Задача о башнях Одна из башен в полтора раза выше другой. Расстояние между основаниями башен равно 120 метров, а между шпилями – 125 метров. Чему равна высота каждой башни?

Слайд 24

Задача о наблюдателе Как далеко видит вокруг себя наблюдатель, находящийся на воздушном шаре на высоте 10 км над землёй? ( R = 6400 км)

Слайд 25

Решение Пусть т.О – центр Земли, тогда ОВ ² +АВ ² =ОА ² АВ ² =ОА ² -ОВ ² АВ ² =(6400+10) ² -6400 ² АВ ² =128100 АВ≈358 (км) – радиус обзора наблюдателя

Слайд 26

Как найти длину желоба? Между двумя фабричными зданиями установлен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10м, а концы желоба расположены на высоте 8м и 4м над землёй.

Слайд 27

Проводим высоту CZ и получаем прямоугольный треугольник ZBC . По теореме Пифагора (Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) BC ² = ZB ² + BC ² BC ² = 8²+10² BC = Ответ: длина желоба равна . A B Z 8 10 10 4 D C

Слайд 28

Вывод №2 Теорема Пифагора может быть с легкостью применена к решению практических задач. Область применения теоремы достаточно обширна и не может быть указана с достаточной полнотой.

Слайд 29

Информационные ресурсы 1. Алексеев, И. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-методическое пособие. - Саратов: Лицей, 2005. 2. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / авт.-сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1994. 3. Геометрия. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / авт.- сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 13-е изд. - М.: Просвещение, 2003. 4. Математика. ЕГЭ - 2006, вступительные экзамены: пособие для самостоятельной подготовки. -Ростов н/Д: Легион, 2005. 5. Погорелов, А. В. Геометрия: учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. - 6-е шд. - М.: Просвещение, 1996. 6. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / авт.-сост. М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.-4-е изд. - М.: Просвещение, 1997. 7. Цыпкин, А. Г. Справочник по математике для средней школы. - М., 1981. Электронные источники: Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. Электронная энциклопедия: Star word .

Слайд 30

Заключение В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе, проявляемом по отношению к ней.