Графики функций в заданиях ГИА.
презентация к уроку по алгебре (11 класс)

Слайд 1

Графики функций в заданиях ГИА МАОУ «Ангарский лицей №2 имени М.К.Янгеля » Парилова О.Л., Кропотова Ж.В., Батова Е.Н.. Ангарск 2023 г.

Слайд 2

Исследователем можно быть и перед лицом огромной неизученной проблемы, и перед лицом школьной задачи, миллионы раз решавшейся другими. С.Л. Соболев

Слайд 3

Что нужно знать? 1. Графики элементарных функций 2. Построение графиков с помощью преобразований 3. Построение графиков с модулем

Слайд 4

Элементарные функции и их графики Вопрос 1

Слайд 5

Степенные функции

Слайд 6

Степенные функции

Слайд 7

Показательная и логарифмическая функции

Слайд 8

Тригонометрические функции

Слайд 9

Обратные тригонометрические функции

Слайд 10

Преобразования графиков функций Вопрос 2

Слайд 11

Сдвиг по горизонтали Пусть функция задана формулой y = f(x) и a > 0 . Тогда график функции y = f(x - m ) сдвинут относительно исходного на m вправо . График функции y = f(x + m ) сдвинут относительно исходной на m влево .

Слайд 12

Сдвиг по вертикали Пусть функция задана формулой y = f(x) и a > 0 и С — некоторое положительное число. Тогда график функции y = f(x)+ n сдвинут относительно исходного на n вверх . График функции y = f(x)- n сдвинут относительно исходного на n вниз .

Слайд 13

Растяжение (сжатие) по горизонтали Пусть функция задана формулой y = f(x) и k>0 . Тогда график функции y=( k x ) растянут относительно исходного в k раз по горизонтали, если 01 .

Слайд 14

Растяжение (сжатие) по вертикали Пусть функция задана формулой y = f(x) и M>0 . Тогда график функции y = M∙ f(x ) растянут относительно исходного в М раз по вертикали, если M>1 , и сжат относительно исходного в М раз по вертикали, если 0

Слайд 15

Отражение по горизонтали График функции y = f(-x) симметричен графику функции y = f(x) относительно оси Y.

Слайд 16

Отражение по вертикали График функции y = -f(x) симметричен графику функции y = f(x) относительно оси Х.

Слайд 17

Графики функций y = f ( | x | ) и y = | f(x) |

Слайд 18

Построение графиков с модулем Вопрос 3

Слайд 19

По определению (когда один знак модуля)

Слайд 20

Таблица построения графиков функций, содержащих модуль. Вид функции Способ построения графика функции Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Оу . Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Ох . Последовательно отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно осей координат . Построить график функции оставить часть графика, расположенную в верхней полуплоскости, т.е. при в нижнюю часть полуплоскости симметрично отобразить верхнюю часть графика Вид функции Способ построения графика функции Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Оу . Отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно оси Ох . Последовательно отобразить график функции у = f(x) симметрично относительно осей координат .

Слайд 21

Построить график функции y = x 2 – 8|x| + 12. Определим четность функции. Значение для y(-x) совпадает со значением для y(x), поэтому данная функция четная. Тогда ее график симметричен относительно оси Oy . Строим график функции y = x 2 – 8x + 12 для x ≥ 0 и симметрично отображаем график относительно Oy для отрицательных x (рис. 1).

Слайд 22

Построить график функции y = |x 2 – 8x + 12 |. – Какова область значений предложенной функции? (y ≥ 0). – Как расположен график? (Над осью абсцисс или касаясь ее). Это значит, что график функции получают следующим образом: строят график функции y = x 2 – 8x + 12, оставляют часть графика, которая лежит над осью Ox , без изменений, а часть графика, которая лежит под осью абсцисс, симметрично отображают относительно оси Ox (рис. 2).

Слайд 23

Построить график функции y = |x 2 – 8|x| + 12| Для построения графика функции y = |x 2 – 8|x| + 12| проводят комбинацию преобразований: y = x 2 – 8x + 12 → y = x 2 – 8|x| + 12 → y = |x 2 – 8|x| + 12|. (рис. 3).

Слайд 24

Рассмотренные преобразования справедливы для всех видов функций. Составим таблицу: Функция Преобразование f(|x|) 1) Для x ≥ 0, y = f(x) 2) Для x < 0 – преобразование симметрии относительно оси Oy графика y = f(x), для x ≥ 0 симметричные части графика из правой полуплоскости в левую |f(x)| 1) Для f(x) ≥ 0, |f(x)| = f(x) 2) Для f(x) < 0, |f(x)| = -f(x) Симметричное отображение части графика из нижней полуплоскости в верхнюю относительно оси Ox |f(|x|)| f(x) → f(|x|) → |f(|x|)|.

