Методическая разработка "Решение тригонометрических уравнений"
план-конспект занятия по алгебре (10 класс)
Данный материал можно использовать при решении тригонометриских уравнений, либо для открытого урока.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
1-reshenie_trigonometricheskih_uravneniy_konspekt.docx | 257.61 КБ |
resh.trig_.uravneniy.pptx | 727.92 КБ |
Предварительный просмотр:
Департамент образования города Москвы
Государственное бюджетное профессиональное
образовательное учреждение города Москвы
«Образовательный комплекс градостроительства «Столица»
отделение «Кржижановское»
МЕТОДИЧЕСКАЯ
РАЗРАБОТКА
по теме
«Решение тригонометрических уравнений»
Преподаватель: Плюснина Н.М.
Решение тригонометрических уравнений
Цели урока:
- Образовательные: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотреть различные виды тригонометрических уравнений и общие подходы решения данных уравнений; сформировать навыки решения тригонометрических уравнений различными способами.
- Развивающие: содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, сравнивать, систематизировать, обобщать; формировать и развивать общеучебные умения и навыки: поиск способов решения, используя алгоритмы решения, самопроверки по образцу, взаимопроверки.
- Воспитательные: вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;вырабатывать умение работать в группе, умение продуктивно общаться, слушать и отстаивать свое мнение;способствовать формированию активности, максимальной работоспособности, чувства ответственности; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
Оборудование: компьютер, проектор, аудиторная доска.
Тип урока:Комбинированный
План урока
- Организационный момент (1 мин)
- Подготовка обучающихся к освоению новых знаний (2 мин)
- Историческая справка (5 мин)
- Повторение пройденного материала: устные вопросы и задания, тест (20 мин)
- Изучение нового материала (36 мин)
- Самостоятельная работа, самопроверка (20 мин)
- Подведение итогов урока, выставление оценок (5 мин)
- Домашнее задание (1 мин)
Эпиграфом нашего урока будут такие слова:
Результат учения равен
произведению способности
на старательность.
Если старательность равна нулю,
То и все произведение равно нулю.
А способности есть у каждого.
Ход урока
1. Организационный момент
Преподаватель организует начало урока. Активизируется внимание учащихся на начало учебного процесса.
Обучающиеся демонстрируют готовность к началу урока.
2. Подготовка обучающихся к усвоению новых знаний (Слайд 1)
Преподаватель определяет тему урока.
Обучающиеся фиксируют в тетрадь.
Актуализация знаний.
На предыдущих уроках мы изучили понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, а также рассмотрели решения простейших тригонометрических уравнений. Сегодня мы познакомимся с более сложными тригонометрическими уравнениями, их видами, рассмотрим способы решения таких уравнений. Тригонометрические уравнения актуальны, так как обязательно входят в задания ЕГЭ профильного уровня с полным решением.
3. Историческая справка о возникновении тригонометрии (Слайд 2-3)
(сообщение делает обучающийся)
Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon – треугольник, а metrew – измеряю).
Возникновение тригонометрии связано с землемереием, астрономией и строительным делом. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухаммед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов.
Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара и азербайджанский астроном и математик НасиреддинТуси Мухаммед (1201-1274). Кроме того, НасиреддинТуси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.
Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а, по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, АпполонияПергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия.
Современный синус, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.
В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XIIвеке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).
Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т.е. «дополнительный синус».
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов.
Эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы: благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной в Европе. Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Тангенс переводится как «касающийся» (линия тангенсов – это касательная к единичной окружности)
Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1607) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.
Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.
Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII векаЛеонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. В математике Эйлер написал боле 800 работ, доказал многие теоремы.
Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.
4. Повторение пройденного материала (Слайд 4-6)
Устная работа.
1) Дайте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса.
2) Вычислите:
|
3) Решите уравнения (письменно; у доски решает один из обучающихся)
а) б) | в) г) |
4) Назовите основные тождества тригонометрии, формулы синуса и косинуса двойного угла.
5) Тест по повторенному материалу (3 варианта). После выполнения заданий теста делается самопроверка по готовым ответам через проектор, и выставляются оценки.
