Исследование функции на монотонность
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Продолжительность: 1 урока (45 минут)

Класс: 10 (профильный уровень)

Учебно-методическое обеспечение:

Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.

Тема урока:
«Исследование функции на монотонность»

Цели урока:

Обучающие:

• сформировать начальное представление об истории развития математического анализа;
• учить работать с теоретическими вопросами учебника;
• «открыть» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и значениями производной, обобщить и закрепить идею геометрического смысла производной на основе знакомства с математическими «портретами»;

Развивающие:

• способствовать развитию общения как метода научного познания, аналитико-синтетического мышления, смысловой памяти и произвольного внимания,
• развитие навыков исследовательской деятельности (планирование, выдвижение гипотез, анализ, обобщение).
• развивать умение обобщать, абстрагировать и конкретизировать знания при исследовании функции;
• развивать самостоятельность и творческий подход к решению задач;
• формировать навыки самоконтроля при выполнении самостоятельной работы; навыки коррекции собственной деятельности через применение информационных технологий;
• развивать внимание, речь, логическое мышление, графический навык, интерес к изучаемому материалу и предмету в целом;
• осуществлять межпредметную связь.

Воспитательные:

• воспитывать:

•  волю и настойчивость для достижения конечных результатов;
• культуру математической речи;
• трудолюбие, аккуратность и эстетическое отношение к выполнению любого задания;

• развивать у учащихся коммуникативные компетенции,
• способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию
• формировать навыки взаимопомощи, взаимоконтроля.

Оборудование:

• Мультимедийный проектор.
• Экран (интерактивная доска)
• Презентация с целеполаганием и заданиями.
• Карточки с заданиями для самостоятельной работы.

Используемые методы обучения:

• По источникам знаний: словесные, наглядные, практические.
• По степени взаимодействия преподавателя и учащихся: эвристическая беседа и самостоятельная работа.
• По характеру познавательной деятельности студентов и участия преподавателя в учебном процессе: объяснительно-иллюстративный, частично проблемно-поисковый (эвристический).
• По принципу расчленения или соединения знаний: сравнительный, обобщающий.

Подготовка учащихся к уроку

(выполнение домашнего задания в виде лабораторной работы)

1. Для функции y = f(x) (график функции изображен на слайде 6)  найдите:

А) промежутки возрастания и убывания функции;

Б) точки максимума и минимума;

В) экстремумы функции;

Г) наибольшее и наименьшее значение на отрезках [-7;-4], [-4;0], [-7;7].

Рис.1.

2. Постройте график функции y = f (x) (рис.1) в масштабе 2:1, приняв за единицу        измерения осей 2 клетки.

3. На построенном графике с шагом h = 1 клетка на отрезке [-7;7] проведите касательные в точках графика с абсциссами х₀ = -7 + n / 2, где n = 0,…,26 и вычислите значения производной в полученных точках, используя геометрический смысл производной. Заполните таблицу 1.

Таблица 1.

Подсказка для учащихся (читайте учебник, стр.328-340, 67 –73, [1]).

4. Постройте график производной по точкам, вычисляя значения производной в точке, используя  определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

5. Ответьте на вопросы, используя построенный график производной:

А) На каких промежутках производная функции принимает положительные

(отрицательные) значения?

Б) Можно ли определить значение производной в точках экстремума функции? Если можно, то чему равно значение производной в точках экстремума?

В) Сделайте предположения о связи значений производной с промежутками монотонности функции, с точками экстремумов функции. Заполните таблицу 2.

Таблица 2.

Ход урока

1. Организационный момент – 1 минута

Учитель приветствует учащихся и объявляет цель урока и план, используя презентационное сопровождение. Зачитывается эпиграф к уроку.

Учитель. (Слайды 1-3) Сегодня на уроке мы обобщим и закрепим идею геометрического смысла производной, сформируем начальное представление о приложениях производной в математике и истории их развития, «откроем» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и значениями производной; рассмотрим план дальнейшего изучения темы «Исследование свойств функций при помощи производной».

