"Формулы сокращенного умножения", 7 класс, 2023
методическая разработка по алгебре (7 класс)

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1.Организационный  момент (1 мин).

Цели и задачи для учителя:

-создание благоприятной  психологической  атмосферы урока;

- включение  всех обучающихся в работу.

Методы организации работы: беседа.

Форма организации работы: коллективная

Цели для учащихся:

- настрой  на работу в рамках урока;

- установка эмоционального доверительного  контакта  с учителем и друг с другом;

- внутреннее   замотивировать  себя на работу и личностный успех.

Приветствие. Проверка готовности к уроку, организация внимания детей.

Создание эмоционального настроя на работу.

-Улыбнитесь себе, друг другу и мне, мы дружно и с хорошим настроением начинаем работать. Начать наше занятие мне бы хотелось со слов прекрасной женщины - великого математика Софьи Васильевны Ковалевской. «У математиков существует свой язык - это формулы». (Слайд 2)

Включаются в деловой ритм урока.

 Приветствуют учителя. Настраиваются на урок.

2. Подготовка к основному этапу занятия (актуализация опорных знаний).  Мотивация. (5 мин)

Цели и задачи для учителя:

- создание  мотивации  каждого учащегося к работе на уроке.

 - воспроизведение необходимых для овладения новым материалом знаний учащихся в процессе включения их  в активную познавательную деятельность;

-оценка уровня  подготовленности учащихся, корректировка их знания, мотивация на активное восприятие нового материала;

-развитие речи как показателя интеллектуального и общего развитие ученика;

-формирование  умения рассуждать, сопоставлять, анализировать и делать выводы.

-создание условий  для понимания учениками необходимости применения формул сокращенного умножения.

Методы организации работы: устный опрос с постановкой проблемной задачи, словесный, практический.

Форма организации работы: фронтальная работа,  индивидуальная деятельность.

Цели для учащихся:

- в ходе решения устных задач вспомнить правила,  изученные ранее;

- умение выявить и сформулировать проблему;

-определения практического значения  темы.

Учитель дает  учащимся  задания, актуализирующие их знания. В список заданий включается проблемный вопрос или создается проблемная ситуация.  Одним словом, мотивирует, побуждает ученика к вступлению в деятельность.

-Формулы, как «ключики», которые открывают нам двери в мир знаний, и позволяет нам решать сложные практические задачи. Но ведь получить эти «ключи» бывает  не просто. Для этого нужно много знать и уметь. Посмотрим, а что знаете вы? (Слайд 3)

1.Прочитайте  выражения.          

а)  а + b;      б)  n2 + m2;    в) (c + d)2;      г)  (с - к)2;          д) 2ху

-  что значит:  (c + d)2;    (с – к)2     

2.  Найдите  квадраты  выражений:   в;  - 5;  3b;  4х2,  2х2 у3.

(вспомнить правило возведения в степень произведения).

3.  Найдите  удвоенное  произведение  выражений:

     а)  х  и  у;        б)  3а  и  -5b;        в)  3х  и 2х2.          

(вспомнить правило умножения степеней с одинаковыми степенями).

2. Поддержание мотивации через технологию «проблемная задача» (Слайд 4)

512; 1012

-Возможно ли сосчитать устно?  (дети приходят к выводу, что устно посчитать достаточно сложно).

-Для этого нам и нужны те самые «ключики», которые называются формулами. И мы сегодня с ними познакомимся.

Откройте тетради, запишите число, классная работа. Для темы урока оставьте место.

Отвечают  на поставленные вопросы.

Осуществляют целеполагание.

Обсуждают проблему.

3. Изучение нового материала. (15 мин)

Цели и задачи для учителя:

- организация  познавательной  деятельности  по выводу формул сокращенного умножения.

-обеспечение  понимания  содержания нового знания, в общем и целом;

-обеспечение  понимания планируемого результата деятельности, основных путей его достижения;

-обеспечение  восприятия, осмысления и первичного запоминания  знаний и способов действий, связей и отношений при изучении нового;

- формирование  умения рассуждать и умозаключать;

- развитие речи как показателя интеллектуального и общего развитие ученика;

-формирование предметных компетенций учащихся.

Методы организации работы: словесный, наглядный, практический.

