Презентация к уроку "Решение квадратных неравенств"
план-конспект урока по алгебре (9 класс)

Урок – исследование

Тема: Решение  неравенств вида a·x2+b·x+c<0

Цели урока:

1. Образовательная: Закрепление умений и навыков решения неравенств второй степени.
2. Развивающая: Способствовать развитию умений анализировать, выделять главное, сравнивать, обобщать.
3. Воспитательная: Формирование навыков общения, умения работать индивидуально, уважать мнение каждого.

Ход урока:

1.Орг. Момент

Сообщить цель урока, Кратко информировать учащихся  о этапах урока. Задать положительный настрой на работу.

2. Разбор домашнего задания.  (3 мин)
3. Актуализация опорных знаний.  (5-6 мин)

1. Знакомо ли вам слово ПАРАБОЛА?
2. Что такое квадратичная функция?
3. Как построить параболу? Как найти ее вершину?
4. Что можно сказать о квадратичной функции по её графику?

4. Изучение нового материала с элементами исследования

Чем неравенство отличается от уравнения?

Что такое "квадратное неравенство"? Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак "=" (равно) на любой значок неравенства (> ≥ < ≤ ≠), получится квадратное неравенство. Например:

 x2-8x+12 ≥ 0

Я не зря связала уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства - решить уравнение, из которого это неравенство сделано. 

Готовое для решения неравенство имеет вид: слева - квадратный трёхчлен ax2+bx+c, справа - ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. 

Первый шаг решения: Делаем из неравенства уравнение

x2-8x+12 ≥ 0         x2-8x+12 = 0

Ответьте, какими двумя способами можно решить квадратное уравнение?

Разделимся на две группы и вспомним оба способа:

Первая группа:

Если x1 и x2 - корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то 

Вторая группа:

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант— это просто число D = b2 − 4ac.

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.
4. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
5.  

Решаем одно и то же уравнение двумя способами :

x2-8x+12 = 0

Дети работают у доски и по подгруппам

х1= 2

х2= 6

Второй шаг решения.

На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать. Квадратные неравенства, как правило, решаются графически.

На втором шаге из уравнения сделаем функцию:

y = x2-8x+12

Точки 2 и 6 - это корни уравнения x2-8x+12 = 0, если помните...) Они располагаются прямо на оси ОХ. Почему так? Сравните уравнение и параболу:

x2-8x+12 = 0

y = x2-8x+12

Корни уравнения - это иксы, при которых в правой части уравнения получается ноль. Стало быть, при таких иксах, и игрек нулевой будет. Выражения-то одинаковые. А нулевой игрек - это, как раз, ось ОХ и есть.

Фиксируем в голове: корни уравнения (2 и 6) - это значения икса, при которых выражение x2-8x+12 равно нулю. Это важно!

Третий шаг решения.

На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было "решать уравнение"... НЕ сказано было "строить график"... Это, всего лишь, наши подручные средства.

Нам было сказано: решать квадратное неравенство!

Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!

Смотрим на исходное неравенство:

x2-8x+12 ≥ 0

Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак "+", (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).

Остаётся просто записать ответ.

Собственно, это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства.)

Вот и записываем окончательный ответ:

х ∈ (-∞; 2] ∪ [6; +∞)

Но... Математики (вы удивитесь!) тоже люди.) И тоже не любят лишнюю работу. Смотрим на график, и соображаем: без чего на этой картинке можно обойтись?

Нужна ли нам ось ОУ? Если мы и так знаем, что часть параболы выше оси ОХ даёт положительные значения выражения, а ниже - отрицательные...

Не нужна нам ось ОУ. Её наличие никак не сказывается на правильном решении.

Нужна ли нам математически точная форма параболы?

Не нужна. Точная форма никак не сказывается на правильном решении.

Выделю главные элементы рисунка, которые необходимы для верного решения:

1. Ось иксов требуется?

2. Корни соответствующего квадратного уравнения. Они отмечаются точками на оси. Точки могут быть чёрные, закрашенные (как в нашем случае), или белые, пустые внутри, как будет в следующем примере. Пустые внутри точки ещё называются выколотые точки. Чёрные точки ставятся для нестрогих неравенств (≤; ≥). Они визуально напоминают нам, что корни включаются в ответ. Выколотые точки ставятся для строгих неравенств (<; >; ≠) и напоминают, что корни в ответ не включаются.

3. Схематичный рисунок параболы. Здесь важно только одно: куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.

2. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки - черные (закрашенные). Если строгое - белые (пустые внутри).

3. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.

4. Определяем области +/- на рисунке и записываем ответ.

1.  Закрепление материала.

