Разработка урока по теме "Параллелограмм"
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

План-конспект открытого урока по геометрии для 8 класса.

Урок разработан учителем математики Ермаковой Г. Ю.

Тема урока: Параллелограмм. Решение задач.

Цели урока  

1. Продолжить формирование  умений решать задачи на применение свойств и признаков параллелограмма .
2. Развивать навыки самоконтроля.
3. Воспитание  настойчивости в учебе.
4. Формирование коммуникативной  и проблемной  компетентностей.

Оборудование урока: интерактивная доска , таблицы со свойствами и признаками параллелограмма, раздаточный материал.

Структура урока:

1. Ознакомление с темой урока, постановка его целей (2 минуты);
2. Проверка домашнего задания (3 минуты);
3. Проверка знаний учащимися основных понятий, свойств и признаков параллелограмма (5минут);
4. Проверка умений учащихся самостоятельно применять знания в стандартных ситуациях (8 минут);
5. Проверка умений учащихся применять знания в нестандартных ситуациях                                     (17 минут);
6. Домашнее задание (2 минуты);
7. Подведение итогов урока (3 минуты).

Ход урока

1. Ознакомление  с темой урока, постановка его целей.

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

Я отмечаю, что сегодня мы продолжаем  решать задачи на применение определения, свойств и признаков параллелограмма.

Ученики записывают тему урока в  тетрадях.

2. Проверка домашнего задания.

Учитель: проверим домашнюю задачу № 373.

№ 373  

           В                            С        АВСD - параллелограмм

                                                    ВН СD   PABCD=50 см

      А                       D                 С = ; ВН = 6,5см

                                                     Найти: АВ, ВС, СD, АD.

Решение:

Р=50   ВС+СD=25

ВН=    BС=13; СD =12

Вопросы к классу:

1. Как найти периметр параллелограмма?

2. Каким свойством обладает катет, лежащий против угла в  в прямоугольном треугольнике?

Учитель: задание № 426 я соберу на проверку у нескольких учеников.

3.  Проверка знаний учащимися основных понятий, свойств и признаков параллелограмма.

Учитель: на предыдущих уроках мы познакомились с определением параллелограмма, изучили его признаки и свойства.

Сейчас я предлагаю устно решить несколько задач с использованием готовых чертежей (задачи с помощью интер-доски поочередно  проецируются) :

Задача №1: Выясните, являются ли следующие фигуры параллелограммами ?

А)                                                                  Б)

Ответы учащихся:

Решение задачи    а)

А = СВК –соответственные углы при параллельных  прямых ВС, АD и секущей АК ( по условию), следовательно, АD || ВС.

А = СDЕ – соответственные углы при параллельных прямых АВ, СD и секущей АЕ ( по условию), следовательно АВ || DС.  АВСD - параллелограмм по (определению).

Решение задачи б)

Данных в задаче б недостаточно, чтобы определить, является  ли четырехугольник АВСD параллелограмм.

Замечание учителя: если ученики по аналогии с задачей 1а утверждают, что в задаче 1б четырехугольник АВСD является параллелограммом, необходимо предложить еще один контрпример:

A

B

C

D

Учитель: сделайте необходимый вывод после решения задач б, в.

   В этом случае ученики делают вывод:

При  одних и тех же данных фигуры  могут быть различны: четырехугольник АВСD может быть, а может не быть параллелограммом.

 Задача №2:  Вычислить углы параллелограмма АВСD,  если: а) А= ;

б) найти сумму всех углов  параллелограмма  АВСD.

                  В                            С

            А                            

D

   Ответы учащихся :

Т.к. А=    С =  ( по свойству противоположных углов параллелограмма).

Т.к. АВСD- параллелограмм (по условию)   АD || ВС  А + <В =  (по свойству односторонних углов)   В = .

В = D=  ( по свойству противоположных углов параллелограмма).

А + В  + С + D = .

