Разложение многочлена на множители
план-конспект урока по естествознанию (7 класс) на тему

Тема урока: Применение различных способов для разложения на множители.

Урок подготовлен Никоновой С.Г., учителем математики МОУ «Колосковская СОШ»

                                                           Кто с детских лет занимается математикой, тот

развивает мозг, свою волю, воспитывает в себе

 настойчивость и упорство в достижении цели».

А. Марушкевич

Тема урока: Применение различных способов для разложения на множители.

Слайд № 1

 Цели урока:

• Организовать деятельность учащихся по закреплению навыков применения различных способов разложения на множители;
• Обеспечить отработку навыка применения формул сокращенного умножения для разложения многочлена  на множители:

• Способствовать развитию логического мышления учащихся;
• Содействовать развитию компетентной личности.

Тип урока: Учебное занятие закрепления новых знаний и способов деятельности.

Логика урока:

Структура урока: I       II       III        VI       VII        IX        X      XI        XIII        XII

1. Организация начала занятия

2. Проверка домашнего задания    (тетради с д/з собрать)

Формулировка задач урока.  

Сегодня мы на уроке будем совершенствовать навыки применения различных способов разложения на множители, применяя вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, формулы сокращенного умножения и еще раз убедимся в полезности умения раскладывать многочлен на множители.

1. Устно.  

Слайд № 2,3

Что называют разложением многочлена на множители?

Ответ: Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов называют разложением на множители.

Игровой момент.

Разложите на множители:

1. a2 – 5ab
2. a2 – 25

3. a2 – 36

4. a2 + 4ab

5. 8 – a3

6. x3 + 64

7. a3 – 25а

Таблица ответов

Ответы:

1) 2;  2) 3;  3) 4;  4) 1;  5) 2;  6)1;  7) 3.

У учащихся имеются таблички с номерами 1, 2, 3, 4 они поднимают табличку с номером ответа.

Какие способы разложения на множители вы применили?

Слайд № 4

Слайд № 4

2. Решите уравнения (слайд № 5,6,7.)

Итак разложение на множители применяют при решении уравнений. Учащиеся в тетрадях записывают уравнения. Один из учеников работает у доски.

Слайд № 8

1. 9х – х3 = 0 

х(9-х2) = 0

х(3 – х)(3 + х) = 0

х = 0 или 3 – х = 0 или 3 + х = 0

х = 0 или х = 3 или х = - 3

Ответ: - 3; 0; 3.

Какие способы разложения на множители применяли?

1. Вынесение общего множителя за скобки.
2. С помощью формулы сокращенного умножения.

2.Разложение на множители применяют при нахождении числовых выражений

Слайд № 9

Найти значение числового выражения. Дважды воспользуемся формулой разности квадратов.

532-472       (53-47)(53+47)       6 • 100

        6        3

––––––– =  –––––––––––––– = ––––––  =  ––– = –––

612-392       (61-39)(61+39)       22 • 100     22      11

3. Рассмотрим решение заданий в которых используются различные способы разложения на множители.

Слайды № 10,11 (вынесение общего множителя за скобки).

Алгоритм

1. Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем

2. Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
   
3. Произведение коэффициента, найденного на первом шаге, является общим множителем, который  выносят за скобки.

Итак, выполним разложение на множители. Слайды № 12, 13.

1. -x4y3-2x3y2+5x2.

Воспользуемся сформулированным алгоритмом

Наибольший общий делитель коэффициентов –1, -2 и 5 равен 1.

Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x2.

Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки.

Вывод: 

за скобки можно вынести x2, в данном случае целесообразнее вынести -x2.

Получим: -x4y3-2x3y2+5x2 =

-x2(x2y3+2xy2-5)

Слайд № 14 (способ группировки)

Разложить на множители.

