Развитие вероятностного мышления практико-ориентированных  задач на уроках алгебры в 7-х классах.

Математика играет ведущую роль в формировании мышления, воспитании способности действовать по заданному алгоритму, а также в разработке новых.

Именно естественная наука, изучающая закономерности в случайных явлениях, - теория вероятности - занимает особое место среди многих других наук. Математика характеризуется особым подходом к явлениям, особым вероятностным типом мышления.

В современном образовательном процессе идея формирования у школьников универсальных навыков, необходимых для решения жизненных и профессиональных задач, является одной из основных в федеральном государственном образовательном стандарте.

Для решения практико-ориентированных задач эффективно в том случае, когда учащиеся встречались с описываемой ситуацией в реальной действительности: в быту, на экскурсии, при изучении других предметов. Эффективным средством является широкое использование наглядности: фотографий, слайдов, плакатов, рисунков и т.д.

Такие задачи повышают интерес, а как следствие и мотивацию, учащихся к самому предмету, поскольку для большинства ценность математического образования состоит в ее практических возможностях. [2].

Одним из методов решения озвученной выше проблемы в современном образовании актуальной является разработка и внедрение в учебный процесс педагогических технологий, повышающих интенсивность, качество, уровень мотивации, привлекательность процесса познания. [1].

При разработке требований к построению практико-ориентированных задач центральной проблемой становится разработка алгоритма конструирования подобных задач. [3].

Задачи: 1. Плата за телефон составляет 220 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 10%. Сколько рублей вам придется ежемесячно платить за телефон в следующем году?

2. Владельцы дисконтных карт книжных магазинов получают скидку 5% при покупке. Книга стоит 200 рублей. Сколько рублей заплатит за книгу обладатель дисконтной карты?

3. В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а)первый ученик должен решить задачу, второй- сходить за мелом, третий- пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором?  

4.Имеются две упаковки с гелевыми авторучками синего и черного цвета, по 50 штук в каждой. В первой упаковке пять авторучек синего цвета, во второй упаковке десять ручек синего цвета. Какова вероятность, что из наудачу взятой коробки будет наудачу извлечена синего цвета?

5. Телефонная компания предоставляет на выбор следующие тарифные планы.

Абонент выбрал наиболее дешевый тарифный план, исходя из того, что общая длительность телефонных разговоров в месяц составит 900 минут. Какую сумму он должен заплатить за месяц, если общая длительность разговоров в этом месяце действительно будет равна 900 минутам? Ответ дайте в рублях.

В 7-ом классе сначала был проведена работа с анализом [рис.2]. далее была организована диагностическая работа по проверке приобретённых знаний и умений. Анализ диагностической работы показала следующий результат [рис 2].

Рис.1. Анализ диагностической работы до метода.     Рис.2. Анализ диагностической работы после метода

Исходя из диаграммы можно проанализировать качество знаний, результат диагностических работ выяснилось, что учащиеся в 7 «Б» классе, более хороши в изучении математики. В связи с усилением практической направленности, у учащихся появился интерес к математике, как учебному процессу, повысилась мотивация к изучению математики и качество математической подготовки остаётся стабильным. Повысился уровень усвоения знаний позволяет судить об эффективности применения разработанных на основе общих методов практико-ориентированных задач и способствовать формированию у учащихся чёткого понимания роли данных задач, как на уроках, так и в повседневной жизни учеников.

3.2 Развитие вероятностного мышления практико-ориентированных стохастических задач на уроках алгебры в 8-х классах.

Методика реализации стохастической линии в 8 классе.

Основные задачи:

1) yмeниe вычислять oснoвные cтатиcтические характеристики по данным, которые представлены в таблице;

2) знакомство с новой статистической характеристикой – медианой ряда, формирование yмения находить ee;

3) знакомство с равновероятными событиями, введение классического определения вероятности;

4) ввeдeние понятия «геометрическая вероятность».

В 8 клacce следует продолжать решать задачи, в которых основные статистические характеристики находятся по данным в таблицах.

Дана таблица, в которой представлены оценки, полученные учениками 8 класса за последнюю самостоятельную работу. Вычислите среднee арифметическое и моду ряда данных.

Таблица №3

По данной таблице можно вычислить некоторые статистические характеристики, но существует и более удобный способ вычисления – с помощью таблицы частот. То есть необходимо посчитать, сколько раз встречается каждая оценка в таблице.

Таблица №4

По такой таблице будет проще найти статистические характеристики. Например, для того, чтобы найти среднее арифметическое, не придется складывать все числа из столбца «Оценка». Можно просто по построенной таблице частот каждую оценку умножить на ее частоту и составить сумму всех получившихся произведений. Здесь же сразу видно, что модой является оценка « 4 », так как она появляется чаще всего.

 В 8 классе появляется новая статистическая характеристика – медиана. Ввести это понятие можно, рассмотрев следующий пример:

В таблице представлен расход воды в декабре жильцами семи квартир.

Таблица №5

Составим упорядоченный ряд данных: 5 , 8 , 9 , 10, 13 , 14, 16 . Он состоит из семи чисел. В середине ряда находится число 10 , так как слева и справа от него расположено по три числа. Таким образом, говорят, что число 10 является медианой ряда.