 Замечание учителя: 

Для ответа на вопрос о сумме углов параллелограмма некоторые ученики будут пытаться сложить градусные меры всех углов, но необходимо вспомнить, что сумма углов выпуклого треугольника, каким и является параллелограмм,  равна .

Задача 3:  Определите, какие  из следующих  фигур является параллелограммом .

А)                                                     Б)                                               В)                                              

Ответы учеников:

А) А= КВС (соответственных при прямых АD, ВС и секущей АК      ВС || АD

     ВС = АD (по условию).

Следовательно, АВСD –параллелограмм  (по признаку параллелограмма).

 Учитель: сформулируйте признак,  используемый при решении этой задачи.

 б) ВС =АD ( по условию), МАВ ≠ В, следовательно, АВСD не является параллелограммом.

 в) АВ= СD (по условию), ВС ≠ АD ( по условию), следовательно, АВСD не является параллелограммом.

 Замечание учителя:

 Ошибки, которые допускают ученики при решении  задач;

1) В задаче 3б не замечают, что накрест лежащие углы не равны;

2) В задаче 3в не обращают внимание  на неравные стороны и заключают, что фигура, изображенная на этом рисунке, параллелограмм. В этих случаях ученики показывают неосознанное  знание теории.

4. Проверка умений учащихся самостоятельно применять знания в стандартных ситуациях.

  Учитель: сейчас мы проведем игру «вычислительной лабиринт», которая поможет вам проверить знания по изучаемой теме в ходе решения  стандартных задач. Для проверки умения  решать задачи по теме «параллелограмм»  мной составлены упражнения на карточках. Последовательность карточек для одного ученика нумеруется  1,2,3. Контрольные числа (сумма ответов к трем задачам) сообщаются  капитану каждым учеником команды. Для каждого ученика одной команды приготовлены по 3 карточки (для второй команды  будут предложены карточки с аналогичными заданиями). Правила командной игры накладывают большую ответственность  на каждого ученика, так как ошибка, допущенным одним, отражается на результате всей команды. Из двух команд, на которые будут разбиты ученики, побеждает та, которая первая правильно  записала  контрольное число.

Задания командам:

1 команда:

 Задача 1

Одна из сторон параллелограмма  в 5 раз  меньше другой. Найдите меньшую сторону, если периметр  параллелограмма  равен 180 см.

Задача 2

 Один из углов параллелограмма на    больше другого. Найти  больший угол параллелограмма.

Задача  3

В параллелограмме МNРК проведена высота NЕ, причем NМЕ в 4 раза больше  угла  МNЕ. Найти МNР.

Контрольное число получается  в результате умножения  числа 228 на число учеников команды.

2 команда:

Задача 1

Одна из сторон параллелограмма  на 5см больше другой. Найдите большую сторону, если периметр  параллелограмма  равен 50 см.

Задача 2

Один из углов параллелограмма в 5 раз меньше  другого. Найти  меньший угол параллелограмма.

Задача 3

В параллелограмме АВСD проведена высота ВЕ, причем  ВСD в 2 раза больше  угла  АВЕ. Найти  АВС.

Контрольное число получается  в результате умножения  числа 165 на число учеников команды.

Решения задач 1  команды :

Задача 1

Дано:

АВСD-параллелограмм

ВС= 5АВ; PABCD=180 см

 Найти: АВ.                                                                                                                            

Решение:                                                                        В                                С

Пусть АВ=Х см, тогда ВС= 5Х см  .

 PABCD = (Х+5Х)*2.

По условию задачи известно, что   PABCD =180 см.      

(Х+5Х)*2=180 ;  6Х=90 ;  Х=15                                      

АВ=15 см- меньшая сторона параллелограмма.            А                                Д        

Задача 2  (используем чертеж к задаче 1)

Дано: АВСD-параллелограмм; В= А+            Найти В

Решение:  пусть А =; тогда В= Х+300 ,  А+ <В =1800 (односторонние углы при параллельных прямых АD,ВС и секущей АВ).