2. х3+х2у– 4у – 4х = (х2+х2у) – (4х+4у) = х2 (х + у) – 4(х + у) = (х + у)(х2 – 4) =

= (х + у)(х2 – 4) = (х + у)(х – 2)(х + 2)

 Слайд № 16

3. bx2 + 2b2 – b3 – 2x2 = (bx2 – b3) – (2x2–2b2)

= b(x2 – b2) –2(x2 – b2) =

=

(b – 2)(x2 – b2) = (b – 2)(x – b)(x + b) 

Замечание:

Если группировка оказалось неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ. По мере приобретения опыта, вы будете быстро находить удачную группировку.

Слайд 15,16 (разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения)

Вспомните эти формулы:

1. a2-b2=(a-b)(a+b);

2. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);

3. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
4. a2+2ab+b2=(a+b)2;
5. a2-2ab+b2=(a-b)2.

Слайд № 17

Первую из этих формул можно применять к выражению, представляющему собой разность квадратов (безразлично чего – чисел, одночленов, многочленов), вторую и третью – к выражению, представляющему собой разность (или сумму) кубов; Последние две формулы применяются к трехчлену, представляющему собой полный квадрат, т.е. содержащему сумму квадратов двух выражений и удвоенное произведение тех же выражений.

Пример (слайд № 18)

1. а6 + 27b3 = (a2)3 +  (3b)3 = (a2 + 3b)(a4 – 3a2b + 9b2)

Воспользовались формулой суммы кубов.

Пример (слайд № 19)

2. х2                                     х2        1                                   х              2

   –– - 0,8ху + 0,16у2 = –– - 2 ·––х · 0,4у + (0,4у)2 =   –– - 0,4у  

    4                                 2         2                                    2

  Воспользовались формулой квадрата разности.

Пример (слайд № 20)

3. х6 – 4а4 = (х3)2 – (2а2)2 = (х3 – 2а2) (х3 + 2а2)

Воспользовались формулой разности квадратов.

Слайд № 21 (разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов)    

В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.

Слайд № 22,23,24.

Разложить на множители многочлен

Пример 1

36a6b3 - 96a4b4 + 64a2b5

Сначала займемся вынесением общего множителя за скобки. Рассмотрим коэффициенты 36, 96, 64. Все они делятся на 4, причем это – наибольший общий делитель, вынесем его за скобки. Во все члены многочлена входит переменная a (соответственно a6, a4, a2), поэтому за скобки можно вынести a2. Точно так же во все члены многочлена входит переменная b (соответственно b3, b4, b5) – за скобки можно вынести b3.

1) Итак, за скобки вынесем 4a2b3.
Тогда получим: 36a6b3-96a4b4+64a2b5 = 4a2b3(9a4-24a2b+16b2)

 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9a4-24a2b+16b2. Выясним, не является ли он   полным квадратом. Имеем: 9a4-24a2b+16b2=(3a2)2+(4b)2-2·3a2·4b. Все условия полного квадрата соблюдены, следовательно, 9a4-24a2b+16b2= (3a2-4b)2.

3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат: 36a6b3-96a4b4+64a2b5=4a2b3(3a2-4b)2.

2. Разложить на множители (пример 2) слайд № 25
x4+x2a2+a4

Применим метод выделения полного квадрата. Для этого представим x2a2 в виде 2x2a2-x2a2.

Получим:

x4+x2a2+a4 =

x4+2x2a2-x2a2+a4

= (x4+2x2a2+a4)-x2a2 =

(x2+a2)2-(xa)2 =

= (x2+a2+xa) · (х2 + а2 – ха)

Слайд № 26,27.

3. Разложить на множители (пример 3)

n3+3n2+2n

Сначала воспользуемся тем, что n можно вынести за скобки: n(n2+3n+2).

Теперь к трехчлену n2+3n+2 применим способ группировки, предварительно представив 3n в виде 2n+n. Получим:

n2 + 3n + 2 = n2 + 2n + n + 2 = (n2+2n) + (n+2) = n (n + 2) + (n + 2) = (n + 2)(n + 1).

