Симметрия в математике
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Урок – конференция.

Тема: «Может ли мир существовать без симметрии?»

Участники урока-конференции: 5 групп из учащихся 8 класса, во главе каждой группы стоит «технический руководитель» – более сильный ученик.

Цели урока: 

1. образовательные:

• повторить виды симметрии в математике и закрепить знания по теме,
• расширить представления об известных фигурах, связанных с симметрией,
•  дать представление о симметрии в различных сферах нашей жизни,
•  Систематизировать и обобщить полученную информацию.

2. развивающие:

• активизировать самостоятельную деятельность,
• способствовать развитию творческой и познавательной деятельности учащихся,
• развивать навыки работы с информационными технологиями.

3. воспитательные:

• воспитать умения сплоченно и дружно работать в коллективе,
• воспитать у учащихся навыки учебного труда;
• привить культуру общения.

Программные средства:

1. Microsoft Word
2. Microsoft Power Point
3. Internet Explorer

Оборудование: мультимедийная аппаратура, раздаточный материал:  карточки с самостоятельной работой.

ХОД УРОКА

1. Вводное слово учителя.

О, симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рой  творение мороза!

Учитель: итак, слово «симметрия»   греческого происхождения и буквально означает соразмерность. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль не только в математике, но и физике, химии, биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии. Что же такого необыкновенного в симметрии? Какой глубокий смысл заложен в этом понятии? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир?

В этом мы сегодня и попробуем разобраться на нашем уроке.

Уважаемые участники конференции, несомненно, вы узнаете много нового в течение этого урока. Большое количество информации трудно запомнить сразу, поэтому прошу Вас открыть тетради, записать тему урока «Может ли мир существовать без симметрии?» и в течение каждого выступления делать необходимые для Вас заметки. В конце урока Вас ждет проверочная работа. Слово предоставляется группе математиков.

2.  Выступление математиков.

Далее следует выступление математиков, которое сопровождается презентацией. В презентации представлены основные определения и свойства различных фигур, связанных с осевой и центральной симметрией, а также задание для устной работы.
Ведет конференцию один из представителей группы математиков.

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э.
Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки.
Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно, симметричность приятна глазу.

Многие математики на протяжении веков занимались вопросом симметрии. Среди них французский математик Андриен Мари Лежандр. В свое время в свет вышел его превосходный учебник «Начала геометрии», где тема о симметрии фигур была написана исключительно понятно. Этот учебник выдержал несколько изданий при его жизни, множество переводов. «Начала геометрии» послужили образцом для всех дореволюционных учебников по элементарной математике в России.

Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

Симметричность точек, относительно прямой.

Определение: Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему

Симметричность фигуры относительно прямой

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Фигуры обладающие осевой симметрией.

У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии. А равносторонний треугольник - три основные симметрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии, а квадрат - четыре оси симметрии.

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии, например, разносторонний треугольник.

Симметричность точек относительно точки

Определение: Точки A и A1 называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка AA1

Точка O считается симметричной сама себе.

Соответствие, при котором каждой точке А сопоставляется симметричная ей относительно точки O точка A1 называется центральной симметрией.

Точка O называется центром симметрии.

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Фигуры обладающие центральной симметрией.

Центральная симметрия.

1. Отрезок имеет две оси симметрии (серединный перпендикуляр и прямая, содержащая этот отрезок) и центр симметрии (середина).
2. Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120.

Далее математики предлагают для всех учащихся выполнить задания.

1. Является ли проведенная прямая осью симметрии фигуры? Почему?
   
   
   

2. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является центром его симметрии.
3. Докажите, что прямые, содержащие диагонали ромба, являются его осями симметрии.
4. Какие из букв русского алфавита имеют центр симметрии:
   
   А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Ъ Э Ю Я?       Ж, О, Х, Ф

3.  Выступление ботаников.

Прежде чем познакомить Вас с результатами нашего исследования, мы представим вам науку Ботанику.
Ботаника – наука о растениях. Она охватывает огромный круг проблем: их систематику; развитие в течение геологического времени; возможности хозяйственного использования растений; закономерности внешнего и внутреннего строения растений.
Наше исследование было направлено на выявление примеров симметрии в растениях, то есть мы занимались последней из этих проблем – проблемой поиска закономерностей внешнего строения растений.
Этот вопрос возник ещё в 5 веке до н. э. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика.
Для представления итогов нашей работы мы выбрали растения, занесенные в Красную книгу. Это сделано для того, чтобы ещё раз обратить ваше внимание на бережное отношение к окружающей нас природной красоте.
Начнем с показа примеров осевой симметрии в ботанике.