Тест. Вариант 1 | Фамилия, Имя _______________________________________ | ||||
№ п/п | Задание | Варианты ответов | Ответ | Проверка | |
1 | А) ; Б) ; В) ; Г) | ||||
2 | А) ; Б) ; В) ; Г) | ||||
3 | А) Б) В) Г) 0 | ||||
4 | А) Б) В) Г) | ||||
5 | А) Б) В) Г) | ||||
Оценка | |||||
Критерии оценки: оценка «3» - 3 верных ответаоценка «4» - 4 верных ответаоценка «5» - 5 верных ответа |
Тест. Вариант 2 | Фамилия, Имя _______________________________________ | ||||
№ п/п | Задание | Варианты ответов | Ответ | Проверка | |
1 | А) ; Б) ; В) ; Г) | ||||
2 | А) ; Б) ; В) ; Г) | ||||
3 | А) Б) В) Г) 0 | ||||
4 | А) Б) В) Г) | ||||
5 | А) Б) В) Г) | ||||
Оценка | |||||
Критерии оценки: оценка «3» - 3 верных ответаоценка «4» - 4 верных ответаоценка «5» - 5 верных ответа |
Тест. Вариант 3 | Фамилия, Имя _______________________________________ | ||||
№ п/п | Задание | Варианты ответов | Ответ | Проверка | |
1 | А) ; Б) ; В) ; Г) | ||||
2 | А) ; Б) ; В) ; Г) | ||||
3 | А) Б) В) Г) 0 | ||||
4 | А) Б) В) Г) | ||||
5 | А) Б) В) Г) | ||||
Оценка | |||||
Критерии оценки: оценка «3» - 3 верных ответаоценка «4» - 4 верных ответаоценка «5» - 5 верных ответа |
Ключ к тестам
№ | Вариант 1 | Вариант 2 | Вариант 3 |
1 | В | В | Б |
2 | Г | Б | А |
3 | Б | В | Г |
4 | А | Б | В |
5 | Г | В | Б |
5. Изучение нового материала (Работа на доске и в тетрадях. Слайд 7-11)
Мы повторили темы, необходимые для решения более сложных тригонометрических уравнений. Рассмотрим несколько способов решения таких уравнений на примерах.
Пример 1.
Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной, сводящихся к квадратному уравнению.
Решим уравнение . Пусть . Тогда данное уравнение можно записать в виде . Мы получили квадратное уравнение. Его корни: , . Тогда делаем обратную замену или. | |
; ; . | ; . |
Ответ: ; . |
Закрепление материала: № 165(а), 167(а) по учебнику А.Н. Колмогорова.
Пример 2.
Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций.
Решим уравнение . Пользуясь основным тригонометрическим тождеством, заменяем на . Получим относительно уравнение . Аналогично примеру 1, введем новую переменную . Получим квадратное уравнение . Его корни: , . | |
; ; . | - решений нет, т.к. |
Ответ: . |
Закрепление материала: № 166(а), 167(б) по учебнику А.Н. Колмогорова.
Пример 3.
Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.
Решим уравнение . . Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений: или . .
Ответ: ; . |
Закрепление материала: № 168(а,в) по учебнику А.Н. Колмогорова.
2 sin2xcos2x – 3cos2x = 0.
Пример 4.
Решение однородных тригонометрических уравнений.
- Уравнения вида , где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx или cosx.
Рассмотрим уравнение. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к., если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству sin2 x + cos2 x = 1. Получим tg x – 1 = 0. tg x = 1, Ответ: |
Закрепление материала: (Ответ: )
- Уравнения вида , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.
Рассмотрим уравнение . Обе части данного уравнения можно разделить на (или на ) и при этом получить уравнение, равносильное данному уравнению , откуда или или Ответ: ; . |
Закрепление материала: № 169(а) по учебнику А.Н. Колмогорова.
- Рассмотрим еще одно уравнение .
Сделаем замену в правой части уравнения, используя основное тригонометрическое тождество . После выполнения соответствующих преобразований получим . Воспользуемся уже известным приемом и получим: или
Ответ: ; . |
Закрепление материала: № 170(а) по учебнику А.Н. Колмогорова.
(Ответ: ; )
Пример 5.
Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение.
Решим уравнение . Для решения уравнения воспользуемся формулой . Получим . Это уравнение обращается в верное равенство, если или .
Ответ: ; . |
6. Самостоятельная работа (Слайд 12)
1) Задания по вариантам на карточках.
