Сила трения в школьных и олимпиадных задачах
олимпиадные задания по физике (10 класс) по теме

СИЛА ТРЕНИЯ В ШКОЛЬНЫХ И ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧАХ

     Сила трения – одна из самых распространенных и загадочных сил в природе. Трение бывает сухое, вязкое, трение скольжения, покоя, качения… Школьникам трудно разобраться в этой путанице разнообразных сил; поэтому, как правило, к моменту начала изучения этой темы в  десятом классе они четко убеждены: сила трения всегда равна µmg (особо продвинутые говорят µN), т.е. имеют в виду силу трения скольжения. Со всеми остальными видами сил трения они просто незнакомы.

     На изучение этой темы в поурочных планах для профильного класса отводится 1 (!) час. Мой опыт показывает, что необходимо посвятить силе трения по крайней мере пять часов, поэтому я использую уроки из резерва времени.

     Громадное большинство вступительных и олимпиадных задач, в которых требуется учет силы трения, касается трения покоя и вязкого трения. Между тем именно эти силы очень скудно освещены в используемых сейчас в школе учебниках. Поэтому данная работа посвящена одной из этих   важных  ипостасей многоликой силы трения.

                                                       Сила трения покоя.

     Опыт показывает, что при постоянной силе нормального давления N сила трения покоя (по модулю) может изменяться от нуля  до некоторого максимального значения, равного приблизительно силе трения скольжения при той же N:

                                   | Fтр. пок..| < µN

     Справедливость этого неравенства у детей сомнений не вызывает, однако применение его в конкретных задачах осложнено низкой математической культурой современных школьников (практически никто из них к началу десятого класса не умеет решать системы уравнений и неравенств, особенно неравенств с модулями).

     Начало решения любой задачи на динамику состоит в расписывании всех сил, действующих на тело. И тут оказывается, что дети совершенно не готовы к тому, что сила трения покоя имеет не только неопределенное значение, но еще и направлена неизвестно куда. Для отработки навыка мы решаем задачу 1.

Задача 1. К бруску массой 10 кг, находящемуся на наклонной плоскости с углом наклона α  (sinα  = 0,6), дважды приложили силу, направленную вверх вдоль плоскости: один раз величиной 44 Н, второй раз – величиной 132 Н. Во сколько раз сила трения в первом случае меньше, чем во втором, если коэффициент трения равен 0,8? (Вступительные экзамены в РГУ нефти и газа им. Губкина, 2001 год).

Рисуем рисунок, прикладываем силы. Обращаем внимание на то, что направление силы трения в обоих случаях не определено, так как тело покоится. Второй закон Ньютона в проекции на ось, параллельную плоскости, имеет вид:

         Mg sinα – F1,2 + Fтр = 0

Здесь принято, что Fтр направлена вниз. В проекции на ось, перпендикулярную плоскости, имеем:

       N – Mg cosα = 0

Два эти уравнения следует дополнить соотношением для силы трения:

       |Fтр| < µN

Чтобы решить получившуюся систему, надо подставить в первое уравнение значения величин, данных в задаче для первого случая и проверить, удовлетворяет ли полученное решение неравенству. Получаем, что в первом случае Fтр = -16 Н и направлена вверх. Во втором случае получаем Fтр = 72 Н. Однако из неравенства и второго уравнения следует, что максимальное значение силы трения равно 64 Н, значит, во втором случае тело движется, и сила трения, действующая на него, равна силе трения скольжения, т.е., своему максимальному значению. Ответ: в 4 раза.

     В следующей задаче неравенство, связанное с силой трения покоя, уже не играет вспомогательной (проверочной) роли; его приходится решать совместно с уравнениями движения тела.

Задача 2 . Треугольную призму с углом при основании α двигают вдоль горизонтальной поверхности с ускорением  а. На призме лежит брусок. При каком коэффициенте трения между бруском и призмой брусок будет покоиться относительно призмы?

     В последние годы эта задача в различных модификациях появлялась на вступительных экзаменах в МВТУ им. Баумана, в МФТИ и т.д.