Ребята представляют рисунки с различными частями растений, обладающими осевой симметрией

Дальнейшие наши поиски были сосредоточены на центральной симметрии. Она наиболее характерна для цветов и плодов растений. Центральная симметрия характерна для различных плодов, но мы остановились на ягодах: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии.
Центральную симметрию можно наблюдать на изображении  цветов. Весь цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков. В случае же нечетного количества лепестков, он обладает только осевой

Выводы: 

1. По нашим наблюдениям, в любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой или центральной симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие.
2. Осевая симметрия присуща различным видам растений и грибам, и их частям.
3. Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.
4. Выступление архитекторов.

 Шутка. Однажды чужеземец, восхищенный красотой знаменитого бухарского минарета Калян, воскликнул: «Как вы строите такие высокие минареты?». «Очень просто», - ответил Насреддин и, не преминув блеснуть своим обычным остроумием пояснил: «Сначала выкапываем глубокий колодец, а потом выворачиваем его наизнанку».

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры. Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним из художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение. Мы предлагаем Вам несколько примеров различных зданий и хотим особенно обратить ваше внимание на их симметричность.
        Проведём математическое обоснование осевой симметрии фасада Никольского морского собора в Петербурге.

Во второй половине XVIII - первой трети XIX века Петербург приобрёл воспетый А.С. Пушкиным “строгий, стройный вид”, который придала городу архитектура классицизма. Все здания, построенные в стиле классицизм, имеют четкие прямолинейные симметричные композиции. На фоне гладких стен выступают портики и колоннады, которые придают сооружениям торжественную монументальность и парадность. Проведём математическое обоснование осевой симметрии фасада Таврического дворца.

Интересны примеры современных зданий, построенных в середине ХХ века. Симметрии в архитектуре много. Геометрия больших городов прекрасна и неповторима.

Выводы: 

1. Принципы симметрии являются основополагающими для любого архитектора, но вопрос о соотношении между симметрией и асимметрией каждый архитектор решает по-разному. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоническую композицию симметричных элементов.
2. Удачное решение определяется талантом зодчего, его художественным вкусом и его пониманием прекрасного.

5. Выступление зоологов.

Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Сначала расскажем, что же такое зоология и чем эта наука занимается. Её предмет – изучение животного мира и именно строения и деятельности тела животных, их развития, распределения по земле и отношений к окружающей (животной и мертвой) природе. Конечная цель ее – выяснение законов, управляющих явлениями животного мира, объяснение с их помощью происхождение современного мира животных и установление естественной системы животных.

Существует множество таких законов и один из них это закон симметрии. Как мы знаем, на плоскости существует два вида симметрии: осевая и центральная. Наше исследование заключалось в поиске примеров этих двух видов симметрии в животном мире.

Начнём с осевой симметрии. По нашим наблюдениям, она присуща большому количеству видов животных.

Ребята представляют животных различных видов, для некоторых из них проводят математическое обоснование.

Теперь рассмотрим центральную симметрию. По нашим наблюдениям, центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих подводный образ жизни.

Выводы: 

1. Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое.
2. Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой.

5. Выступление транспортной группы.

В жизни людей транспорт играет значительную роль. И мы ежедневно сталкиваемся с различными его проявлениями. Зачем же нам нужен транспорт? Когда человеку понадобилось быстро перемещаться на большие расстояния и перевозить тяжелые грузы, он задумался о транспорте. Сначала он использовал силу животных: лошадей, верблюдов, оленей, собак.
И сейчас мы встречаем в нашем городе повозки и сани, запряженные лошадьми.
В основе такой повозки лежит фигура, обладающая осевой симметрией.

С дальнейшим развитием городов появилась потребность в общественном транспорте. Так в 1863 году началось регулярное пассажирское движение вагонов “конно-железных дорог” или, попросту, конок. Форма самой повозки принципиально не изменилась, а лишь вытянулась вдоль первоначальной оси симметрии. Представьте её вид сверху, в основе также прямоугольник.

Создатели первых в стране железных путей и паровозов – Ефим и Мирон Черепановы, отец и сын. В 1834 году на Выйском заводе, Черепановы построили одну из первых в мире железных дорог, а уже в 1837 году первые составы пошли по железной дороге Петербург – Царское Село.

После этого были изобретены тепловозы и электровозы. Замечательно то, что с развитием науки и техники стремление человека к симметричности форм сохраняется. Мы продемонстрируем её на примере вида спереди электровоза.