     х+х+30=180;      2х = 150;      х=75; В= 750 +300 = 1050

Ответ: < В=1050

Задача 3

           N                        Р           Дано: МNРК – параллелограмм; NЕ    МК;

                                                   NМЕ= 4  МNЕ.

                                                   Найти: МNР        

  М        Е              К                  

Решение

 Пусть МNЕ=х0, тогда NМЕ=4 х0

В МNЕ:    М + МNЕ= 900     Х+4х=90;    5х=90;   х=18

МNЕ =180о  ;    NМЕ =18*4=72о

М+ МNР=180о ( по свойству односторонних углов )      

  МNР= 1800-720=1080

Ответ: МNР =1080

Ответ каждого ученика команды :  15+105+108=228.

Решение задач второй команды

Задача  1

        В                          С           Решение: Пусть АВ=Х см, тогда ВС= (Х+5) см.

                                                  PABCD= 50 см. ;   (Х+Х+5)*2=50                                      

                                                  2Х+5=25                                            

 А                        D                    2Х=20

          Х=10

                                                    ВС=10+5=15 (см)

          Ответ: BC=15  (см)

Задача  2                                                                                                

      А =х,тогда  В= 5х ,   А+  В =1800 

     х+5х=180 ;  6х = 180 ;  х=30

Ответ: < А=300.

Задача 3

           В                        С         Решение;

                                                 Пусть ABE=х0, тогда < DCD=2 х0

                                               А  + АВЕ= 900         ;  2Х+х=90 ; 3х=90 ; х=30;

  А       Е              D                  ВСD =А =600       ;  АВС=1200.

Ответ каждого ученика команды :  15+30+120=165

5. Проверка умений учащихся применять знания в нестандартных ситуациях

 Учитель: сейчас мы переходим к решению задач, в которых нельзя получить результат, выполнив один- два шага.

 Один ученик на доске, а остальные ученики в тетрадях решают задачу:

В параллелограмме АВСD биссектриса угла А пересекает сторону  ВС в точке Е. АЕС=1320.     Найти углы параллелограмма.

            В          Е                 С                        Решение :

                                                             Дано: АВСД - параллелограмм                                            

                                                             1 =2     ; АЕС=132 0

А                               Д                            Найти: В, С,  D,  ВАD.

Решение: 1 = 2, т.к. АЕ- биссектриса  ВАD  (по условию),

АВСD –параллелограмм, следовательно, 2=  3 ( накрест лежащие при параллельных прямых АD,ВС и секущей АЕ.  

3+  СЕА =180 0 (по свойству смежных углов)

       

3=1800 -1320=480       1=  2=480;  ВАD= 1+2;  ВАD= 960

ВАD=С=960 (по свойству противоположных углов параллелограмма)

В +  ВАD =180 0 (односторонние) при параллельных прямых ВС, АD и секущей АВ,

    В =1800 -960 =840

   В = D= 84 ( по свойству противоположных углов параллелограмма).

Ответ: <В = D= 840; ВАD=С=960.

  Учитель: я предполагая  выполнить две задачи по карточкам тем ученикам, которые сегодня  не допустили ни одной ошибки при решении задач. После их выполнения  необходимо сдать тетради для проверки.

Задача 1

 В параллелограмме АВСD проведены высоты ВЕ и ВF соответственно на стороны АD и СD.  FВЕ меньше   АВС на 1000. Найти углы параллелограмма.

             В                        С

        Дано : АВСD –параллелограмм; ВЕ  |   АD;

        F         ВF |  СD; АВС =< FВЕ+ 1000.

     А       E        D        Найти:  А,  С,  D,  АВС.