Слайд 25

Построить график функции y = |2 – | 1 – |x ||| Выражение, задающее функцию, содержит «вложенные модули». Воспользуемся методом геометрических преобразований. Запишем цепочку последовательных преобразований и сделаем соответствующий чертеж (рис. 4): y = x → y = |x| → y = -|x| → y = -|x| + 1 → y = |-|x| + 1|→ y = -|-|x| + 1|→ → y = -|-|x| + 1| + 2 → y = |2 –|1 – |x|||.

Слайд 26

Построить график функции Прежде чем строить график, преобразуем формулу, которой задана функция, и получим другое аналитическое задание функции (рис. 5). Раскроем в знаменателе модуль: При x > -2, y = x – 2, а при x < -2, y = -(x – 2). Область определения D(y) = (-∞; -2)ᴗ(-2; +∞). Область значений E(y) = (-4; +∞). Точки, в которых график пересекает с оси координат: (0; -2) и (2; 0). Функция убывает при всех x из интервала (- ∞; -2), возрастает при x от -2 до +∞. Здесь нам пришлось раскрывать знак модуля и строить график функции для каждого случая.

Слайд 27

Построить график функции y = |x + 1| – |x – 2 |. Раскрывая знак модуля, необходимо рассмотреть всевозможную комбинацию знаков подмодульных выражений. Возможны четыре случая: . Тогда исходная функция будет иметь вид: Получили кусочно-заданную функцию, график которой изображен на рисунке 6.

Слайд 28

Построить график функции y = |x| + |x – 1| + |x + 1| и найти ее наименьшее значение. Нули подмодульных выражений: 0; -1; 1. Вершины ломаной (0; 2); (-1; 3); (1; 3). Контрольная точка справа (2; 6), слева (-2; 6). Строим график (рис. 7). min f(x) = 2.

Слайд 29

ФУНКЦИЯ | y | = f ( x ) Равенство вида | y | = f ( x ) по определению не является функцией, так как допускает неоднозначность при вычислении значения y . Однако линию на координатной плоскости оно задает, и эту линию тоже можно построить, исходя из графика функции y = f ( x ). Для этого нужно:

Слайд 30

Построить график функции y = f ( x ). Исключить его часть, расположенную ниже оси абсцисс, поскольку указанное равенство возможно только для положительных значений f ( x ). Построить нижнюю часть линии ( при отрицательных y ) симметричным отображением относительно оси Ox .

Слайд 31

Эти кривые получены из графика функции 1. =

Слайд 32

2. =

Слайд 33

3.

Слайд 34

Виды задач и способы их решения Практика

Слайд 35

Виды задач Используя предложенный график функции, найти: значения коэффициентов в уравнении функции; абсциссу или ординату вершины параболы; значение функции по данному значению аргумента или значение аргумента по заданному значению функции; абсциссу или ординату точки пересечения графиков функций; значение дискриминанта квадратного уравнения f(x)= т; корень уравнения ax+d =0 или bx+c =0 (для кусочно-линейных функций).

Слайд 36

Способы решения: Нахождение коэффициентов функции через решение систем уравнений, используя целочисленные координаты точек графика ( в том числе и точек пересечения с осями). Нахождение коэффициентов, используя вспомогательные формулы. Например, формулу тангенса угла наклона прямой, абсциссы вершины параболы, периодичности функции и др.) Преобразование формулы, задающую функцию. Нахождение коэффициентов через преобразования графиков функций.

Слайд 37

1 способ

Слайд 44

2 способ

Слайд 46

3 способ

Слайд 48

4 способ

Слайд 54

Используемые интернет-ресурсы https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/elementarnye-funkcii-i-ix-grafiki / https ://ege-study.ru/preobrazovanie-grafikov-funkcij / https://ege-study.ru/ru/ege/podgotovka/matematika/zadanie-9-ege-po-matematike-grafiki-funkcij / https:// ege.sdamgia.ru/test?theme=191 https:// unikum.rudn.ru/blog/printsipy-resheniya-zadachi-9-ege-po-matematike-2022 https:// zen.yandex.ru/media/shevkin/kusochnolineinaia-funkciia-zadanie-9-v-ege2022-61894df122ed344ee28e551d