Конспект урока "Применение производной в физике и технике"
план-конспект урока по физике (11 класс)

Министерство образования и науки Республики Северная Осетия-Алания Муниципальное казенное образовательное учреждение                               «Средняя общеобразовательная школа с. Новый Батако»

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК

 (АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА + ФИЗИКА)

ПО ТЕМЕ:

 «ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
В ФИЗИКЕ И ТЕХНИКЕ»

 (В РАМКАХ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ В 11 КЛАССЕ)

Учитель физики и математики Кудухова Н. В.

Класс 11

2015-2016 учебный год

Тема урока: «Применение производной в физике и технике» (Слайды № 1, 2)

« Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение »

                                            Ф. Энгельс

«… Нет ни одной области в математике, которая когда – либо не окажется применимой к явлениям действительного мира …»

                                        Н.И. Лобачевский

 Цели урока:   (Слайд № 3)

ОБУЧАЮЩАЯ :

- повторить, обобщить, систематизировать знания по данной теме ;

-  показать учащимся необходимость знания материала изученной темы при решении прикладных задач;

- обратить внимание на связь данной темы с физикой и другими науками

-  повторить начальное представление об истории развития математического анализа.

РАЗВИВАЮЩАЯ:

- способствовать формированию умений применять приемы: сравнения , обобщения, выделения главного, перенос знаний в новую ситуацию,;

- способствовать развитию математического кругозора,  мышления, математической речи, внимания и памяти.

ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ:

- содействовать воспитанию интереса к физике, математике и ее приложениям, развивать культуру общения, активность;

- способствовать развитию творческой деятельности учащихся.

 План урока: (Слайд № 4)

1. Организационный  момент. 1 мин.

2. Проверка домашнего задания и постановка проблемы. 7 мин.

3. Обобщение и систематизация   знаний. 5 мин.

4. Решение прикладных задач. 17 мин.

5. Самостоятельная работа. 12 мин

6. Подведение итогов.   2 мин.

7. Домашнее задание. 1 мин.

1. Организационный момент.

2. Проверка домашнего задания и постановка проблемы

1) Повторение:   Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном. Оно заключается в следующем:

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.                 .

Таким образом, если закон движения  материальной точки задан уравнением s=f(t), то для нахождения мгновенной скорости точки в какой-нибудь определённый момент времени нужно найти производную s’=f ’(t) и подставить в неё соответствующее значение t.  (Слайд № 5)

  Ускорение прямолинейного движения тела в данный момент равно второй производной пути по времени, вычисленной для данного момента. (Слайд № 6)

2)  Решение задач:

1. Точка движется по закону   x(t)  = -1/3 t3 + 2 t2 + 5t     (Слайд № 7)

а) выведите формулу для вычисления скорости движения  точки в любой момент времени  t  ( t > 0);                                                                                           б) найдите скорость в в момент t = 2c;                                                                       в) через сколько секунд после начала  движения точка остановится?

Решение:

а) v(t) = - t 2 + 4 t + 5.

б) v(2) = - 2 2 + 4∙2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9(м/с).

в) v(t) = 0,        - t 2 + 4 t + 5 = 0,       t1 = -1,  t2 = 5,        

                          -1 < 0,   не удовлетворяет условию задачи.

 Точка остановится через 5 секунд после начала движения.

2. Тело, выпущенное вертикально вверх со скоростью v0  движется по   закону                               , где h – путь в метрах, t- время в секундах. (Слайд № 8)

     Найдите наибольшую высоту, которую достигнет тело, если  
   g = 10м/с2.

Решение:

                                                                                     
                  =125.             Ответ: 125 м.                    

3. Обобщение и систематизация   знаний: Примеры применения производной

3.1. С помощью производных функций, характеризующих физические явления, задаются и другие физические величины. Рассмотрим некоторые из них.

 (Слайды № № 9, 10)

1. Мощность есть производная работы по времени

              N = A ‘ (t)

2. Пусть дан неоднородный стержень длиной l и массой m(l), начало которого в точке l = 0. Тогда производная функции массы стержня по его длине l есть линейная плотность стержня в данной точке:

              ρ(l) = m ‘ (l) 

3)    Теплоёмкость есть производная теплоты по температуре:

                 C(t) = Q ’(t)

4)     Сила тока есть производная заряда по времени:

                I = q ‘ (t)

4. Решение прикладных задач:

4.1. Решение задач:

1.  В тонком неоднородном стержне, имеющем длину 25 см, масса (в граммах)

распределяется по закону                                         , где l – расстояние в сантиметрах от начала стержня до любой его точки. Найти плотность стержня на расстоянии 4 см от начала стержня.   (Слайд № 11)

Решение:

ρ(l) = m(l) 

ρ(l)= 8l – 2,    ρ(4) = 32 – 2 = 30

Ответ: 30 г\см3 

4.2. Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от   0     С до температуры       t  (по Цельсию), известно, что в диапазоне от         95   до     0    , формула

                                                                               
дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.    (Слайд № 12)

Решение:

4.3. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?  (Слайд № 13)

Решение:

  I(t) = q ‘ (t),                I(t)=1-4/t2  ,    1-4/t2 = 0

    Отсюда, t = 2 или t = -2;  t = -2 не подходит по условию задачи.

