Формирование системных знаний по геометрии 7-11 класс
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

ФОРМИРОВАНИЕ СИСТЕМНЫХ ЗНАНИЙ ПО ГЕОМЕТРИИ

В работе использованы электронные образовательные ресурсы с Федерального портала ФЦИОР, http://eor.edu.ru/ и с портала «Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов ЦОР, http://school-collection.edu.ru/                              

Изучение курса геометрии начинается в 1-4-х классах на интуитивной основе с привлечением элементов дедуктивных рассуждений. Теоретический материал излагается на наглядно-интуитивном уровне, важнейшие методы и законы формулируются в виде правил.

Учащиеся 1 - 4-х классов должны уметь:

Распознавать и изображать (на клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки) простейшие геометрические фигуры (точка, отрезок, ломаная, окружность, круг, многоугольник);

1. измерять длину отрезка, ломаной;
2. строить отрезок данной длины;
3. вычислять периметр и площадь многоугольника.

Учащиеся 5 — 6-х классов должны знать:

Геометрические фигуры:

4. отрезок, прямая, луч, угол, треугольник, многоугольник, окружность, круг;
5. перпендикуляр к прямой;
6. прямой угол;
7. параллельные прямые;

1. куб, прямоугольный параллелепипед, шар. Примеры величин:
2. длина, площадь, объем, градусная мера угла.
3. единицы измерения длин, площадей, объемов и углов;
4. масштаб;
5. измерение отрезков и углов;
6. площадь прямоугольника;
7. объем прямоугольного параллелепипеда;
8. формулы длины окружности и площади круга. Инструменты: линейка, угольник, транспортир, циркуль.

Построение отрезков и углов заданной величины. Построение перпендикуляра к прямой и параллельных прямых с помощью угольника и линейки.

Таким образом, к началу изучения систематического школьного  курса геометрии учащиеся, усвоившие программный материал, на наглядно-интуитивном уровне, знают целый ряд геометрических фигур и  умеют их распознавать и изображать.

В частности, умеют строить отрезки и углы заданной величин перпендикуляр к прямой, параллельные прямые; измерять отрезки углы; вычислять длину окружности, площадь и периметр прямоугольника, площадь круга, объем прямоугольного параллелепипеда.

Курс геометрии 7 - 9-х классов предусматривает систематическое изучение свойств геометрических фигур на плоскости, формирование пространственных представлений учащихся, развитие их логического мышления и подготовку к изучению стереометрии, а также смежных дисциплин (физика, черчение и др.).

Усиливается теоретическая значимость изучаемого материала: расширяются внутренние логические связи курса; повышается роль дедукции, степень абстрактности изучаемого материала. Учащиеся овладевают приемами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач, развивается их логическое мышление. Систематическое изложение курса позволяет начать работу по формированию представлений учащихся о строении математической теории. Прикладная направленность курса обеспечивается постоянным обращением к наглядности, в частности к рисункам и чертежам на всех этапах обучения и развитием на этой основе геометрической интуиции учащихся.

Систематическое обращение к примерам из практики развивает у них умение вычленять геометрические формы и отношения в предметах и явлениях действительности, использовать язык геометрии для их описания.

Практическая направленность курса обеспечивается систематическим применением геометрического аппарата для решения задач на вычисление значений геометрических величин, доказательство и построение.

При изучении планиметрии учащиеся получают систематические сведения об основных фигурах на плоскости и их свойствах; знакомятся с геометрическими величинами, характеризующими плоские фигуры, и учатся выполнять соответствующие вычисления; знакомятся с применением аналитического аппарата (элементы тригонометрии и алгебры, векторы и координаты) к решению геометрических  задач.

В результате изучения курса планиметрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями (обязательный минимум):

1. изображать геометрические фигуры, указанные в условиях теорем и задач, и выделять известные фигуры на чертежах и моделях;
2. решать типовые задачи на вычисление, доказательство и построение, опираясь на теоретические сидения, полученные в курсе;
3. проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач;
4. вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей), применяя изученные свойства и формулы;
5. выполнять основные построения циркулем и линейкой;
6. решать несложные комбинированные задачи, сводящиеся к выполнению основных построений;
7. применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
8. использовать векторы и координаты для решения стандартных задач (вычисления длин и углов, сложение векторов и умножение вектора на число).

Цель курса геометрии 10-11-х классов - систематическое изучение свойств геометрических тел в пространстве, развитие пространственных представлений и дальнейшее развитие логического мышления учащихся, усвоение ими способов вычисления практически важных геометрических величин.

Курсу присущ систематизирующий, обобщающий характер изложения, направленность на закрепление и развитие умений и навыков, полученных в неполной средней школе.

При доказательстве теорем и решении задач активно используются изученные в курсе планиметрии свойства геометрических фигур, применяются геометрические преобразования, векторы и координаты. Довольно высокий уровень абстрактности изучаемого материала, логическая строгость изложения сочетается со значительной степенью наглядности.

Прикладная направленность обучения обеспечивается применением наглядности на всех этапах учебного процесса, постоянным обращением к опыту учащихся. Важными в практическом плане являются умения изображать известные геометрические тела, вычислять их объемы и площади поверхностей.

При изучении стереометрии учащиеся приобретают систематические сведения об основных видах пространственных тел и их свойствах, знакомятся с теоретическим обоснованием методов изображения пространственных тел на плоскости, овладевают умениями вычислять значения геометрических величин.