Окончательно получаем: n2+ 3n + 2 =

n (n + 1) (n + 2).

Физкультминутка  слайд № 28.

7. Самостоятельная работа по вариантам

В – I

Разложите на множители

1. 2х (х – 3) + (х - 3)

а) (х – 3)(2х + 1)

б) (х – 3)(1 – 2х)

в) 2х(х – 3)(х – 3)

г) разложить нельзя

2. 2х2 – 4х + 2

а) 2(х2 – 2х + 1)

б) разложить нельзя

в) 2(х – 1)2

г) – 2(х + 1)2

3. ху + 3у – х – 3

а) (х + 3) (у – 1)

б) (х –1) (у + 3)

в) разложить нельзя

г) (3у – х)(х – 3)

4. 25х6

––– – 0,0016у4

           9

       5                      5

а)   –х3 –  0,4у2      –х3 + 0,4у2

      3                      3

        5                      5

б)    ––х2 –  0,4у2     –х2 + 0,4у2

        3                      3  

в)    5х3                     5х3

       –––  – 0,04у2      –––  + 0,04у2 

        3                         3

г) разложить нельзя

5. а2в – 4аbс + 4bc2

а) b (a – 2c)2

б) (ab – 2c)2

в) разложить нельзя

г)  (2a –bc)2

6. (х – 3)(х + 3) + (х – 3)2

а) 2х (х – 3)

б) (2 + х) (0 – 3)

в) (х – 3)(х + 4)

г) (х – 3) х

В – II

Разложите на множители

1) (у – 2) х – 2у (у – 2)

а) (у – 2) (х – 2у)

б) (у – 2) (- х – 2у)

в) (у – 2) (х + 2у)

г) разложить нельзя

2. 3х2 – 6х + 3

а) 3 (х2 –  2х + 1)

б) 3 (х – 1)2

в) – 3 (х + 1)2

г) разложить нельзя

3. mn – 2 _ 2n – m

а) (m – 2)(n + 1)

б) разложить нельзя

в) (m + 2) (n – 1)

г) – (m + 2) (n + 1)

4. 64х2

–––– - 0,0081у8

25

а) 8х2                  8х2  

    –– - 0,09у4     –––  +  0,09у4

     5                      5

б)    8х2                  8х2  

       ––– - 0,3у4      –––  +  0,3у4

        5                      5

в)    8х2                    8х2

       –– - 0,09у2       ––– +  0,09у2

        5                       5

г) разложить нельзя

5. ах2 – 2аху + ау2

а) а (х2 – 2ху + у2)

б) (ах – у)2

в) а (х – у)2

г) разложить нельзя

6. (х – 5)2 + (х – 5) (х + 5)

а) 2х (х + 5)

б) х (х – 5)

в) 2х (х – 5)

г) (х – 5) (2 + х)

Учащиеся могут выбрать для решения любые пять примеров.

Ответы: (слайд № 29)

IX.

Ответы учащиеся записывают под копирку. Первый экземпляр сдается учителю, по второму осуществляется самоконтроль. Учащиеся сами выставляют себе оценки.

За 5 верных ответов оценка «5»;

За 4 верных ответа оценка «4»;

За 3 верных ответа оценка «3»;

За 2 верных ответа оценка «2».

X.

Выяснить при решении, каких примеров было допущено больше всего ошибок, рассмотреть решение этих примеров.

XI.

Итог урока.

Какие приемы разложения многочлена на множители мы применяли на уроке при решении упражнений?

Ответы:

• вынесение общего множителя за скобки;
• группировка;
• использование формул сокращенного умножения;
• комбинации различных приемов.

Выставить оценки за работу на уроке.

XIII. Информация о Д/З.        

п. 37, №  998, 1010.

XII. Рефлексия деятельности.

Оцените свою работу на уроке.

«У меня все отлично»               «У меня все хорошо»               «Возникли трудности»

Слайд № 30, 31