Дополнительные теоремы геометрии
материал по геометрии (10,11 класс) по теме

 «Дополнительные теоремы геометрии»

Единый государственный экзамен по математике сдают  выпускники НиСПО выбравшие для дальнейшего обучения ВУЗы физико-математическое направление.

Как успешно подготовиться к сдаче экзамена по математике?

Подготовиться к успешной сдаче ЕГЭ – это, прежде всего, хорошо знать программу за курс средней полной школы, но структура экзамена ЕГЭ предполагает знания учебной программы соответствующей профильным классам с математической направленностью. ЕГЭ по математике 2010 года состоит из 2 частей: задание с кратким ответом (тип B), задание с развернутым ответом (тип C). Особую сложность представляют задания с открытыми ответами: необходимо не только решить задание, но и грамотно оформить и обосновать свой ответ. Так задание С4 - это планиметрическая задача, в большинстве случаев требующая знаний дополнительных теорем геометрии, что свидетельствует о необходимости дополнительной специальной подготовки к ЕГЭ.

Основное внимание на занятиях по математике уделяется умению решать задачи. Большинство задач в математике решается по стандартным схемам, но также есть и такие задачи, к которым универсальные подходы неприменимы. Программы НиСПО не предполагают углубленного изучения математики и не рассматривают возможность подготовки  к ЕГЭ, хотя следует отметить, что эффективность данной работы во многом зависит от того, какие знания по данному предмету школьник получил в младших и средних классах, его общего интеллектуального и мотивационного уровня. Тем не менее считаю необходимым рассмотреть некоторые дополнительные теоремы геометрии.

Теорема Минелая:

Пусть дан треугольник ABC и точки   С1, В1,А1 соответственно на, прямых AB, AC и BC. Точки  А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Доказательство:

Необходимость. Пусть прямая l пересекает прямые AB, BC, AC ответственно в точках C1, A1 и B1 . Проведем произвольную прямую P, пересекающую прямую l в точке N, а через точки A, B и C соответственно прямые a, b и c, параллельные прямой l и пересекающие p в точках K, L, M. По теореме о пропорциональных отрезках

Перемножая равенства и учитывая, что  получаем искомое равенство.

Достаточность.

Пусть дан треугольник ABC, точки

   и пусть выполнено необходимое условие. Докажем, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Проведем прямую через заданные две точки A1 и B1. Эта прямая пересекает прямую AB в некоторой точке C'.

Действительно, если доказать противное, а именно, что прямая A1B1'║(AB), то из подобия треугольников CA1B1 и CBA следует, что

С учетом необходимого условия получим, что

  Но такой точки не может существовать, и мы пришли к противоречию.

 По условию имеем:

с другой стороны, в силу необходимого условия справедливо равенство

Откуда получаем

 и приходим к выводу что точки C1 и C' совпадают.

Задача 2

В треугольнике АВС АD – медиана,

 точка О – середина медианы.

Прямая ВО пересекает сторону АС

в точке К. В каком отношении

точка К делит АС, считая от точки А?

Решение: Пусть ВD = DС = а, АО = ОD = m. Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей стороны треугольника АDС . По теореме Менелая

 .

Теорема Чевы:

Если на сторонах АВ,ВС,СА треугольника АВС           В

 взяты соответственно точки С1,А1,В1,

то отрезки АА1,ВВ1,СС1, пересекаются          С1             О       А1

в одной точке если выполняется условие

АВ1∙С1В∙А1С=АС1∙ВА1∙СВ1                        А                                                    С

                                                                                                    В1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

  =>*

              аналогично   *                        

              аналогично   *

______________________________

=> АВ1∙С1В∙А1С=АС1∙ВА1∙СВ1

        Задача 

На стороне АС треугольника АВС выбрана точка В1, а на стороне АВ точка С1, так, что , а .Найдите в каком отношении считая от вершины треугольника точка пересечения отрезков ВВ1 и СС1 делит каждый из них.                                   В

Решение:         2у

                                      С1               

                                5у                     О

        А

        3х        В1        4х        С

т.к. АА1∩ВВ1∩СС1=О => 3х∙2у∙А1С=4х∙5у∙ВА1

=> , а  

Теорема Стюарта

                    В

                                                Если  точка Д лежит на стороне АС треугольника  

                                                        АВС, то

                   с         а                                                  

                                х                    С

        в                    

 А               р       Д                                                            

                                               (р+в)2=а2+с2-2асCosВ

                                                                          2()=а2+с2-(р+в)2

Задача

вычислить биссектрису CC1 треугольника по его сторонам, если AB =4, AC = 7, BC = 3.

Решение:                                         А

        7        

                                                              c’        4

                             С                 С1

        c”

        3        В

Воспользуемся тем, что биссектриса делит сторону треугольника на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Обозначим AC1 = c’, BC1 = c”. Тогда c’ + c” = c и 3c’ = 7c”. Из этих двух уравнений находим c’ и c”.

  c’= и c”=  Подставляя теперь эти выражения в равенство теоремы Стюарта, получим:

Теорема Фалеса

Если параллельные прямые, пересекающие

стороны угла, отсекают на одной его стороне

равные отрезки, то они отсекают равные

отрезки и на другой его стороне.

Доказательство.

Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3.

Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2.

Δ C1B2B1 = Δ C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, ∠ C1B2B1 = ∠ C2B2B3, как вертикальные, ∠ B1C1B2 = ∠ = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.

Задача (Данную задачу можно решить вторым способом)

На стороне АС треугольника АВС выбрана точка В1, а на стороне АВ точка С1, так, что , а .Найдите в каком отношении считая от вершины треугольника точка пересечения отрезков ВВ1 и СС1 делит каждый из них.                                   В

Решение:         2у

                                      С1               

                                5у                     О

        А                  

                     3х    В1        4х               С

С1N || ВВ1, ПО ТЕОРЕМЕ ФАЛЕСА