а) Решаем неравенства базового уровня сложности:

№ 294 (а,б,в)

2х2-4х+2≥0

2х2-4х+2=0

D=16-4*2*2=0

Х=(4+0)/4=1        1        

        Ответ: (-∞;∞)

0,5х2-2х≤0

0,5х2-2х=0

х (0,5х-2)=0

х=0 или 0,5х=2        0          4

                х=4

        Ответ: [0;4]

-2х2-6х+20≥0

-2х2-6х+20=0

D=36-4*(-2)*20=36+160=196

х1=(6+14)/-4=-5        -5        2

х2=(6-14)/-4=2

2. Дифференцированная самостоятельная работа.

Первый уровень( максимальная оценка – 4)

1. x2-1≤0
2. x2-9≥0

Второй уровень (максимальная оценка – 5)

1. x2+х-6≤0
2. x2+7х+12<0
3. Подведение итогов. Рифлексия.

Выставление оценок.

Мне понравилось………

Мне не понравилось……..

Я узнал……..

Кто устал?

Как настроение?

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. ________________________________________________.

2. ________________________________________________.

3. _________________________________________________.

4. _________________________________________________.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. ________________________________________________.

2. ________________________________________________.

3. _________________________________________________.

4. _________________________________________________.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. ________________________________________________.

2. ________________________________________________.

3. _________________________________________________.

4. _________________________________________________.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. ________________________________________________.

2. ________________________________________________.

3. _________________________________________________.

4. _________________________________________________.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. ________________________________________________.

2. ________________________________________________.

3. _________________________________________________.

4. _________________________________________________.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. ________________________________________________.

2. ________________________________________________.

3. _________________________________________________.

4. _________________________________________________.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. ________________________________________________.

2. ________________________________________________.

3. _________________________________________________.

4. _________________________________________________.

Алгоритм решения квадратных неравенств.

1. ________________________________________________.

2. ________________________________________________.

3. _________________________________________________.

4. _________________________________________________.

ФИ___________________________________

Первый уровень( максимальная оценка – 4)

3. x2-1≤0
4. x2-9≥0

Второй уровень (максимальная оценка – 5)

4. x2+х-6≤0
5. x2+7х+12<0

Я сегодня работал на оценку_______________________________

ФИ___________________________________

Первый уровень( максимальная оценка – 4)

5. x2-1≤0
6. x2-9≥0

Второй уровень (максимальная оценка – 5)

6. x2+х-6≤0
7. x2+7х+12<0

Я сегодня работал на оценку_______________________________

ФИ___________________________________

Первый уровень( максимальная оценка – 4)

7. x2-1≤0
8. x2-9≥0

Второй уровень (максимальная оценка – 5)

8. x2+х-6≤0
9. x2+7х+12<0

Я сегодня работал на оценку_______________________________

ФИ___________________________________

Первый уровень( максимальная оценка – 4)

9. x2-1≤0
10. x2-9≥0

Второй уровень (максимальная оценка – 5)

10. x2+х-6≤0
11. x2+7х+12<0

Я сегодня работал на оценку_______________________________

ФИ___________________________________

Первый уровень( максимальная оценка – 4)

11. x2-1≤0
12. x2-9≥0

Второй уровень (максимальная оценка – 5)

12. x2+х-6≤0
13. x2+7х+12<0

Я сегодня работал на оценку_______________________________

ФИ___________________________________

Первый уровень( максимальная оценка – 4)

13. x2-1≤0
14. x2-9≥0

Второй уровень (максимальная оценка – 5)

14. x2+х-6≤0
15. x2+7х+12<0

Я сегодня работал на оценку_______________________________

5. Знакомо ли вам слово ПАРАБОЛА?
6. Что такое квадратичная функция?
7. Как построить параболу? Как найти ее вершину?
8. Что можно сказать о квадратичной функции по её графику?

Корни квадратного уравнения через дискриминант и по теореме Виета

1. Знакомо ли вам слово ПАРАБОЛА?
2. Что такое квадратичная функция?
3. Как построить параболу? Как найти ее вершину?
4. Что можно сказать о квадратичной функции по её графику?

Корни квадратного уравнения через дискриминант и по теореме Виета

1. Знакомо ли вам слово ПАРАБОЛА?
2. Что такое квадратичная функция?
3. Как построить параболу? Как найти ее вершину?
4. Что можно сказать о квадратичной функции по её графику?

Корни квадратного уравнения через дискриминант и по теореме Виета

1. Знакомо ли вам слово ПАРАБОЛА?
2. Что такое квадратичная функция?
3. Как построить параболу? Как найти ее вершину?
4. Что можно сказать о квадратичной функции по её графику?

Корни квадратного уравнения через дискриминант и по теореме Виета

1. Знакомо ли вам слово ПАРАБОЛА?
2. Что такое квадратичная функция?
3. Как построить параболу? Как найти ее вершину?
4. Что можно сказать о квадратичной функции по её графику?

Корни квадратного уравнения через дискриминант и по теореме Виета