     Обычно задачу рекомендуют решать, располагая оси горизонтально и вертикально. Это удобно, если в задаче действительно спрашивается об условиях неподвижности бруска относительно призмы. Если же вопрос сформулирован так: при каком коэффициенте трения брусок будет соскальзывать с призмы или подниматься относительно нее, преимущества такого выбора осей теряются.

Решение. Направление действия силы трения не определено, так как брусок покоится относительно призмы. Как и в предыдущей задаче, введем ось Ох, направленную вдоль плоскости вниз, и ось Оу, направленную перпендикулярно плоскости вверх ..

Тогда второй закон Ньютона в проекциях на соответствующие оси имеет вид:

                            Мg sinα + Fтр = Ма cosα

                             N – Mg cosα = Ma sin

Кроме того, имеется неравенство для силы трения:

                            | Fтр| < µN

Совместное решение этой системы сводится к подстановке в неравенство выражений для всех неизвестных, входящих в него:

                          |Ma cosα – Mg sinα | < µ(Ma sinα + Mg cosα)

что, после сокращения, раскрытия модуля и приведения подобных, приводит к ответу:

      при а cosα – g sinα > 0        µ> (acosα – g sinα)/ (a sinα + g cos α)

      при а cosα – g sinα < 0        µ> (g sinα – a cosα) / (a sinα + g cos α)

Заметим, что применение неравенства без знака модуля (неучет произвольности направления силы трения покоя) приводит к исчезновению второй ветви решений, а замена ограничительного неравенства равенством  - к сокращению целой области до единственной точки.

     Как правило, если спросить учащихся, какая сила сопротивления действует на катящееся без проскальзывания с горки колесо, они бодро отвечают: сила трения качения. Между тем, этой силой в рассматриваемом процессе можно смело пренебречь, а основную роль в нем играет сила трения покоя. Сила же трения качения, ввиду своей малости, должна учитываться только тогда, когда нет никаких других сил, препятствующих или способствующих движению, или их сумма равна нулю. Между тем этой силе посвящена значительная часть параграфа в учебнике физики для профильных классов под редакцией Касьянова, приводятся значения коэффициента трения качения, хотя из специальной литературы известно, что он определяется не только материалом, из которого сделаны соприкасающиеся тела, но и  радиусом катящегося тела. Итак, вместе с учащимися делаем вывод: силу трения качения следует учитывать только в случае качения тела, к которому не приложены никакие другие силы, по горизонтальной плоскости. Не слишком ли много внимания  в некоторых учебниках уделяется явлению, которое так редко имеет место?

     Какая же сила трения действует на катящееся  с горки тело? Прежде всего ясно, что эта сила направлена вверх вдоль поверхности горки и приложена к единственной точке колеса, соприкасающейся с горкой. Направление действия силы трения покоя легко определить так: представим себе, что силы трения нет. Как тогда движется тело? Скользит не вращаясь, а значит, точка приложения силы трения движется вниз относительно горки; по определению, сила трения направлена против движения или возможного движения тела, следовательно, вверх.

      Если же автомобиль пытается въехать на горку, какая сила ему в этом помогает? Как ни удивительно, но в этом случае сила трения направлена вверх вдоль горки. Действительно, если бы трения не было, колеса проскальзывали бы относительно горки «назад», соответственно, по вышеизложенному, сила трения, действующая на автомобиль, направлена «вперед» т.е., в данном случае, вверх вдоль горки. Аналогично, единственная сила, которая заставляет автомобиль трогаться с места, это не мифическая «сила тяги», а вполне реальная сила трения. Если проскальзывание есть, это значит, что сила трения равна своему максимально возможному значению – силе трения скольжения; если проскальзывания нет, то на тело действует сила трения покоя. Эти простые соображения позволяют решить следующую сложную задачу:

Задача 4. С горы с углом наклона к горизонту α скатывается без проскальзывания колесо, вся масса которого сосредоточена в ободе. При каком коэффициенте трения это возможно? (Задача придумана мною лично).