Допустим, к исходным данным добавились данные о расходе воды в восьмой квартире: 8 квартира – 7 м³ . Получился новый упорядоченный ряд данных: 5 , 7 , 8 , 9 , 10, 13, 14, 16. Он содержит четное количество цифр и в нем есть два числа, которые находятся в середине – 9 и 10 . Тогда медианой нового ряда будет среднее арифметическое этих двух чисел, то есть

Таким образом, медианой упорядоченного ряда, содержащего нечетное количество чисел, называется число, находящееся в середине данного ряда. Медианой ряда, содержащего четное количество чисел, называется среднее арифметическое двух чисел, расположенных в середине ряда.

После вступления понятия медианы ряда необходимо разобрать следующую задачу: В таблице представлены затраты ученика за четыре дня:

Определите, какая статистическая характеристика вычисляется под каждой буквой:

а) 17 + 20 +17 +15 = 69 ; 69 : 4 =17,25 ; ________ =17,25 р.

б) 15, 17 , 17 , 20 ; (17 +17): 2 =17 ; ________ =17 р.

в) 17 , 20 , 17 , 15 ; ________ =17 р.

г) 20 −15 = 5 ; _________ = 5 р.

До 8 класса уже рассматривалось, как можно оценить вероятность, исходя из статистических данных. Такая вероятность будет примерно равна частоте появления интересующего события при проведении большого количества одинаковых случайных испытаний. Но частота дает лишь примерное значение вероятности. Помимо этого, не всегда возможно реализовать такую серию испытаний. Поэтому учащимся нужно показать другие варианты нахождения вероятностей. Одним из таких вариантов является случай, когда все исходы случайного испытания равновозможны. Здесь вероятность каждого такого исхода можно найти, не проводя испытаний. Например, при подкидывании монеты возможно появление двух равновероятных событий – «выпал орел» и «выпала решка». Следовательно, можно сделать вывод, что вероятность каждого из них равна . Практически этот же результат получился и при проведении опытов. То же самое с «правильным» кубиком, все шесть исходов равновероятны, значит вероятность каждого из них равна  Ольга Александр Виктория Антон Сергей Елена

После этого следует пояснить, что исходы, в которых наступило интересующее событие, называются благоприятными. Затем ввести классическое определение вероятности. После введения классического определения вероятности можно рассмотреть следующие задачи: В урне находятся 10 белых и 6 красных шаров. Найдите вероятность того, что наугад вынутый шар окажется белым.

Число всех равновозможных исходов при извлечении шара из урны равно 16 . Пусть событие A - «вынут белый шар». Число таких исходов равно 10 . Значит P(A) .

На трехместной скамейке случайным образом располагаются две женщины и мужчина. Какова вероятность того, что женщины будут сидеть рядом? Число всех возможных исходов равно количеству перестановок трех элементов, то есть равно 3!= 6 . Пусть событие A - «женщины сидят рядом», число благоприятных исходов для этого события равно 4 (когда женщины сидят рядом с одного края скамейки – 2 варианта, и, аналогично, 2 варианта, когда сидят с другого края скамейки). Таким образом P(A)= =

  Помимо статистического и классического определений вероятности существует еще геометрическая вероятность. Ввести ее можно с помощью следующего примера. На квадратном столе спичками выложен квадрат. Как найти вероятность того, что при случайном броске на стол фишка окажется в искомом квадрате.

Данная вероятность равна отношению площади выложенного спичками квадрата к площади поверхности стола. Например, если площадь стола равна 0,5 м² , а площадь квадрата равна 0,05 м² , то P =  .

При решении вероятностных задач было выявлено то что, учащиеся 8 класса показали положительный результат при работе. Такие задачи повышают интерес, а как следствие и мотивацию, учащихся к самому предмету, поскольку для большинства ценность математического образования состоит в ее практических возможностях.

Рисунок 3 Анализ диагностической работы по четвертям.

Положительный уровень усвоения знаний позволяет судить об эффективности использования методов, разработанных на основе общих методов развития вероятностного мышления на основе практико-ориентированных стохастических задач, и способствует четкому пониманию роли этих задач у учащихся, как на занятиях, так и в в жизни.

Развитие вероятностного мышления практико-ориентированных стохастических задач на уроках алгебры в 8-х классах

Основные задачи:

1) yмeниe вычислять oснoвные cтатиcтические характеристики по данным, которые представлены в таблице;

2) знакомство с новой статистической характеристикой – медианой ряда, формирование yмения находить ee;

3) знакомство с равновероятными событиями, введение классического определения вероятности;

4) ввeдeние понятия «геометрическая вероятность».

В 8 клacce следует продолжать решать задачи, в которых основные статистические характеристики находятся по данным в таблицах.

Дана таблица, в которой представлены оценки, полученные учениками 8 класса за последнюю самостоятельную работу. Вычислите среднee арифметическое и моду ряда данных.

