Система заданий для формирования и развития у учащихся познавательных учебных действий на уроках математики к теме «Треугольники»
учебно-методический материал

№ п.п.

Содержание задания

Предполагаемый ответ учащихся

Предметные умения, формируемые заданием

Познавательные УУД, формируемые заданием

Восстановить пропущенные элементы в определении понятия:

1. Равносторонний треугольник – это …, содержащий … стороны, … угла.

Равносторонний треугольник – это треугольник, содержащий
3равные стороны, 3равныхугла

Указывают существенные признаки равностороннего треугольника.

Логические УУД:

анализирует объекты с целью выделения признаков (существенных и несущественных);

синтезирует, составляет целое из частей, в том числе самостоятельно достраивает, восполняет недостающие компоненты.

Подводит под понятие

Прочитав выражение, установить, какие из них являются определением понятия, и доказать свою точку зрения.

А) Остроугольный  треугольник – это треугольник, у которого все углы острые.

Б) Остроугольный треугольник – это треугольник, у которого есть острый угол

А) Данное выражение является определением понятия остроугольный треугольник, т.к. в нём указан родовой признак  - «треугольник», и видовой – «все углы острые», и они истинны

Б) Данное выражение не является определением понятия остроугольный треугольник, т.к. в нём указан родовой  признак -«треугольник»,он истинный, видовой – «у которого есть острый угол» не является истинным.

Указывает существенные признаки остроугольного треугольника и определяет их истинность.

Логические УУД:

анализирует объекты с целью выделения признаков;

строит логическую цепь; подводит под понятие.

Общеучебные УУД:

осознанно и произвольно строит речевое высказывание в устной и письменной форме.

Определить, на основании какого признака выстроены ряды понятий (осуществлена сериация понятий) или определён порядок действий.

1. Остроугольный треугольник, прямоугольный треугольник, тупоугольный треугольник
2. Неравнобедренный треугольник, равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник

1. Треугольники по видам углов по увеличению градусной меры наибольшего угла
2. Треугольники по возрастанию количества равных сторон

Определяет признак для построения ряда видов треугольников

Логические УУД:

анализирует  объекты с целью выделения признаков  (существ. и несуществ.);

выбирает основание (критерий) для сравнения, сериации, классификации объектов;

Найти лишнее понятие, указав основание деления (обосновав свой выбор):

катет, медиана, гипотенуза.

медиана – не является стороной прямоугольного треугольника, а катет и гипотенуза, – названия сторон прямоугольного треугольника (по принадлежности к структурным элементам (сторонам) прямоугольного треугольника).

Отличает стороны прямоугольного треугольника от других отрезков в треугольнике.

Анализирует  объекты с целью выделения признаков  (существ. и несуществ.);

выбирает основание (критерий) для сравнения, сериации, классификации объектов;

подводит под понятие;

строит логическую цепь рассуждений.

Общеучебные УУД:

осознанно и произвольно строит речевое высказывание в устной и письменной форме.

Восстановить пропущенные посылки в умозаключения

1. Треугольник, у которого есть прямой угол – прямоугольный треугольник. ?

Треугольник АВС – прямоугольный треугольник.

2. Центром окружности,  вписанной в треугольник является точка  пересечения его биссектрис? Точка О является точкой пересечения биссектрис треугольника АВС

1. Треугольник АВС имеет прямой угол
2. Точка О - центр окружности, вписанной в треугольник АВС

Указывает свойства данных геометрических объектов.

Логические УУД:

анализирует объекты с целью выделения признаков (существенных и несущественных);

подводит под понятие,

синтезирует, составляет целое из частей, в том числе самостоятельно достраивает, восполняет недостающие компоненты.

Общеучебные УУД:

осознанно и произвольно строит речевое высказывание в устной и письменной форме;

По данным посылкам сформулировать вывод умозаключения.

1.Треугольник имеет углы

Четырехугольник имеет углы

Пятиугольник имеет углы

Треугольник, четырехугольник, пятиугольник –многоугольники ?

2. В равносторонний треугольник можно вписать окружность

В квадрат можно вписать окружность

В правильный шестиугольник можно вписать окружность

Равносторонний треугольник,  квадрат и правильный шестиугольник - правильные многоугольники   ?

1. Все многоугольники имеют углы
2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность

Определяет свойства многоугольников и правильных многоугольников

Логические УУД:

анализирует объекты с целью выделения признаков (существенных и несущественных);

выводит следствие;

синтезирует, составляет целое из частей, в том числе самостоятельно достраивает, восполняет недостающие компоненты.

