Исследование функций на монотонность
презентация к уроку по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Построение графиков функций по УМК А.Г. Мордковича 10 класс

Слайд 2

План построения графика функции с помощью производной Найти область определения функции и определить точки разрыва если они существуют Выяснить является ли функция четно или нечетной, проверить её на периодичность Найти точки пересечения графика с осями координат (если это возможно) Найти стационарные и критические точки Найти точки экстремума функции и промежутки монотонности Найти координаты ещё нескольких точек (для большей точности)

Слайд 3

Исследовать функцию у = 2х ³ +3х ² -1 и построить её график Решение :1. D (у)= (- ∞; +∞ ) 2. четность не определена 3. Найдем точки пересечения графика с осями координат: если х=0, то у=-1 => (0;-1) если у=0, то х= -1 => (-1; 0) 4. Найдем стационарные точки: т.к. у ΄ =6х ² +6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0 тогда х=0 и х=-1 стационарные точки 5. Найдем точки экстремума: и х=-1 – точка максимума х= 0 – точка минимума Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; - 1 ] и [ 0; + ∞ ) - функция возрастает при x ϵ [ - 1 ; 0 ] - функция убывает х 0 -1 f´(x) + + - f(x)

Слайд 4

6. Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные): т.к. х=-1 – точка максимума, то у max =0 => (-1; 0) -точка локального максимума т.к. х= 0 – точка минимума, у min =-1 => (0;-1) -точка локального минимума если х=1, то у=4 => (1;4) если х=-2, то у=-5 => (-2;-5) Удобнее все эти данные заполнять в виде таблицы. х (- ∞;-1 ) -1 (-1;0) 0 (0;+ ∞ ) f ΄ (х) + 0 - 0 + f (х) ↑ 0 max ↓ -1 min ↑

Слайд 5

Построим график функции: х у 0 -1 -2 4 1 -5

Слайд 6

Исследовать функцию и построить её график 1) у = 3х ² - х ³ 2) у = - 9х + х ³ 3) у = х ³ - 3х ² + 2 4) у = - х ³ + 6х ² - 5 5) у = 3х ³ + х ² - 8х – 7 6) у = (х)/(1+х ² )

Слайд 7

Работа с графиками функций

Слайд 8

№ 1. По графику функции ответьте на вопросы 1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно сказать о производной в точке х 2 ? 3) Назовите точки экстремума. 4) Что можно сказать о производной на (−∞; х 2 ]? 5) Укажите промежутки возрастания функции. 6) Отметьте критические точки

Слайд 9

№ 2. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.

Слайд 10

№ 3. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция?

Слайд 11

№ 4. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

Слайд 1

Построение графиков функций по УМК А.Г. Мордковича 10 класс

Слайд 2

План построения графика функции с помощью производной Найти область определения функции и определить точки разрыва если они существуют Выяснить является ли функция четно или нечетной, проверить её на периодичность Найти точки пересечения графика с осями координат (если это возможно) Найти стационарные и критические точки Найти точки экстремума функции и промежутки монотонности Найти координаты ещё нескольких точек (для большей точности)

Слайд 3

Исследовать функцию у = 2х ³ +3х ² -1 и построить её график Решение :1. D (у)= (- ∞; +∞ ) 2. четность не определена 3. Найдем точки пересечения графика с осями координат: если х=0, то у=-1 => (0;-1) если у=0, то х= -1 => (-1; 0) 4. Найдем стационарные точки: т.к. у ΄ =6х ² +6х=6х(х+1) => 6х(х+1)=0 тогда х=0 и х=-1 стационарные точки 5. Найдем точки экстремума: и х=-1 – точка максимума х= 0 – точка минимума Найдем промежутки монотонности: при x ϵ (-∞; - 1 ] и [ 0; + ∞ ) - функция возрастает при x ϵ [ - 1 ; 0 ] - функция убывает х 0 -1 f´(x) + + - f(x)

Слайд 4

6. Найдем ещё некоторые точки (контрольные, дополнительные): т.к. х=-1 – точка максимума, то у max =0 => (-1; 0) -точка локального максимума т.к. х= 0 – точка минимума, у min =-1 => (0;-1) -точка локального минимума если х=1, то у=4 => (1;4) если х=-2, то у=-5 => (-2;-5) Удобнее все эти данные заполнять в виде таблицы. х (- ∞;-1 ) -1 (-1;0) 0 (0;+ ∞ ) f ΄ (х) + 0 - 0 + f (х) ↑ 0 max ↓ -1 min ↑

Слайд 5

Построим график функции: х у 0 -1 -2 4 1 -5

Слайд 6

Исследовать функцию и построить её график 1) у = 3х ² - х ³ 2) у = - 9х + х ³ 3) у = х ³ - 3х ² + 2 4) у = - х ³ + 6х ² - 5 5) у = 3х ³ + х ² - 8х – 7 6) у = (х)/(1+х ² )

Слайд 7

Работа с графиками функций

Слайд 8

№ 1. По графику функции ответьте на вопросы 1) Отметьте стационарные точки. 2) Что можно сказать о производной в точке х 2 ? 3) Назовите точки экстремума. 4) Что можно сказать о производной на (−∞; х 2 ]? 5) Укажите промежутки возрастания функции. 6) Отметьте критические точки

Слайд 9

№ 2. По графику производной некоторой функции укажите интервалы, на которых функция монотонно возрастает, убывает, имеет максимум, имеет минимум.