(Слайд 4) Эпиграфом к уроку служат слова французского философа-материалиста, атеиста Дени Дидро (1713 – 1784) – современника Декарта, Лейбница, личного библиотекаря Екатерины Великой.

«Начинать исследования можно по-разному... Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь... На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки» (Дени Дидро)

2. Проверка домашнего задания и постановка проблемы – 8 минут

Учитель. Дома Вы должны были выполнить лабораторную работу: построить график функции и схематично по точкам график её производной, используя геометрический смысл производной. А также Вы должны были ответить на вопросы. Проверим, как вы справились с домашним заданием.

Акцентируем теорию по теме. (Слайды 5, 6) 

Учитель. Ответьте на вопросы и проведите самооценку своего устного ответа, сопоставив его с выводимыми на экран элементами опорного конспекта.

Учитель объясняет метод теоретического опроса. Подает вопросы по теории на слайдах презентации. Демонстрирует после ответа учащегося соответствующие элементы опорного конспекта.

Учащиеся отвечают на теоретические вопросы устно. После демонстрации элементов опорного конспекта ими проводится самооценка  своего устного ответа.

Учитель. На экране представлен график функции из домашнего задания. По графику функции нам предстоит с Вами определить некоторые свойства функции и её производной. Далее составим так называемые «математические портреты» функции и её производной.  Под «математическим портретом» будем понимать либо словесное описание, либо  схематическое изображение соответствующих свойств на числовой оси.

Учитель демонстрирует график из домашнего задания, задает вопросы. Фиксирует результаты ответов учащихся на слайдах презентации.

Учитель.

• Назовите промежутки убывания функции (кадр).
• Отметим эти промежутки на «портрете» функции (кадр).
• В каждой точке промежутков убывания проведем касательные (кадр). Под каким углом наклонена касательная к положительному направлению оси ОХ?
• Какой знак имеет производная?
• Отметим знаки значений производной на «портрете» производной (кадр).
• Назовите промежутки возрастания функции (кадр).
• Отметим эти промежутки на «портрете» функции (кадр).
• В каждой точке промежутков возрастания проведем касательные (кадр). Под каким углом наклонена касательная к положительному направлению оси ОХ?
• Какие значения имеет производная?
• Отметим знаки значений производной и  её нулевые значения на «портрете» производной (кадр).
• Назовите точки экстремумов функции.
• Отметим эти точки на «портрете» функции (кадр).
• Проведем касательные в каждой точке экстремума (кадр).
• В каждой ли точке экстремума можно провести касательную? Если можно, то какой угол она образует с положительным направлением оси ОХ?
• В каждой ли точке экстремума существует значение производной? Если такое значение существует, то чему оно равно?
• Отметим сделанные Вами выводы на «портрете» производной надписями «Не сущ.» и « 0 » в точках экстремума (кадр).

Постановка проблемы и выдвижение гипотезы. (Слайд 8)

Учитель направляет предложения учащихся по выдвижению  гипотезы. Выдвигаемые предположения фиксируются на слайдах. Намечается план действий по исследованию проблемы.

Учащиеся проводят обсуждение ответов, выдвигают идеи по дальнейшему плану действий.

3.  Открытие нового знания. Анализ наблюдений – 11 минут

Первичный анализ наблюдений. (Слайд 9 - 11)

Задание 1. Учитель демонстрирует тестовые задания, зачитывает условие с экрана. Проверка результатов ответов осуществляется выводом на экран столбца с ответами по каждому вопросу. Учащиеся самостоятельно отвечают на вопросы. Для проверки обмениваются тетрадями в статических группах. Идет обсуждение под руководством учителя.

Задание 2. Учитель демонстрирует тестовые задания, результаты проверки. Зачитывается условие с экрана.  Если возникают трудности при решении, делает подсказки различных уровней, даёт комментарии. Учащиеся работают в динамических группах, обсуждают решение. Представители групп оглашают принятое решение.

Задание 3.Учитель демонстрирует задание на экране. Зачитывается условие с экрана. Если возникают трудности при решении, делает подсказки различных уровней, даёт комментарии. Учащиеся работают самостоятельно, предлагают свои решения.