Формы организации работы: индивидуальная, фронтальная, парная.

Цели для учащихся:

- выведения  формул  квадрата суммы и квадрата разности двух выражений;

-совершенствование  умения  слушать и слышать одноклассников в процессе выполнения коллективной  и парной работы;

- вывод  о практичности данных формул.

1. Вывод формулы квадрата  суммы двух выражений геометрическим способом.

-Вообще, некоторые формулы были известны еще около 4 тыс. лет тому назад. Тогда они формулировались словесно или геометрически. Доказательство формул опиралось на геометрическое соображение.

Давайте попробуем пройти путь древнегреческих математиков.

(На парте лежат – вырезанные из бумаги 2 квадрата со сторонами а и b и 2 прямоугольника со сторонами  a и b, ученики в парах моделирует свой квадрат). (Слайд 5)

- Чему равна площадь полученного квадрата? (Сумме площадей квадрата со стороной а, двух площадей прямоугольника со сторонами а и в и площади квадрата со стороной в). (Слайд 6)

        а        в        

    в        в  в

                                       +

        =        +

        а        а                +        

        аа

        а        в

S= S1+S2+S3+S4

S= а2+аb+ аb +b2   

S= а2+2аb +b2   

и

S= (а+b)2   

(а+b)2 =а2+2аb+b2     (Прочитать полученную формулу)    (Слайд 7)                             

-Мы с вами объяснили геометрический смысл данной формулы (площадь квадрата  со стороной а+в) Утверждение, которое выражается формулой квадрата суммы, было известно ещё в древности. Оно описано, например, древнегреческим учёным Евклидом (III в. До н.э.) (Слайд 8)

2. Вывод формулы квадрата  суммы и квадрата разности двух выражений алгебраическим способом.

Но математики искали другие пути, более короткие, более рациональные. И пришли к выводу, что можно данную формулу вывести алгебраическим путем.  Как?  Что значит выражение (а+b)2 (умножить на себя два раза)

Ученики приходят к выводу, что можно получить формулу, умножив многочлен на многочлен.  (Вспомнить правило умножения многочлена на многочлен).

(а+b)2=(а+b) (а+b)= a2+2ab+b2        

-Давайте проверим, что данная формула является тождеством  (равенство, верное при любых значениях входящих в него  переменных) (Слайд 9)

1 вариант: (c+d)2=(c+d) (c+d)=

2 вариант: (m+n)2=(m+n) (m+n)=

-А  теперь попробуйте заменить «+» на «-».

Ученики выполняют задание, получают формулу.

 (a-b)2=(a-b) (a-b)= a2-2ab+b2

 Вопросы:

- Что явилось результатом умножения многочлена на многочлен (трёхчлен)  

1-й  член – квадрат  первого  выражения;

2-й  член – удвоенное  произведение  первого  и  второго  выражений;

3-й  член – квадрат  второго  выражения.       

- Чем они отличаются? (знаком перед удвоенным произведением).

-Сформулируйте эти формулы словесно.

-Эти формулы называются формулами сокращенного умножения, они применяются для упрощения выражений, для рационального решения некоторых числовых  выражений. Этих формул больше, но сегодня мы узнали первые две.  Как мы их назовем?

( квадрат суммы и квадрат разности двух выражений)

Итак, запишите тему нашего урока «Формулы сокращенного умножения». (Слайд 10)

(Обратиться к учебнику)

Заметим, что в словестной формулировке поменяны местами 2ав и в2. Почему? (от перемены мест слагаемых значение суммы не меняется).

3. Решение «проблемной задачи».

А теперь давайте вернемся к нашим проблемным примерам и попробуем посчитать снова.

512=(50+1)2=502+2*50*1+12=2500+100+1+2601

1012=(100+1)2=1002+2*100*1+12=10000+200+1=10201

Попробуйте сами: 492=…

Мы убедились, что с помощью формул результат можно получить практически устно.

Совместно с учителем выводят формулы сокращенного умножения геометрическим и алгебраическим способом.

При этом работают в парах, отвечают на вопросы.

В конце этапа возвращаются к проблемной задаче и приходят к выводу, что с помощью формул сокращенного умножения решить эту задачу очень легко и просто.