Слайд 10

№ 3. На рисунке изображён график производной функции y=f(x). Сколько точек максимума имеет эта функция?

Слайд 11

№ 4. Дан график производной некоторой функции. Определить промежутки, на которых функция убывает?

Слайд 1

Исследование функции на монотонность Учитель Радюк С.Е. МОУ СОШ № 9 г. Люберцы

Слайд 2

Устная работа Найти производную функции : 1)f(x)=3 +5x 2)f(x)= 3 3)f(x)=10 +2x-2 4)f(x)=2x- cos x A) f ΄ (x)=4 Б) f ΄ (x )=30 +2 В) f ΄ (x )=2+sin x Г) f ΄ (x )=6x+5

Слайд 3

Устная работа По графику определить промежутки возрастания и убывания Функция возрастает на (- Функция убывает на [-3;4]. -3 -0 ,5 7 4 х f(x) у

Слайд 4

Устная работа По графику определить промежутки возрастания и убывания Функция возрастает на (- Функция убывает на [4;+ На промежутке [-2;4] y=C ( const ) -2 4

Слайд 5

Новый материал Ранее, исследуя функцию на монотонность, мы полагались, в основном на наглядно-интуитивные представления и убедилсиь в том, что нахождение промежутков возрастания и убывания – это порой очень не простая задача! Но теперь уровень наших знаний позволяет нам овладеть универсальным способом исследования функций на монотонность. Этот способ, как вы уже догадались, связан с понятием производной. Итак, тема урока: Исследование функций на монотонность

Слайд 6

Новый материал Обратимся к геометрическому смыслу производной. Итак, f ΄ (x)=k= tg k - ? Проведем касательную к графику функции в точке с абсциссой –о,5. Какой угол образует касательная с осью ОХ? (угол-тупой, ΄ (x) Проведем касательную к графику функции в точке с абсциссой 7 . Какой угол образует касательная с осью ОХ? ( угол - острый, ΄ (x) -3 -0 ,5 7 4 х f(x) у

Слайд 7

Новый материал Попробуем сделать вывод о том, как связана монотонность функции и знак ее производной!? 1) если на множестве Х функция возрастает, то производная положительна. 2)если на множестве Х функция убывает, то производная отрицательна. Заметим также, что гораздо важнее и обратные утверждения, показывающие как по знаку производной можно установить характер монотонности функции: Теорема 1)Если на множестве Х f ΄ (x)>0 , f(x) – возрастает. Теорема 2)Если на множестве Х f ΄ ( x)<0 , f(x) – убывает.

Слайд 8

Новый материал А что будет происходить с функцией, если на всём множестве Х производная равна 0? На этом множестве функция не убывает и не возрастает. Такая функция называется постоянной y=C ( const ) . Теорема 3) Если во всех точках множества Х f ΄ (x)=0, то фукнция f(x) постоянна на множестве Х. -2 4

Слайд 9

Новый материал Рассмотрим пример: Найти промежутки убывания и возрастания функции у=2 +3 -1 Решение: 1) D(f)=R 2)f ΄ (x)=6 +6x = 6x(x+1) 3) f ΄ (x )=0 при х=0 и х=-1 (нули производной) + - + f(x) 0 x На промежутке (- функция возрастает (т.к. производная положительна. На промежутке [-1;0] функция убывает (т.к. производная отрицательна) f ΄ (x) -1

Слайд 10

Закрепление Разобрать задания из учебника № 30.1, 30.4 – устно № 30.7, 30.9 (г), 30.10 (б), 30.13 (в) и 30.15 (в) № 30.1 а) f ΄ (x) f ΄ ( x) d. в) f ΄ (x) d, f ΄ (x) b и c . № 30.4 На рисунке 53 изображен график производной. Функция убывает на промежутке [4;+ ) , т.к. на этом промежутке производная принимает отрицательные значения (график ниже оси ОХ).

Слайд 11

Закрепление № 30.7 Эскиз графика: 1

Слайд 12

Самостоятельная работа Исследовать функцию на монотонность 1 вариант. у= - 27 х 2 вариант. у= - 3 +9х

Слайд 13

Домашнее задание Прочитать§ 30 п. 1, выучить теоремы 1,2,3. № 30.8, 30.9 ( аб ), 30.10, 30.12-30.16 (а)

Слайд 14

Итог урока Что нового мы узнали на уроке? Сформулируйте теоремы, связывающие знак производной и характер монотонности функции. Как ведет себя функция на промежутке, если известно, что производная отрицательна? А если производная положительна? Как называется функция у=С?

Слайд 15

Спасибо за внимание!