Общеучебные УУД:

осознанно и произвольно строит речевое высказывание в устной и письменной форме;

№ п.п.

Содержание задания

Предполагаемый ответ учащихся

Предметные умения, формируемые заданием

Познавательные УУД, формируемые заданием

 А) Сформулировать вопросы-суждения к заданию: «Доказать, что в любой треугольник можно вписать окружность».

В) Ответить на вопросы в форме суждений.

А)
1. В каком случае окружность является вписанной в треугольник?

2. Каким образом центр вписанной окружности находится  в треугольнике?

В)
1. Окружность является вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

2. Центр окружности, вписанной в треугольник равноудален от сторон треугольника, значит лежит на пересечении биссектрис. Значит, для его построения нужно построить биссектрисы углов треугольника. Точка пересечения и будет центром описанной окружности.

Указывает существенные признаки окружности, вписанной в треугольник.

Формулирует алгоритм действий для построения центра вписанной окружности

Логические УУД:

анализирует объекты с целью выделения признаков (существенных и несущественных);

строит логическую цепь рассуждений;

общеучебные УУД:

выбирает наиболее эффективные способы решения задач;

осознанно и произвольно строит речевое высказывание в устной и письменной форме.

Решить задачу разными способами и выбрать из них наиболее рациональный. Обосновать свой выбор аргументами:

Задача. В треугольнике АВС: АВ=ВС, ∠А=200. Найти внешний угол при вершине B.

Первый способ (по теореме о внешнем угле треугольника)

1. Т.к. АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, следовательно ∠А=∠С.
2. ∠В – внутренний угол при вершине В, значит внешний угол при вершине В равен сумме внутренних, с ним не смежных, т.е. ∠А+∠С=400

Ответ: внешний угол при вершине В равен 400.

Второй способ (по теореме о сумме углов треугольника и свойству смежных углов)

1. Т.к. АВ=ВС, то треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, следовательно∠А=∠С.
2. Найдем ∠В=180º – (20 º +20 º)=140 º.
3. Внешний угол при вершине В смежен с внутренним, значит равен 180 º –140 º =40 º

Ответ: внешний угол при вершине В равен 400.

Вывод: для данной задачи из двух способов первый более рациональный, так как  в обоих решениях п.1 совпадает, но дальнейшее решение вторым способом содержит больше действий.

Выделяет свойства треугольника, необходимые для решения задачи. Находит внешний угол треугольника

А) по теореме о внешнем угле треугольника;

В) по теореме о сумме углов треугольника и свойству смежных углов.

Логические УУД:

анализирует объекты с целью выделения признаков (существенных и несущественных);

подводит под понятие, выводит следствия;

строит  логическую цепь рассуждений;

общеучебные УУД:

осознанно и произвольно строит речевое высказывание в устной и письменной форме;

выбирает наиболее эффективный способ решения задач

А)С помощью кругов Эйлера отразить отношение между понятиями:

А - равнобедренный треугольник

В  - равносторонний треугольник

С - прямоугольный треугольник

D – разносторонний треугольник

Б) Пройдите по ссылке, ответьте на вопросы и выполните задания:

https://learningapps.org/watch?v=p3cx73k4524 

Схема:

Устанавливает отношения между видами треугольников и отражает их с помощью кругов Эйлера 

Логические УУД:

анализирует объекты с целью выделения признаков (существенных и несущественных);

общеучебные УУД:

совершает знаково-символические действия

№ п.п.

Содержание задания

Предполагаемый ответ учащихся

Предметные умения, формируемые заданием

Познавательные УУД, формируемые заданием

Выявить противоречие в условии и решении задачи и предложить средство (путь) разрешения данного противоречия.

Задача: В равнобедренном треугольнике АВС известен внешний угол. Найти все внутренние углы треугольника АВС, если данный угол равен:

А.  150º;  Б.  70º. В. Прямому углу

Противоречие: В задаче необходимо вычислить все углы треугольника, при этом не известно при какой из вершин дано значение внешнего угла

Путь разрешения противоречия:

А. необходимо рассмотреть все возможные случаи расположения данного угла:

1) при вершине равнобедренного треугольника; 2) при основании равнобедренного треугольника.

Различает понятия внешний угол треугольника и внутренний угол треугольника.  Определяет место расположения внешнего угла у равнобедренного треугольника 

Действия постановки и решения проблем:

формулирует проблему;

самостоятельно создает способ решения проблемы творческого и поискового характер

общеучебные УУД:

осознанно и произвольно строит  речевое высказывание в устной и письменной форме.