4. Открытие нового знания. Обобщение наблюдений – 6 минут

Первичное обобщение. (Слайд 12 - 13)

Учитель. Установите соответствие между строками столбцов так, чтобы образовалось верное утверждение, соответствующее схеме, представленной на экране. При этом одной строке из левого столбца должна соответствовать только одна строка из правого столбца.

Учитель демонстрирует  тестовые задания по выбору в виде таблицы. Оказывает помощь, если она требуется,  выводя подсказки на экран. Учащиеся работают в динамических группах, обсуждают решение. Представители групп оглашают принятое решение.

Вторичное обобщение. (Слайд 14)

Учитель выводит на  экран две схемы утверждений. В форме беседы проводит обсуждение применение этих схем к примеру 1 из  предыдущей таблицы.

Учитель.

• Рассмотрим две схемы построения утверждений (кадр).
• Чем отличаются они друг от друга?
• Рассмотрим утверждение 1 предыдущей таблицы (кадр).
• Формально поменяем местами (кадр). Получим ли опять верное утверждение?

Проводится беседа с учащимися. (Ответ. Нет, так как  1. не указано «место», где выполняется условие «если …»;  2. условие «и имеет на нем производную» выполняется автоматически в условии «если…»; 3. из условия «если…» не следует преобразованное условие «то…» (может существовать промежуток, в каждой точке которого f ´(x) = 0).)

• Теперь рассмотрим правильно построенные утверждения.

5. Открытие нового знания. Работа с учебником – 3 минут

Учитель выводит на экран каждому ряду задания по работе с учебником (Слайд 15), предполагая, что учащиеся применят результаты своих исследований при выполнении задания по учебнику. Зачитывается условие с экрана. Проводит обсуждение результатов работы, выводит на экран отсканированные утверждения из учебника и правильные ответы (Слайды 16 - 18).

Учащиеся работают самостоятельно с учебником, предлагают решения, делают выводы.

6. Первичное закрепление. – 10 минут (слайды 19-21)

1. Тесты (2).

1. Укажите пары: «функция – график производной этой функции»

Самопроверка проходит с помощью мультимедийного проектора.

Ответы:

1 вариант.1 - а, 2. - в, 3. - г, 4. - д;

2 вариант.1 - г, 2. - в, 3. - б, 4. – а.

2. Проверка уровня знаний и умений по теме «Связь свойств функции и производной» в форме тестирования.(4 варианта теста)

Вариант I

На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:

Вариант II

На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:

Вариант III

На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством:

Вариант IV

На рисунке изображён график производной некоторой функции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает указанным свойством

ОТВЕТЫ:

2. Описать свойства функции по плану

О производной функции y=f(x) известно следующее:

1. Опишите свойства функции по плану:

1. Промежутки возрастания и убывания.
2. Точки экстремума функции.
3. Что можно сказать о точке (3;–2)?

2. Изобразите схематически график этой функции.

7.  Экскурс в историю – 3 минуты

Учитель. (Слайд 22) Математический анализ, ядро которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления, - самая тонкая область всей математики. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применения к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением, а раздел математики, в котором изучается операция интегрирования функции, то есть восстановления функции по её производной, называется интегральным исчислением.

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце XVII столетия.

Большой вклад в развитие дифференциального исчисления внесли:

Архимед, который задолго до этого решил задачу на построение касательной к спирали, сумел найти максимум функции f(x) = х2 (а - х),

Ж.Лагранж (1736 -1813), который ввёл современные обозначения у ', f ',

Исаак Ньютон (1643 - 1727), проводивший математические исследования, при помощи которых легче всего было понять природу производной,

Пьер Ферма (1601 -1665), математическое определение производной, которого было принято всеми математиками, успешно применявшими в своём методе нахождения экстремумов многочленов задачи о построениях касательных к кривым,

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 -1716), который установил геометрический смысл производной, как тангенс угла наклона касательной. «Штрихи к портрету» Готфрида  Лейбница (кадр):  в своей работе «Новый метод максимумов и минимумов», используя    геометрическое истолкование, он кратко разъясняет признаки возрастания и убывания, максимума и минимума, выпуклости и вогнутости (следовательно, и достаточные условия экстремума для простейшего случая), а также точки перегиба. Его знаменитая фраза: "Без настоящих единиц не может быть и множества". С ним связаны имена выдающихся личностей, термины и понятия: Эпоха Просвещения, Петр I, Россия, Ньютон, рококо, арифмометр, кратер на Луне, подводная лодка, «Философский век». Подумайте над этим дома.