В результате изучения курса стереометрии все учащиеся должны овладеть следующими умениями (обязательный минимум):

8. изображать пространственные геометрические тела, указанные в условиях задач и теорем, и выделять известные тела на чертежах и моделях;
9. решать типичные задачи на вычисление и доказательство, опираясь на полученные теоретические сведения;
10. проводить доказательные рассуждения в ходе решения типичных задач, используя теоретические сведения, полученные при изучении планиметрии и стереометрии;
11. вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей и объемов), применять изученные в курсах планиметрии и стереометрии формулы и теоремы;
12. применять аппарат алгебры, начал анализа и тригонометрии в ходе решения геометрических задач;
13. использовать координаты и векторы для решения простейших стандартных задач.

Приведем наглядную схему, раскрывающую программные требования к подготовке учащихся по геометрии на каждой ступени обучения.

иного учебного курса, выделив его основные содержательные линии.

В частности, в курсе геометрии можно выделить четыре основных содержательных линии:

1. геометрические фигуры на плоскости;
2. геометрические величины;
3. координаты и векторы;
4. элементы тригонометрии.

Понятийный аппарат каждой содержательной линии планиметрии «Геометрические фигуры и их свойства» включает следующие понятия: «точка», «прямая», «отрезок», «луч», «угол», «треугольник», «окружность», «параллелограмм» и др.

Блок знаний каждого конкретного понятия формируется в течение целого ряда уроков, прерываясь, возобновляясь, продолжаясь и снова прерываясь и т.д.

Но несмотря ни на что, результат обучения содержательной линии планиметрии «Геометрические фигуры и их свойства» - вполне определяет знания и умения на уровне «владеть» и должен быть достигнут непременно.

Структурная схема

Мы не говорим о том, что должны знать и уметь учащиеся к началу изучения стереометрии.

И вновь подошли к этому вопросу, но уже на более высоком уровне: кроме геометрических фигур и их свойств, представленных в той последовательности, в которой они изучаются, выделены и методы геометрии соответствующими блоками знаний, а также основные специфические геометрические линии (равенства фигур, построения и измерения, существования фигур).

Курс геометрии 1 - 6-х классов дал учащимся умение узнавать и изображать 9 фигур, строить и измерять отрезки и углы, вычислять площади и периметр прямоугольника и круга, длину окружности, объем прямоугольного параллелепипеда.

Первый урок по программе 7-го класса продолжил эту систему знаний и умений открытием геометрии как науки, её аксиоматической основы и дедуктивного построения. Далее работу по обобщению и систематизации проводим, составляя:

тематические вкладыши: «Система аксиом»;

понятийные вкладыши: «Точка», «Прямая», «Отрезок», «Луч», «Угол», «Треугольник», «Окружность»;

содержательные вкладыши: «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины»;

тематические: «Методы геометрии», «Геометрические построения».

В 8-ом классе продолжаем содержательные блоки «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины» и составляем блоки «Элементы тригонометрии», «Координаты и векторы», продолжаем тематический блок «Методы геометрии» и составляем блоки «Четырехугольники», «Преобразования фигур», «Декартовы координаты на плоскости», продолжаем все понятийные блоки 7-го класса.

В 9-ом классе продолжаем все содержательные блоки, завершая блок «Элементы тригонометрии» и в аспекте плоскости блоки «Геометрические фигуры и их свойства», «Координаты и векторы», составляем тематический блок «Многоугольники» и продолжаем блок «Четырехугольники», а также все понятийные блоки 8-го класса.

Итак, планиметрия завершена. Имеем:

3        понятийных блока: «Угол», «Треугольник», «Окружность».

6 тематических блоков: «Аксиомы», «Геометрические построения», «Четырехугольники», «Преобразования фигур», «Многоугольники», «Методы геометрии».

4        содержательных блока: «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины», «Элементы тригонометрии», «Координаты и векторы».

Еще два года целенаправленного изучения стереометрии - и школьный курс геометрии завершен.

В 10-ом классе завершаем обобщение и систематизацию темы «Аксиомы геометрии», на более высоком уровне рассматриваем вопрос об аксиоматической основе геометрии, о геометрии как науке. Составляем тематический вкладыш знаний и умений «Параллельность и перпендикулярность».

Продолжаем важнейшую содержательную линию курса геометрии - «Геометрические фигуры и их свойства», устанавливая взаимосвязи основных фигур в пространстве.

Продолжаем обобщение и систематизацию содержательной линии «Геометрические величины» и завершаем содержательную линию «Координаты и векторы».

В 11-ом классе проводим обобщение и систематизацию темы «Геометрические тела», завершая содержательную линию «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины», а также тематический блок «Преобразование фигур».

Итак, к началу обобщающего повторения курса геометрии имеем вкладыши (блоки знаний и умений):

Содержательные: «Геометрические фигуры и их свойства», «Геометрические величины», «Координаты и векторы», «Элементы тригонометрии».

Тематические: «Аксиомы геометрии», «Методы геометрии», «Геометрические построения», «Преобразование фигур», «Многоугольники» (четырехугольники), «Параллельность и перпендикулярность», «Геометрические тела».

Понятийные: «Угол», «Треугольник», «Круг-окружность».