Самостоятельная работа. Вариант 1 | ||||
Фамилия, Имя _______________________________________ | ||||
№ п/п | Задание | Решение | Проверка | |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
Доп. | ||||
Оценка |
Критерии оценки
оценка «3» - 1 верный ответ
оценка «4» - 2 верных ответа
оценка «5» - 3-4 верных ответа
Самостоятельная работа. Вариант 2 | ||||
Фамилия, Имя _______________________________________ | ||||
№ п/п | Задание | Решение | Проверка | |
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
Доп. | ||||
Оценка |
Критерии оценки
оценка «3» - 1 верный ответ
оценка «4» - 2 верных ответа
оценка «5» - 3-4 верных ответа
2) Самопроверка по готовым ответам через проектор.
Ответы
№ п/п | Вариант 1 | Вариант 2 |
1 | ||
2 | ; | ; |
3 | ||
Доп. | ; | ; |
7. Подведение итогов урока. Выставление оценок
Обучающиеся вычисляют среднее арифметическое оценок, выставленных за тест и самостоятельную работу, и полученная оценка ставится в журнал.
8. Домашнее задание (Слайд 13)
№ 170(г), 172(б), 174(в) по учебнику А.Н. Колмогорова
№ | Задание | Ответ |
164г | ||
165а | ||
166в | ||
172г | ||
167б | ||
На оценку | 1 вариант | |
| задание | ответ |
3 | ||
4 | ||
5 | ||
| 2 вариант | |
3 | ||
4 | ||
5 |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Немного из истории… Аль- Батани (850-929) Абу-ль- Вафа (940-998 ) Насиреддин Туси Мухаммед (1201-1274)
Немного из истории… Николай Коперник (1473-1543) Леонард Эйлер (1707-1783 ) Родился в Швейцарии. Долгие годы жил и работал в России, член Петербургской Академии наук. Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, вариационному исчислению, механике и другим приложениям математики
Устная работа 1) Дайте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса. 2) Вычислите:
Решите уравнения а) б) в) г)
Проверка ответов на тест № Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 1 В В Б 2 Г Б А 3 Б В Г 4 А Б В 5 Г В Б
Пример 1 Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной, сводящихся к квадратному уравнению № 165(а), 167(а) по учебнику А.Н. Колмогорова
Пример 2 Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций № 166(а), 167(б) по учебнику А.Н. Колмогорова
Пример 3 Решение тригонометрических уравнений разложением на множители № 168(а) по учебнику А.Н. Колмогорова; 2 sin 2 x cos 2 x – 3 cos 2 x = 0
Пример 4 Решение однородных тригонометрических уравнений 1) Уравнения вида , где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно sinx или cosx . 2) Уравнения вида , где a, b, c – некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x . № 170(а) по учебнику А.Н. Колмогорова
Пример 5 Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение № 174(а) по учебнику А.Н. Колмогорова;
Ответы на задания самостоятельной работы
Д омашнее задание № 170(г), 172(б), 174(в) по учебнику А.Н. Колмогорова
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Методическая разработка урока алгебры в 10 классе по теме Решение тригонометрических уравнений"
Обобщающий урок по алгебре в 10 классе по теме "Решение тригонометричкских уравнений". Одна из задач урока:развитие навыка применять знания в нестандартных ситуациях, нацеливание на решение задания С1...
методический материал "Система заданий по теме решние тригонометрических уравнений", 10 класс
Дидактический материал "Система заданий по теме "решение тригонометрических уравнений" составлен по 3-м урвням....
Методическая разработка урока алгебры в 10 классе: "Тригонометрические уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Однородные уравнения"
Соотнести свое уравнение с одним из типов уравнений, используя справочный материал...
Конспект урока по теме: ”Тригонометрические уравнения. Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a. “
Разобраны свойства функции sinx. Приведено решение уравнения sinx=a. Разобраны 4 примера....
Тема 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Решение простейших тригонометрических уравнений. Общий приём. Метод разложения на множители.
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э...
Тема 17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Решение простейших тригонометрических уравнений. Общий приём. Метод разложения на множители.
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступительным э...
Тема 21. Итоговый контроль по темам № 16-20: «Преобразования и вычисления тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения. Действия с обратными тригонометрическими функциями».
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, а также абитуриентов к вступител...