Статья на тему "МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ"
статья по алгебре

МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Монгуш Ч. А., 4 курс МИ_307 группа ФМФ

Научный руководитель - Троякова Г. А., к.ф-м.н., доцент

Аннотация

Актуальность изучения темы «Квадратные уравнения» заключается в том, что она является одной из важнейших в математике. Они показывают расширенное использование в различных сегментах арифметики, также используются в других науках. По этой причине ученик  должен уметь правильно и рационально решать квадратные уравнения.

Ключевые слова

Уравнения, квадратные уравнения, выделение полного квадрата, теорема Виета.

Введение

В школе исследуются классические способы изучения квадратных уравнений по формулам корней квадратного уравнения, теореме Виета. Существуют и другие приемы решения квадратных уравнений.

Уделяю особое внимание выделению полного квадрата и теореме Виета как на методы, которые формируют у школьников нестандартное мышление и, как следствие, умение решать задачи лаконично. В свою очередь, логическое мышление - это логический процесс, использующий логические понятия и конструкции, цель которого - получить аргументированный вывод из посылок.

Квадратным уравнением называют уравнение вида , где   - переменная,– некоторые числа, причем .[1]

Метод выделения полного квадрата

Для начала нужно вспомнить сокращенные формулы умножения. А именно квадрат суммы и квадрат разности. Чтобы решить квадратное уравнение таким способом, мы должны выделить квадрат двучлена из квадратного трёхчлена в левой части уравнения. Для этого сложим и вычтем одно и то же число, если необходимо, чтобы получился квадрат двучлена.

Рассмотрим квадратное уравнение  .  Преобразуем левую часть. Мы можем подчеркнуть полный квадрат в этом выражении, при наличии такого комплекта. Сравним его с формулой выделения полного квадрата. Так как перед умножением  стоит минус, то выделим квадрат разности. Не трудно заметить, что в этом выражении вместо a выступает . Значит  должно быть удвоенным произведением. Найдем . Для этого представим   в виде произведения.

Не трудно заменить, что b = 2. Не хватает квадрата b, для выделения полного квадрата.  = 2, приплюсуем , и чтобы не поменялось выражение, вычтем . Получаем: .

По сути ничего не поменялось. И благодаря этому, мы можем записать первые три члена в виде суммы квадратов.

-2·2·x+

- 4x + 5=- 4 - 5=-9. 

Выражение, можно приравнять к нулю и получить квадратное уравнение. Его можно решить, не используя формул.

Далее решаем квадратное уравнение  - 9= 0

 = 9

 = 3   и   

Будем использовать способ выделения полного квадрата для решения  квадратного уравнения 

Чтобы получить квадрат второго выражения, представим, что первый член - это квадрат первого выражения, второй член - это удвоенное произведение, а квадрат второго выражения мы сможем сложить и вычесть. Учтем, что  второй член нечетный, и выделять полный квадрат неудобно. Умножим всё уравнение на , чтобы второй член стал четным:.

Теперь второй член четный, но в первом члене  число  не будет полным квадратом рационального числа. Умножим уравнение на :

Сейчас удобно выделить полный квадрат, поскольку   Таким образом, не хватает слагаемого  . Тогда в левой части уравнения добавим и вычтем 25:

Обратим внимание, что квадратный трёхчлен   не будет равен квадратному трёхчлену , поскольку второе получается из первого умножением на  12. В случае если перед нами стояла бы цель просто выделить полный квадрат из квадратного трехчлена, а не находить решения квадратного уравнения, в таком случае нам пришлось бы заменить наши действия делением во время умножения и произвести следующие преобразования:

Или же можно выделить полный квадрат, похожим на предыдущий способ, но не домножением,  а вынесением из скобки первого коэффициента:

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Приведенным называют квадратное уравнение, если его  старший коэффициент равен единице:   +bх + c = 0. [2]

Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения: 

А для не приведенного - сумма корней квадратного уравнения равна -b/а, а их произведение с/а.[3]

Литература

1. Алгебра: 8 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М. : Вентана-Граф, 2019. – 258 с. : ил.
2. Алгебра. 8 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч. 1 / А. Г. Мордкович. – 21-е изд., перераб. – М. : Мнемозина, 2017. – 223 с. : ил.
3. Онлайн-школа «Фоксфорд»  [https://foxford.ru/]