Ответ: t = 2.

4.4.Дождевая капля падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь так ,что её масса m изменяется по закону m(t)=1-2t/3. Через сколько времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей?  (Слайды № №14 - 16)

1) m(t)=0;    1-2t/3=0;       t=3/2с

2) Капля испарится на 3/2 сек.

3)Обозначим время падения капли через t тогда      V(t)=gt;      ω(t)=m(t)∙V²(t) ⁄ 2.

4) Найдем критические точки на [0;3/2]        

- ω'(t) = g²t - g²t² = g²t(1-t).

 - ω'(t)=0;      g²t(1-t)=0       t=0  или  t=1

 - ω(0)=0;      ω(1)=g²/6;    ω(3/2)=0;

 Ответ: через 1 секунду после          падения кинетическая энергия капли будет наибольшей.

5.Самостоятельная работа    (Слайд № 17)

Вариант 1.

1. Материальная точка движется по закону s(t)=12t+3t3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2с.

Решение:       v(t)=s’(t)= 12+9t²;

      v(2с)=12+36= 48 (м/с);

      a(t)=v’(t)= 18t;

      a(2с)=18·2= 36 (м/с²). Ответ: v(2) =  48м/с ;            a(2) = 36 (м/с²).

2.  Тело, масса которого 5кг, движется прямолинейно по закону , где - измеряется в метрах, а в секундах. Найти кинетическую энергию тела через 10с после начала движения.

Решение.

Ответ: 902,5 Дж.

Вариант 2.

1. Материальная точка движется по закону s(t)=16t+2t3. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t=2 с.

  Решение:   v(t)=s’(t)= 16+6t²;

     v(2с)=16+24= 40 (м/с);

      a(t)=v’(t)= 12t;

     a(2с)=12·2= 24 (м/с²).

Ответ: v(2с) =  40м/с ;            a(2с) = 24 (м/с²).

2. Задача . В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону , где – длина стержня, отсчитавшая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

1. отстоящей от начала стержня на 3см;
2. в конце стержня.

Решение.

Ответ: 15г/см3; 103г/см3.

6.Взаимопроверка.   (Слайд № 18)

7. Подведение итогов. Рефлексия.

8. Домашнее задание:

Задание №1       11. Тело массойт8кг движется прямолинейно по закону x(t)=2t2+3t -6. Найти импульс тела в момент времени t=1c.

Ответ: 56 кг.м/с

1. Тело массой 300г движется прямолинейно по закону x(t)=6t3+ 2t-7. Найти силу, действующую на это тело при t=3c.

Ответ: 32,4 Н

13.Температура тела Т изменяется по закону Т( t)=0,2t2+ 5t -3. Какова скорость изменения температуры при =2с?

Ответ: 5,8 К

Задание №2         Задача на применение геометрического смысла производной.

 Шарик катится по желобу. Изменение координаты шарика с течением времени в инерциальной системе отсчета показано на графике. Выберете два утверждения, которые соответствуют результатам опыта.

1) Проекция скорости шарика постоянно увеличивалась и оставалась отрицательной на всем пути.

2) Первые 2 с скорость шарика возрастала, а затем оставалась постоянной.

3) Первые 2 с шарик двигался с уменьшающейся скоростью, а затем покоился.

4) На шарик действовала все увеличивающаяся сила.

5) Первые 2 с проекция ускорения шарика не изменялась, а затем стала равной нулю.

Задание №3     Скорость точки, движущейся по прямой по закону x(t) =t3-5t2, равна

a) t3-5t2;        б) .t3- 5t;          в) .t2-10t;          г) t4-5t.

Задание №4     Точка движется по прямой по закону s(t) =2t2-2t-1. Её мгновенная скорость v(3) равна

a) 8;        б) 6;         в) 10;          г ) 9.

Задание №5

3. Ускорение точки, движущейся по прямой по закону s(t) =t3-5t2 равно:

a) 2(3t-5);     б) 9t2-10;     в) 3t2-10t;        г) 6t-8.