Исследование свойств функций при помощи производной применяется к решению так называемых задач на наибольшее и наименьшее значения. Например, Ферма решил задачу определения конуса наибольшего объёма и цилиндра с наибольшей поверхностью, вписанных в данный шар. Подобные задачи мы с Вами тоже будем решать.

8. Подведение итогов – 2 минуты (слайд 23)

Учитель предлагает обобщить учащимся свои исследования,

Учащиеся высказывают свое мнение,  подводят общий итог исследованию.

9. Домашнее задание – 1 минута (слайд 24)

Учитель выводит на экран обязательную и необязательную части домашнего задания, делает соответствующие пояснения о том, что результаты будут необходимы на следующем уроке.

Учащиеся записывают задания.

1. §44, п.1-2, стр. 352 – 362.

2. Ответить на вопросы:

• Почему признак возрастания (убывания) называется достаточным?
• Почему условие существования экстремума в точке называется необходимым?

3*. Составить блок-схему по нахождению критических точек

Блок-схема алгоритма
на нахождение критических точек:

Список используемой литературы

1. Алгебра и начала анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 4-е изд., доп. – М.: Мнемозина, 2007.
2. Алгебра и начала анализа: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений
   /А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.; Под ред. А.Н.Колмогорова-
   10-е изд.- М..: Просвещение,2000. – стр. 160-166
3. Единый государственный экзамен: Математика: Контрол. измерит. материалы
   /Л.О.Денищева, Е.М.Бойченко, Ю.А.Глазков и.др.; М-во образования Рос.
   Федерации.- М.: Просвещение, 2003.
4. Производная и её применение: Дидакт. матер, по курсу алгебры и начал анализа
   для 10-11 кл.ср.шк./Под ред. М.И.Башмакова - СПб, Свет, 1995.
5. Клайн М. Математика. Утрата определённости: Пер. с англ./ Под ред. С предисл. И
   примеч. И.М.Яглома.- М.: Мир, 1984.
6. Степанова М.В. Учебно-исследовательская деятельность школьников в профильном обучении: учебно-методическое пособие для учителя/ Под ред. А.П.Тряпининой. – СПб.: КАРО, 2005.
7. Маркова В. Что такое исследовательская деятельность школьников / Математика (приложение к 1 сентября), №12, 2007.

Интернет – источники

Дени Дидро

http://books.atheism.ru/gallery/Diderot/

Екатерина Великая

http://mail.spb.fio.ru/archive/group15/c3wu3/pagehistory1.htm 

Лейбниц

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86%2C_%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D0%B8%D0%B4_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC 

http://tsh-solyaris.narod.ru/img3.html

http://schools.keldysh.ru/sch444/MUSEUM/PRES/DK-08-2002/

http://www.turizm.ru/germany/gallery-22596

http://www.univer.omsk.ru/omsk/Edu/Math/lleibniz.htm

Ньютон

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%2C_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

Архимед

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D0%B4

Лагранж

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%2C_%D0%96%D0%BE%D0%B7%D0%B5%D1%84_%D0%9B%D1%83%D0%B8

Ферма

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0%2C_%D0%9F%D1%8C%D0%B5%D1%80 

Ньютон

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%2C_%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%B0%D0%BA

Разработки уроков и методические материалы

1. Логунова Л.В. "Прямая пропорциональность", ВиЭкс-М-2008_II этап
Интегрированный урок-исследование (алгебра-информатика), 7 класс

http://it-n.ru/profil.aspx?cat_no=692&d_no=4120

2. Савченко Е.М. "Простейшие задачи в координатах", геометрия 11 класс.

http://it-n.ru/communities.aspx?cat_no=4510&lib_no=53992&tmpl=lib&page=1