Решение :

пусть   ЕВF=х, тогда   АВС= (х+100)0

 А=<С,  АВС=  D ( по свойству противоположных углов параллелограмма);

 А+  АВС= 1800 (односторонние углы);

 АВС=  АВЕ+  ЕВF+  СВF

Из  АВЕ :  АВЕ=900-  А

Из   СВF:  СВF =900- С, но  А= С      

  АВЕ = СВF   АВС= 2  АВЕ+  ЕВF

  Х+100=2  АВЕ+ х ;  2 АВЕ=100

   АВЕ=50, следовательно ,   А= С=900-500 = 400  ;   АВС =  Д=1800-400 = 1400

  Ответ:   А= С=900 - 500=400  ;   АВС= D=1400  .

Задача 2

         В                                С      Дано: АВСD параллелограмм;

        АА1=СС1; ВВ 1=DD1

                                                    Доказать; А1В1С1D1- параллелограмм.

А                                D          Доказательство:

Т.к. АВСD –параллелограмм, значит, АО=СО, ВО=DО (по свойству диагоналей параллелограмма)

Т.к. АА1=СС1 (по условию)       А1О=С1О        А1В1С1D1 ( по признаку паралле лограмма

Т.к ВВ1=ДД1 (по условию)           В1О=Д1О         о диагоналях четырехугольника)

 Учитель: тем ученикам, которые недостаточно уверены в своих силах и сомневаются , что могут справиться с задачами повышенного уровня, я предлагаю решить следующие задачи.

Задача 1

 В параллелограмме АВСD,  О- точка пересечения диагоналей. СD =15 см, АС=24 см., DО=9 см. Найдите периметр   АОВ.

О

          В                              С             Решение DО=ВО ( по свойству диагоналей

        параллелограмма) а т.к.  DО=9см   ВО=9см;

   A                                 D        АО=СО          АС; АО=12 см; СD=АВ=15 см

  РAОВ =АО+ОВ+ВО;  РАОВ  =12+9+15=36 (см). ( по свойству противолежащих сторон параллелограмма)  

Задача 2

           В        М                 С        Дано: АВСD – параллелограмм ;

        BАМ = DСN.

        Доказать: АМСN- параллелограмм.

Доказательство:

1) В= D (противоположные  углы параллелограмма) , ВАМ=DСN ( по условию);

АВ=СD ( по свойству противолежащих сторон параллелограмма);      

АВМ = СDN ( по второму признаку равенства треугольников),

следовательно, АМ=СN, ВМ=DN.

2) Т.к. ВС+АD ( по свойству противолежащих сторон параллелограмма) ,

ВМ =DN ( по доказательству)  МС=АN.

3) Т.к. МС=АN ( по доказанному), АМ=СN (по доказанному)   АМСN-параллелограмм (по признаку параллелограмма).

Учитель: решение задач данного уровня чуть легче, чем предыдущие задачи. Все, кто решит их, должен сдать тетради на проверку.

 Всем остальным ученикам, которые не выбрали задачи одного и другого уровня сложности, решают задачу обязательного уровня сложности.

Задача

Периметр параллелограмма равен 46 см. Найдите стороны параллелограмма, если сумма трех его сторон равна 42 см.

         В        С        Решение: Дано АВСD –параллелограмм;

        РАВСD=46 см.

        АВ+ВС+СD=42 см.

А        Д        Найти: АВ,ВС,СD,DА.

Т.к. ВС+СD+АD=42см., а РАВСD=46 см     АВ=4см ; ВС=АD     2ВС=42-СD

 2ВС=42-4 ; 2ВС=38 ; ВС=19 (см)  ;  АD=19 см.

Учитель: эту задачу выбирают самые слабые ученики  класса, поэтому в случае затруднений при ее решении         они получают от меня необходимую консультацию.

                                         6. Домашнее задание  

Дома решить  задачи № 375,377,430, еще раз повторить свойства и признаки параллелограмма.

Учащимся дается возможность ознакомиться  с условиями задач №375,377,430

                                      7. Подведение итогов урока

 Итоги урока подводятся  оценкой знаний учащихся, которые верно выполнили все задания в игре «Вычислительный лабиринт»,  верно выполнили задания повышенного и среднего  уровня  и первыми сдали тетради на проверку.