Задачи по геометрии для закрепления темы: "Прямоугольный треугольник"
методическая разработка по геометрии (9 класс) по теме

Задача.
В треугольнике ABC угол С - прямой. Перпендикуляр CD равен 6 см. AD на 2 см. больше BD. Площадь треугольника ABC равна 180 см в кв. Найти чему равны AC и BС.  

Решение.


Пусть BD = x, тогда AD = x + 2

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ADC и BDC . Поскольку CD - высота, то оба эти треугольника также прямоугольные. Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то площадь треугольника ABC будет равна:

CD * AD / 2 + CD * BD / 2 = 180

Подставим известные значения и обозначения переменной х.

6 ( x + 2 ) / 2 + 6x / 2 = 180
3 ( x + 2 ) + 3x = 180
6x + 6 = 180
6x = 174
x = 29

Таким образом, BD = 29, AD = BD + 2 = 29 + 2 = 31

По теореме Пифагора вычислим длину AC и BC.

BC2 = CD2 + BD2 
AC2 = CD2 + AD2 

откуда

BC2 = 292 + 62 
AC2 = 312 + 62 

AB = √877
AC = √997

Ответ: √877 и  √997

Задача.
На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии  нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?

Решение.
Составим схему задачи.


Поскольку ели растут вертикально, то AEB и DEC - прямоугольные треугольники.
Откуда
AB2 + AE2 = BE2 
CD2 + DE2 = CE2 

Поскольку птицы должны быть в равных условиях, то BE = CE, откуда
AB2 + AE2 = CD2 + DE2 

Из условия задачи мы знаем, что AB = 4, а CD = 6 (или наоборот, что не имеет значения), тогда
AE2 + 42 = DE2 + 62 
AE2 + 16 = DE2 + 36

Поскольку, по условию задачи AE + DE = 10, то
AE = 10 - DE
тогда

( 10 - DE )2 + 16 = DE2 + 36
100 - 20DE + DE2 + 16 = DE2 + 36
80 = 20DE
DE = 4

Откуда AE = 10 - 4 = 6

Исходя из этого, поскольку
AB2 + AE2 = BE2 
42 + 62 = BE2 
BE2 = 52
BE = 2√13

Таким образом, расстояние между воронами 2√13 м

Ответ: BE = 2√13 м

Задача.
Один из катетов прямоугольного треугольника на 1 см меньше другого катета и меньше гипотенузы на 2 см. Найти площадь треугольника.

Решение.
Обозначим катет одного треугольника через х, тогда второй катет будет равен х+1, а гипотенуза х+2.
Тогда по теореме Пифагора:
x2 + ( x + 1 )2 = ( x + 2 )2
x2 + ( x + 1 )2 = ( x + 2 )2 
x2 + x2 + 2x + 1 = x2 + 4x +4
2x2 + 2x +1 - x2 - 4x -4 = 0
x2 - 2x - 3 = 0

D = 16
x1 = 3
x2 = -1 (не подходит по условию задачи)

Площадь прямоугольного треугольника равна
S = 1/2 ab = 1/2 * 3 * 4 = 6 см2 .

Площадь треугольника также можно было найти по формуле Герона
S = 1/4 sqrt( ( a + b + c ) ( a + b - c ) ( a - b + c ) ( b + c - a ) )
S = 1/4 sqrt( ( 3 + 4 + 5 ) ( 3 + 4 - 5 ) ( 3 - 4 + 5 ) ( 4 + 5 - 3 ) )
S = 1/4 sqrt( 12 * 2 * 4 * 6 )
S = 1/4 √ 576 = 6 см2 .

Ответ: 6 см2 

Задача.
В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны корень из 52 и корень из 73. Найти площадь прямоугольного треугольника.

Решение.
Каждая из медиан катетов образует с прямым углом прямоугольный треугольник. Обозначим длину половины каждого катета как a и b. Тогда, по теореме Пифагора получим:



Откуда
a2 = 73 - 4b2 

подставим выражение во второе уравнение

b2 + 4( 73 - 4b2 ) = 52
b2 + 292 - 16b2 = 52
15b2 = 240
b2 = 16
b = 4

Соответственно, а2 = 73 - 4 * 16 = 9, а = 3

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника равны (2a и 2b) 8 и 6 см.

Откуда площадь прямоугольного треугольника равна
S = 1/2 8*6 = 24 см2 .

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см2 . Элементарные задачи

Задача.
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90градусов, сторона АС равна 3 см, а сторона ВС больше стороны АС на 2 см. Найдите tg угла А

Решение.
tg A = BC /AC
BC = AC + 2
AC = 3
tg A = 5 / 3

Задача.
В треугольнике АВС угол С равен 90 градусам.  cos α = 4/5.  Надите sin α, sin β

Решение.


Поскольку cos α = 4/5, то AC / AB = 4 / 5. То есть стороны соотносятся как 4:5. Обозначим длину AC как 4x, тогда AB = 5x.

По теореме Пифагора:
BC2 + AC2 = AB2 

Тогда
BC2 + ( 4х )2 = ( 5х )2 
BC2 + 16х2 = 25х2
BC2 = 9х2 
BC = 3x

sin α = BC / AB = 3x / 5x = 3/5
sin β = AC / AB, а его значение и так известно по условию, то есть 4/5

Ответ: 3/5, 4/5