4. Физкультминутка. (1 мин)

Цели и задачи для учителя:

-создание условий для отдыха учащихся

Цели для учащихся:

-смена деятельности

1.Закрыть глаза, сильно напрягая глазные мышцы, на счет 1-4, затем раскрыть глаза, расслабив мышцы глаз, посмотреть вдаль на счет 4-6, повторить 4 раза.

2. Посмотреть на переносицу и задержать взор на счет 1-4, затем посмотреть вдаль на счет 4-6. Повторить 4 раза.

3. Проследить глазами за полетом бабочки. (Слайд 11)

Выполняют задания учителя.

5. Закрепление изученного материала.(11 мин)

Цели и задачи для учителя:

 -обеспечение  усвоения  новых знаний и способов действий на уровне применения при решении задач разного уровня сложности;

-стимулирование  творческого применение знаний, умений и навыков;

- развитие эмоциональной сферы и познавательной активности учащихся;

- развитие речи как показателя интеллектуального и общего развитие ученика.

Методы организации работы: словесный, практический, поисковый

Формы организации работы: фронтальная, индивидуальная, коллективная.

Цели для учащихся:

- использование формул сокращенного умножения на практическом материале;

- совершенствование умения слушать и слышать одноклассников в процессе выполнения коллективной работы.

1.Решение задач по алгоритму  (закрепление под руководством учителя посредством прямого повторения основных моментов нового материала).

Карточка 1. 

Заполнить таблицу (1 показываю сама, дальше - дети)

Вставьте пропущенные одночлены (2 человека у доски)

Исправь ошибку (1 человек у доски)

(7 + а)2 = 49 + а2    (+ 14а)

(6а + 1)2 = 6а2 + 12а + 1    (36а2)

(у – 4)2 = у2 + 4у + 16     (знак «-»; 8у)

(5а – 3)2 = 25а2 – 30а + 9 (нет ошибки) – ловушка

2. Решение у доски  и в тетрадях номера из учебника.

При выполнении заданий -  проговаривать правила.

 № 28.4 (в,г)

в) (-n+8)2 =  (-n)2 + 2*(- n)*8 + 82= n2-16 n+64

г) (-m-10)2 = (-m)2-2*(-m)* 10+102= m2+ 20 m +100 (смотрим в таблицу)

Учащиеся сами приходят к выводу:    (а - b)2 =(b - а) 2 , (-а - b)2 =(а + b) 2

-На других уроках мы докажем эти тождества.

На данном этапе учащиеся в форме коммуникативного взаимодействия  решают типовые задания на использования формул сокращенного умножения, проговаривая правило.

Проводят взаимопроверку.

6. Первичная проверка новых знаний. (7 мин)

Цели и задачи для учителя:

- создание ситуации  успеха для каждого ученика посредством подбора несложных заданий;

- первичная  проверка  усвоения и понимания  нового материала;

Методы организации работы: самостоятельная работа  с последующей самопроверкой.

Формы организации работы: индивидуальная, коллективная.

Цели для учащихся:

-проверка степени усвоения нового материала;

-самооценка

Карточка 2.

 1.Соедините пары тождественно равных выражений

Ключ

2. Выбрать  правильный  ответ. 

Выбрать правильный ответ из предложенных А, Б, В

Ключ

 (Слайд 12)

Самостоятельно решают задания на карточках.

После выполнения заданий учащиеся проводят самопроверку по ключам и оценивают работы.

7. Домашнее задание. Подведение итогов урока. Рефлексия.(5 мин)

Цели и задачи для учителя:

-проведение анализа  и оценки успешности достижения цели урока, перспектива последующей работы;

- мотивация  выполнения  учащимися дополнительного домашнего задания.

Цели для учащихся:

- саморефлексия

1. Домашнее задание.

п. 28, доказать  геометрический  смысл  формулы (a-b)2,

№28.1-28.3 (а,б);  28.5(аб); 28.14-28.15 (аб).

2. Подведение итогов урока.

Итак, ребята, какие цели мы для себя сегодня ставили? Достигли ли? Что должны были сделать? А сейчас, продолжите, пожалуйста, фразу:

Сегодня на уроке я узнал…

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я научился…

Урок окончен. Спасибо.

Записывают  задание в дневник.

 Отвечают на вопросы учителя, оценивают себя, проводят саморефлексию.

п.