Задачи о подбрасывании монеты.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9, 10, 11 класс)

Задачи о подбрасывании монеты.

Задачи на подбрасывание монет считаются довольно сложными. И перед тем как решать их, требуется небольшое пояснение. Задумайтесь, любая задача по теории вероятностей в итоге сводится к стандартной формуле:

где p — искомая вероятность, k — число устраивающих нас событий, n — общее число возможных событий.

Большинство задач  решаются по этой формуле буквально в одну строчку — достаточно прочитать условие. Но в случае с подбрасыванием монет эта формула бесполезна, поскольку из текста таких задач вообще не понятно, чему равны числа k и n. В этом и состоит вся сложность.

Тем не менее, существует как минимум два принципиально различных метода решения:

1. Метод перебора комбинаций — стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные;
2. Специальная формула вероятности — стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

Всевозможные исходы будем записывать при помощи букв Р (решка) и О (орёл). Так, исход ОР

означает, что при первом броске выпал орёл, а при  втором – решка.

№ 1 (392). В случайном эксперименте симметрическую монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.

Решение. Возможны 4 исхода: РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствуют событию «решка выпадет ровно один раз» 2 исхода: РО и ОР. Искомая вероятность равна P(A) =  = 0,5.

Ответ: 0,5.

№ 2 (389). В случайном эксперименте симметрическую монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орёл.

Решение. Возможны 4 исхода: РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствует событию «оба раза выпадет орёл» 1 исход: ОО. Искомая вероятность равна P(A) =  = 0,25.

Ответ: 0,25.

№ 3 (393). В случайном эксперименте симметрическую монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что один раз выпадет орёл, а другой -  решка.

Решение. Возможны 4 исхода: РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствуют событию «один раз выпадет орёл, а другой -  решка» 2 исхода: РО и ОР. Искомая вероятность равна P(A) =  = 0,5.

Ответ: 0,5.

№ 4 (393). В случайном эксперименте симметрическую монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет чётное число раз.

Решение. Возможны 4 исхода: РР, РО, ОР, ОО. Благоприятствуют событию «орёл выпадет чётное число раз» 2 исхода: ОО и РР (орёл может выпасть 2 раза или ни разу, т.е  0 раз). Искомая вероятность равна P(A) =  = 0,5.

Ответ:0,5.

№ 5. Симметрическую монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Решение. Всего возможны 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Благоприятствуют событию «орёл выпадет ровно два раза» 3 исхода: РОО, ОРО, ООР. Искомая вероятность равна P(A) =  = 0,375.

Ответ: 0,375.

№6. Симметрическую монету бросают трижды. Найдите вероятность того , что первые 2 броска окончатся одинаково.

Решение. Всего возможны 8 исходов: РРР, РРО, РОР, РОО, ОРР, ОРО, ООР, ООО. Благоприятствуют событию «первые 2 броска окончатся одинаково» 4 исхода: РРР, РРО, ООР, ООО. Искомая вероятность равна P(A) =  = 0,5.

Ответ: 0,5.

№ 6(381). Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Меркурий» по очереди играет с командами «Марс», «Юпитер» и «Уран». Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий».

 Решение.  Вероятность того, что команда «Меркурий» выиграет право владения мячом в каждом из матчей равна  P(A1) = .  Вероятность того, что все три события наступят (во всех матчах право владеть мячом выиграет команда «Меркурий»), равна произведению вероятности каждого из событий, то есть P(A) = P(A1)∙P(A2)∙P(A3) =  ∙  ∙  =  = 0,125.

Ответ: 0,125.

№ 7.Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Витязь» по очереди играет с командами «Атлант» и «Титан». Найдите вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном матче.

Решение.  Вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право первой  владеть  мячом каждом из матчей равна  P(A1) = . Вероятность того, что оба события наступят (команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном матче), равна произведению вероятности каждого из событий, то есть P(A) = P(A1)∙P(A2) =  ∙   =  = 0,25.

Ответ: 0,25.

№ 8. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие», «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в одном матче право первой владеть мячом получит команда "Белые".

Решение. Событие, заключающееся в том, что «ровно в одном матче команда "Белых" получит право владения мячом, является суммой трех несовместных событий:

 1. Команда «Белых» получает право владения мячом в первом матче и не получает это право во втором и третьем матчах.

 2. Команда «Белых» получает право владения мячом во втором матче и не получает это право в первом и третьем матчах.

 3. Команда «Белых» получает право владения мячом в третьем матче и не получает это право в первом и во втором матчах.

 Пусть Ai - событие, заключающееся в том, что «Белым» достается право владения мячом в i-м матче, i = 1,2,3. Тогда каждое из событий 1,2,3 можно записать в виде произведения трех событий: P(A1)∙P(2)∙P(3), P(1)∙P(A2)∙P(3), P(1)∙P(2)∙P(A3) соответственно, где ()- событие, противоположное Ai. Так как вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий, а P(Аi) = P()=  , то искомая вероятность равна P(A) = P(A1)∙P(2)∙P(3) + P(1)∙P(A2)∙P(3) + P(1)∙P(2)∙P(A3)  =  ∙  ∙  + ∙  ∙  +  ∙  ∙   =  +   +   = 0,375.

Ответ: 0,375.

Литература

1.ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В / А.Л.Семенов, И.В. Ященко и др./Издательство «Экзамен», 2013

2.Математика. Подготовка к ЕГЭ- 2014. Теория вероятностей /С.О.Иванов, Е.К.Коннова, Д.И.Ханин; под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю. Калабухова. – Ростов-на-Дону: легион, 2013.

Интернет ресурсы

http://egemaximum.ru/v6-teoriya-veroyatnosti/

http://otvet.mail.ru/question/85552265

http://www.postupivuz.ru/vopros/6646.htm

http://otvet.mail.ru/question/81834075

http://egedb.ru/howto-22