Формулы сокращённого умножения
методическая разработка по алгебре (7 класс)

1. Найдите целые выражения среди выражений:

3х +7у; ; ; 10х + (2х – 3у)(х – у);

; ; ; ; а3.

2. Сформулируйте задание для каждого выражения и выполните его:

1) (2а – в)(2а + в) + (в – с)(в + с) + (с – 2а)(с + 2а).

2) х2(х – 4) – (х – 4).

3) (3а + 7b)2 – (9а – 5b)2.

4) (692 – 31 ∙ 31) : 19.

5) а(а – 2) – 5а + 10.

6) 5 а2 + 10аb + 5b2.

7) у 4 – 8 у 2 +16 .

8) (а – 8)(а + 4) – 2а(5 – а).

9) (а – х)2 – (а + х)2

10) (а+(в + с))2

3. Среди данных выражений, найдите равные пары:

(2х – у)2;
2(2х – у) 2;
4(2х – у) 2;
(4х – 2у) 2;
0,5(4х – 2у) 2.

4. Какие из следующих многочленов квадраты?

а2 + 4а + 4; а2 + 12а + 9;
х4 + 6 х2 у2 + 9 у2; а2 –10 а в2 + 25в4;
4 а х2 – 6а + 16; х2 + 18х2 + 9.

5. Вычислите:

1. (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) – 232.

2. (1 – 3)(3 + 1)(32 + 1) (34 + 1) (38 + 1) (316 + 1) + 332.

6. Продолжите предложение.

Разложить многочлен на множители это значит...

Способы разложения многочлена на множители:

Метод разложения на множители используется:

7. Объясните каждый шаг решения уравнения:

1) x3 – 4x = 0

x(x2 – 4)= 0

x(x – 2)(x + 2) = 0

x = 0 или x – 2 = 0 или x + 2 = 0

x = 2 x = –2

Ответ: 0; 2; –2.

2) x3 – 2x2 – x + 2 = 0

x2(x – 2) – (x – 2) = 0

(x – 2)(x2 – 1) = 0

(x – 2)(x + 1)(x – 1) = 0

x – 2 = 0 или x + 1 = 0 или x – 1 = 0

x =2 x = –1 x = 1

Ответ: 2; –1; 1.

8. Решите уравнения и объясните каждый шаг решения уравнения:

а) 49x2 – 42x + 9 = 0;

б) x2+ 6x – 7 = 0;

в) x4+ 4y4 = 0

9. Найдите значения числовых выражений, объяснив, какой способ разложения на множители использовали:

45 · 93 + 45 · 7 =

712 + 2 · 71 · 29 + 292 =

25 · 59 + 25 · 41 + 52 · 13 – 52 · 12 =

599 · 601 =

10. Составьте вопросы для зачета по теме «Преобразование целого выражения в многочлен. Разложение многочлена на множители.»

11. Ответьте на вопросы:

1. Можно ли разложить по формуле сокращенного умножения трехчлен х² – 4х + 1?
2. Верно ли, что х² + у² = (х + у)(х – у)?
3. Верно ли, что (х – у) = у – х?
4. Верно ли, что (4 – х)² = (х – 4)²?
5. Верно ли, что 49х² – 28х +16 = (7х – 4)²?
6. Верно ли, что 1 – 9х³ = (1 – 3х)(1 + 3х)?
7. Верно ли, что 5a – 5b + ха – хb = (5 + х)(а – b)?

12. Найдите ошибку и исправьте ее:

;

3)

13. Рассмотрите два способа разложения на множители двучлена

х4 – х2:

х2 – х4 = (х – х2) (х + х2) = х (1 – х) ·х (1 + х) = х2 (1 – х) (1 + х);
х2 – х4 = х2 (1 – х2) = х2(1 – х)(1 + х).

Какой из способов вам больше нравится и почему?

14. Изучите задания на сравнение значения выражения с нулём:

1) x2 + 10 > 0,

т.к. x2 ≥ 0, 10 > 0.

2) –2x2 – 5 < 0,

т.к. –2x2 ≤ 0, –5 < 0.

3) x2 – 16x + 64 0,

т.к. (x – 8)2 ≥ 0

4) –x2 – 4x – 4 и 0

–(x2 + 4x + 4) и 0

–(x + 2)2 ≤ 0, значит –x2 – 4x – 4 0.

Сравните:

а) –x2 – 1 и 0, б) 7x2 + 9 и 0, в) x2 + 6x +10 и 0.

15. Изучите ещё один способ разложения многочлена на множители.

Разложите на множители

1) Дан многочлен стандартного вида.

2) Степень данного многочлена вторая.

3) Выполним умножение:

.

Таким образом, .

Проведем аналогию с данным многочленом:

a + b = –7; ab = 12.

Попробуем подобрать такие числа, чтобы при сложении они давали –7, а при умножении 12. В нашем случае это числа – 3 и – 4.

Тогда наш многочлен разложится на множители:

Разложите этим способом многочлен на множители:

1) ; 2) 3) .