     Эта задача просто и красиво решается, если ученики знают, что такое момент инерции, угловое ускорение и пр. К сожалению, этот простой академический подход в обычной школе невозможен из-за, опять-таки, низкой математической культуры и несоответствия программ по математике программам по физике (в частности, производные дети начинают осваивать в конце 10-го класса, а динамику мы заканчиваем в середине десятого класса (и то очень отстаем от программы). Поэтому я предлагаю такой простой и доступный способ решения.

 Решение.  Чтобы выяснить величины сил, действующих на тело, давайте сначала разберемся, с каким ускорением движется центр обруча. Понятно, что, скатившись с горки высотой Н, обруч приобретает кинетическую энергию за счет уменьшения потенциальной. Легко показать, что эта кинетическая энергия состоит из двух частей – энергии поступательного и вращательного движения. Кинетическая энергия вращающегося с линейной скоростью V обруча равна кинетической энергии его поступательного движения с той же скоростью, если масса обруча сосредоточена в ободе, а обод тонкий. Таким образом, к концу процесса скатывания обруч обладает линейной скоростью:                      ____

                                V = √ g Н  

Предположим далее, что обруч двигался с постоянным поступательным ускорением. Это – разумное предположение, так как сила трения покоя от скорости не зависит, а все точки траектории тела более ничем друг от друга не отличаются. С каким же ускорением двигалось тело, если, пройдя путь S = H / sinα из состояния покоя, оно в конце этого пути имело указанную скорость V? Очевидно,

                                a = V2 sinα /2H = g sinα /2

Настало время прояснить положение с тем, какие же силы действовали на обруч, двигавшийся с таким ускорением. Запишем второй закон Ньютона в проекции на обычные оси:

                                Мg sinα – Fтр = Ma

                               Mg cosα = N

и привычное неравенство для силы трения, которое после подстановки в него полученных выражений превращается в условие на µ:

                              µ > ( tgα )/2

В данной задаче направление силы трения – вверх вдоль горки – определяется обычным способом.

       Ни одна из областных олимпиад не обходится без задач на силу трения покоя (см., например, [2,3]. Ведущие вузы страны используют задачи такого рода на своих олимпиадах и вступительных экзаменах [7]. Между тем многие учебники (даже для профильных классов) либо вообще не уделяют ей внимания [4], либо ограничиваются описательным подходом [1, 5]. Очень хорошо эта тема освещена только в [6], но его  авторы позиционируют свой учебник как пригодный для применения в классах с 6-тью и более часами физики в неделю.

     На основе вышеизложенного полагаю необходимым увеличение объема излагаемого по данной теме на уроках материала, расширение круга решаемых задач. Это возможно либо за счет резервных часов, либо за счет тем, которые попадают в учебники среднего уровня совершенно случайно и никогда не встречаются на вступительных экзаменах и олимпиадах по тем простым соображениям, что выучить их в школе хорошо невозможно, а раз так, лучше вообще не трогать их; те дети, кому это интересно, освоят их во время обучения в институтах.  

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Касьянов В.А.   Физика. 10 кл. Профильный уровень: учебник для общеобразовательных учреждений. М., Дрофа, 2005

2. Потенциал. Журнал для старшеклассников и учителей. Декабрь 2007 г.

3. Квант. Физико-математический журнал для школьников и студентов. Сентябрь-октябрь 2007 г.

4. Физика: учебник для 10 кл. с углубленным изучением физики. Под ред А.А.Пинского, О.Ф. Кабардина. М., Просвещение, 2005.

5. Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика. Учебное пособие в 3 книгах. Книга 1 – Механика. «Физико-математическая литература» 2004.

6. Физика; Механика, 10 кл. Учебник для углубленного изучения физики. Под ред. Мякишева Г.Я. М., Дрофа, 2002.

7. Квант. Физико-математический журнал для школьников и студентов. Ноябрь-декабрь 2007 г.