Неравенства
план-конспект

Тема. Рациональные неравенства

Цель: формирование навыков и умений решать неравенства методом интервалов

     Ребята, еще за тысячи лет до нашего рождения Аристотель говорил, что «…математика … выявляет порядок, симметрию и определенность, а это – важнейшие виды прекрасного». И после каждого занятия неопределенности в мире математики у нас становится меньше, а овладевать новыми знаниями просто прекрасно. Я надеюсь, что и сегодня мы с вами откроем для себя что-то новое.

Для начала я предлагаю решить неравенство:

x2-2x-8≤ 0

Цель задания: вспомнить алгоритм решения квадратичного неравенства

Рассматриваем квадратичную функцию

1. y= x2-2х -8

её графиком является парабола, ветви которой направлены вверх

Решаем квадратное уравнение (решение самостоятельно через дискриминант)

 x2-2x-8=0

Отмечаем полученные корни на оси Ох и через отмеченные точки схематично строим график параболы

-выколотые, потому что знак неравенства строгий

+ - +

-4 2 Х

- Расставляем знаки на промежутках

- Промежутки со знаком +, потому что в неравенстве стоит знак неравенства строгий

Ответ:

Следующее неравенство

(x-2)(x+3)≤ 0

Записываем квадратное уравнение и его корни

x2+x-6=0

x1=2, x2=-3

Дорешайте самостоятельно это неравенство

Новое неравенство

(x-2)(x-3)(х-4) ˃0

Отмечаем полученные корни на оси ОХ, какие будут точки?

Полученные корни разобьют ось ОХ на числовые промежутки, назовите их

3

С помощью данного метода можно решить неравенство любой степени, в том числе и второй, которые мы с вами решали с помощью схематического построения параболы.

(-∞;2) (2;3) (3;4) (4;+∞)

Ответ: (2;3)∪(4;+∞)

Решите неравенство самостоятельно (х2-9)(х+5) ≤ 0.

Алгоритм решения неравенств
методом интервалов

Пусть требуется решить неравенство

а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn) , где х1 2 3 xn

1. Найти корни уравнения

а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn) = 0

1. Отметить на числовой прямой корни х1, х2, х3 ,… , xn
2. Определить знак выражения

а(х - х1) (х - х2)(х – х3)…(x - xn)

на каждом из получившихся промежутков.

4. Записать ответ, выбрав промежутки с соответствующим

знаку неравенства знаком.

Решить неравенства методом интервалов

Средний уровень

1) х2 – 7х + 12 ≤ 0

2) (х + 10)(х – 4)

3) 2х (8 + х)(х – 12) 0

4) (х + 2)(7 – х)(х – 13) 0

5) (х + 5)/(х - 6) 0

Достаточный уровень

1) (х – 2)(х +5)/(х + 2) ≥ 0

2) (х + 3)2(х + 1)(х – 2) ≤ 0

3) (16 – х2)(3х2 + 1) 0

4) (6 – 3х)/(х + 4) ≥ 0

Высокий уровень

1) (х4 – 16х2)( - х2 – 5) ≤ 0

2) (– х2 + 8х – 7)/(х2 + х – 2) 0

3) х3 – 5х2 + 6х ≥ 0

4) (х – 2)(х + 2)2(х + 3)/(х - 1) ≤ 0