Таблица 3

По данной таблице можно вычислить некоторые статистические характеристики, но существует и более удобный способ вычисления – с помощью таблицы частот. То есть необходимо посчитать, сколько раз встречается каждая оценка в таблице.

Таблица 4

По такой таблице будет проще найти статистические характеристики. Например, для того, чтобы найти среднее арифметическое, не придется складывать все числа из столбца «Оценка». Можно просто по построенной таблице частот каждую оценку умножить на ее частоту и составить сумму всех получившихся произведений. Здесь же сразу видно, что модой является оценка « 4 », так как она появляется чаще всего.

В 8 классе появляется новая статистическая характеристика – медиана. Ввести это понятие можно, рассмотрев следующий пример:

В таблице представлен расход воды в декабре жильцами семи квартир.

Таблица 5

Составим упорядоченный ряд данных: 5 , 8 , 9 , 10, 13 , 14, 16 . Он состоит из семи чисел. В середине ряда находится число 10 , так как слева и справа от него расположено по три числа. Таким образом, говорят, что число 10 является медианой ряда.

Допустим, к исходным данным добавились данные о расходе воды в восьмой квартире: 8 квартира – 7 м³ . Получился новый упорядоченный ряд данных: 5 , 7 , 8 , 9 , 10, 13, 14, 16. Он содержит четное количество цифр и в нем есть два числа, которые находятся в середине – 9 и 10 . Тогда медианой нового ряда будет среднее арифметическое этих двух чисел, то есть

Таким образом, медианой упорядоченного ряда, содержащего нечетное количество чисел, называется число, находящееся в середине данного ряда. Медианой ряда, содержащего четное количество чисел, называется среднее арифметическое двух чисел, расположенных в середине ряда.

После вступления понятия медианы ряда необходимо разобрать следующую задачу: В таблице представлены затраты ученика за четыре дня:

Определите, какая статистическая характеристика вычисляется под каждой буквой:

а) 17 + 20 +17 +15 = 69 ; 69 : 4 =17,25 ; ________ =17,25 р.

б) 15, 17 , 17 , 20 ; (17 +17): 2 =17 ; ________ =17 р.

в) 17 , 20 , 17 , 15 ; ________ =17 р.

г) 20 −15 = 5 ; _________ = 5 р.

До 8 класса уже рассматривалось, как можно оценить вероятность, исходя из статистических данных. Такая вероятность будет примерно равна частоте появления интересующего события при проведении большого количества одинаковых случайных испытаний. Но частота дает лишь примерное значение вероятности. Помимо этого, не всегда возможно реализовать такую серию испытаний. Поэтому учащимся нужно показать другие варианты нахождения вероятностей. Одним из таких вариантов является случай, когда все исходы случайного испытания равновозможны. Здесь вероятность каждого такого исхода можно найти, не проводя испытаний. Например, при подкидывании монеты возможно появление двух равновероятных событий – «выпал орел» и «выпала решка». Следовательно, можно сделать вывод, что вероятность каждого из них равна . Практически этот же результат получился и при проведении опытов. То же самое с «правильным» кубиком, все шесть исходов равновероятны, значит вероятность каждого из них равна 1/6 Ольга Александр Виктория Антон Сергей Елена

После этого следует пояснить, что исходы, в которых наступило интересующее событие, называются благоприятными. Затем ввести классическое определение вероятности. После введения классического определения вероятности можно рассмотреть следующие задачи: В урне находятся 10 белых и 6 красных шаров. Найдите вероятность того, что наугад вынутый шар окажется белым.

Число всех равновозможных исходов при извлечении шара из урны равно 16 . Пусть событие A - «вынут белый шар». Число таких исходов равно 10 . Значит P(A) .

На трехместной скамейке случайным образом располагаются две женщины и мужчина. Какова вероятность того, что женщины будут сидеть рядом? Число всех возможных исходов равно количеству перестановок трех элементов, то есть равно 3!= 6 . Пусть событие A - «женщины сидят рядом», число благоприятных исходов для этого события равно 4 (когда женщины сидят рядом с одного края скамейки – 2 варианта, и, аналогично, 2 варианта, когда сидят с другого края скамейки). Таким образом P(A)= =

Помимо статистического и классического определений вероятности существует еще геометрическая вероятность. Ввести ее можно с помощью следующего примера. На квадратном столе спичками выложен квадрат. Как найти вероятность того, что при случайном броске на стол фишка окажется в искомом квадрате.

Данная вероятность равна отношению площади выложенного спичками квадрата к площади поверхности стола. Например, если площадь стола равна 0,5 м² , а площадь квадрата равна 0,05 м² , то P =  .

При решении вероятностных задач было выявлено то что, учащиеся 8 класса показали положительный результат при работе. Такие задачи повышают интерес, а как следствие и мотивацию, учащихся к самому предмету, поскольку для большинства ценность математического образования состоит в ее практических возможностях.

Рис.9. Анализ диагностической работы по четвертям

Положительный уровень усвоения знаний позволяет судить об эффективности использования методов, разработанных на основе общих методов развития вероятностного мышления на основе практико-ориентированных стохастических задач, и способствует четкому пониманию роли этих задач у учащихся, как на занятиях, так и в в жизни.