ДУ с разделяющимися переменными
план-конспект по математике по теме

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно привести к виду

Уравнения этого вида решаются с помощью разделения переменных

и интегрирования обеих частей полученного уравнения.

Пример. Решить уравнение .

Уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные:

.

Интегрируя обе части полученного уравнения, имеем

 или

где - постоянная интегрирования. Для удобства потенцирования запишем , и выразив y через независимую переменную x и произвольную постоянную c, получим решения дифференциального уравнения

.

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными возможна потеря решений при разделении переменных. В данном случае, предполагалось, что , т.е. функцию  исключили из рассмотрения. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что  является решением данного уравнения. Это решение может быть получено из множества решений  при с=0. Поэтому в данном случае потери решений не произошло.

Задание.

1. Найти частное решение ДУ при следующем начальном условии.

а)

б)

в)

2. Найти общее решение следующих ДУ.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

3. Решить задачу Коши.

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)