Дальнейшее развитие рельсового транспорта предполагает создание капсулы. Представьте её вид сверху. У этой фигуры две оси симметрии.

В процессе нашей исследовательской деятельности мы пришли к выводу, что центральная симметрия не совместима с формой наземного и подземного транспорта. Причиной этого служит его направление движения. При рассмотрении вида сверху трамвая, электровоза, телеги, мы видим, что ось симметрии проходит вдоль направления движения. Таким образом, центральную симметрию следует искать в воздушном и подводном транспорте, т. е. в таких видах, где направления: вперед, назад, вправо, влево, – равноценны.

Один из таких видов транспорта – это воздушный шар. В России первый полет на воздушном шаре был совершен 20 июня 1803 года. Французский воздухоплаватель Андре Жак Герне с женой Женевьевой поднялись на шаре с Васильевского острова и, благополучно пролетев над городом, опустились на Малой Охте. Воздушный шар связан с мечтами человека покорить небо. Другой пример воздушного транспорта – это парашют. Ученые относят его изобретение еще к 13 веку. На нашем чертеже мы представили вид сверху воздушного шара. Отметим, что он аналогичен виду сверху парашюта. Как мы видим, эта фигура центрально симметрична. О – центр симметрии.

Выводы: 

1. Вид сверху и вид спереди различных видов транспорта обладает либо центральной, либо осевой симметрией.
2. Для наземного вида транспорта в большей степени характерна осевая симметрия. Причиной этого является направление его движения.
3. Центральная симметрия чаще встречается в форме воздушного и подводного транспорта, для которого направления: вправо, влево, вперед, назад, – равноценны.
4. Модели транспорта будущего в той же степени, что и модели настоящего и прошлого обладают различными видами симметрии.

7. Заключительное слово учителя.

Итак, наша конференция подошла к концу. Попробуем подвести итоги. Вы прослушали сообщения исследовательской работы всех пяти групп. Мы прокатились в машине времени и увидели, что симметрия присутствует и в прошлом и в будущем. Симметрия – это не только математическое понятие. Его заимствовали из природы. А так как человек – это часть природы, то человеческое творчество во всех его проявлениях тяготеет к симметрии. Симметрия в живой природе: в животном и растительном мире, – передается генетически из поколения в поколение.

Хотелось бы услышать ваш ответ на вопрос: «Может ли мир существовать без симметрии?»  (ответы и мнения детей)

И подытожить наш урок следует  словами классика современного естествознания, мыслителя Владимира Ивановича Вернадского “Принцип симметрии охватывает все новые и новые области…”

8. Закрепление материала.

Итак, наш урок подходит к концу. Каждый из Вас получит отметку, которая будет складываться из трёх составляющих: ваша активность при подготовке к конференции, выступление со своей презентацией и последняя составляющая – результат самостоятельной  работы.   Учитель предлагает каждому учащемуся бланк с самостоятельной работой.

9. Самостоятельная работа.

1. Каким видом симметрии обладает каждое из предложенных изображений? Запишите это под соответствующим рисунком. Постройте центр и оси симметрии, если таковые имеются, и укажите их количество.

2. Заполните кроссворд.


Вопросы к кроссворду:

1. Слово «Симметрия» - в узком смысле слова.
2. Тема, которую мы изучаем.
3. Ученый, который впервые ввел в элементарную геометрию элементы учения о симметрии.
4. Симметрия относительно прямой.
5. Прямая, при перегибании по которой «половинки» совпадут.
6. Точка, относительно которой фигуры симметричны.
7. Основное свойство симметрии, при котором фигуры …
8. Симметрия относительно точки.
9. Симметрия относительно плоскости.
10. Еще один вид симметрии, о котором мало упоминают в школе.
    Ответы к кроссворду

1. Соразмерность
2. Симметрия
3. Лежандр
4. Осевая
5. Ось
6. Центр
7. Равны
8. Центральная
9. Зеркальная
10. Поворотная

9. Подведение итогов урока.

1. Взаимопроверка самостоятельной работы в ходе совместного обсуждения.

2. Подведение итогов работы каждой из групп. Анализируют «старшие» группы, оценивая проведенную работу и «вклад» каждого члена группы.

3. Подведение итогов учителем.

Сегодня на уроке мы не только повторили ранее изученный материал, но и существенно расширили знания о симметрии. Наша конференция завершается , и вы, несомненно, будете по-другому смотреть на  окружающий нас мир и видеть симметрию, гармонию и красоту.

10. Домашнее задание: творческая работа.

 Приведите примеры геометрических фигур и предметов из жизни, обладающих осевой и центральной симметрией.