Новый взгляд на решение квадратных уравнений в школьном курсе математики
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Новый взгляд на решение квадратных уравнений в школьном курсе математики

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении различных задач: начиная с заданий средней школы и до олимпиад самого высокого уровня. В школьном курсе математики подробно изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.  Специфика предлагаемого материала данной статьи, состоит в  поиске более эффективных способов решения квадратных уравнений, кроме общеизвестного. Данный материал может быть использован как учителями на уроках, элективных и факультативных курсах, так и учениками для расширения и углубления знаний по решению квадратных уравнений.

Вначале целесообразно вспомнить рациональный способ решения приведенных квадратных уравнений,  а именно теорему, обратную теореме Виета.

Если m и n - числа такие что   , то и  m  и  n корни уравнения    

Доказательство.

Рассмотрим уравнение   , подставим вместо p и q их выражения через m и n:  .

Пусть x=m, тогда   верное равенство,

значит, m - корень уравнения .

Пусть x=n, тогда  верное равенство,

значит, n - корень уравнения  .

Теорема доказана.

Эта теорема применима только к  приведенным квадратным уравнениям. Таковым можно сделать любое квадратное уравнение, но не всегда теорема, обратная теореме Виета, будет рациональным способом его решения, а именно: если коэффициенты приведенного квадратного уравнения окажутся дробными. Существует ряд теорем, основанных на доказанной теореме, с помощью которых можно решить любое квадратное уравнение. Рассмотрим эти теоремы.

Определение 1.

Уравнение вида  будем называть обратным  приведенному уравнению .

Теорема 1.

Корни уравнения, обратного приведенному, обратны корням приведенного уравнения.

Доказательство.

Пусть - корень уравнения , тогда по определению корня,

 - верное числовое равенство, при этом , так как 0 не удовлетворяет решаемому уравнению.

Разделим данное уравнение  на:

 - верное числовое равенство, т.е.

верное числовое равенство. По определению корня,  -

корень уравнения  

Таким образом, получен алгоритм решения уравнения  

Если а и b - числа такие что   , то   и    корни уравнения    

Определение 2.

Уравнения               и   обратные друг другу (a, b, c

Теорема 2. (обобщение предыдущей теоремы)

Корни уравнения обратного данному, обратны корням данного уравнения.

Доказательство.

Пусть   - корень уравнения , тогда по определению корня    - верное числовое равенство, при этом    0, так как 0 не удовлетворяет решаемому уравнению.

Разделим уравнение   на ,  - верное числовое равенство, т.е.  верное числовое равенство. Сравним его с уравнением . По определению корня,    - корень этого уравнения.

Замечание 1.

Теорема имеет практическое значение, когда необходимо быстро придумать новое квадратное уравнение с известными корнями.

Определение 3.

Уравнение вида   называются возвратными, они обратны себе.

Из теоремы 2 об обратных уравнениях,  имеем:

Следствие 1:

Корни возвратного квадратного уравнения взаимнообратны.

Доказательство.

Рассмотрим уравнение  , разделим на  a (a0, так как уравнение полное):   . Пусть   и  его корни, по теореме Виета,    =1.  Следовательно =

Два взаимнообратных рациональных числа имеют вид  и . Значит, рациональные корни возвратного уравнения можно записать следующим образом:,   .

Теорема 4.

Если уравнение  имеет корни    и  , то a= pq, -b =   .  

Доказательство.

Так как  =   и  =   - корни уравнения  

 (a 0, так как уравнение полное), то по теореме Виета ,  то есть  , или   (p, то есть a=, - b= .

Алгоритм решения уравнения

Если p и q - числа такие что   , то   и    корни уравнения    

Для уравнений общего вида также существует рациональный способ решения, основанный на теореме, обратной теореме Виета:

Теорема 5.

Корни уравнения   равны   ,  ,  , где    , - корни уравнения

Доказательство.

Умножим обе части уравнения  на a (a, так как уравнение полное):

 , .

Обозначим ax=y, тогда   - приведенное квадратное уравнение.

Найдем его корни и по теореме, обратной теореме Виета, то есть такие, что = -b,    =ac. Из замены следует:  ,  .

Рассмотрим две теоремы с помощью которых можно решить уравнения, коэффициенты которых обладают некоторыми свойствами:

Теорема 6.

Если в квадратном уравнении  ,  a+b+c = 0, то =1,   .

Доказательство.

Рассмотрим уравнение , коэффициенты которого такие, что a+b+c = 0- верное равенство. Подставим x=1  в уравнение, получим a+b+c = 0

Следовательно, по определению корня, =1  корень уравнения

 . По теореме, обратной теореме Виета,  = .

Теорема 7.

Если в квадратном уравнении    a-b+c =0, то =-1, =-.

Доказательство.

Рассмотрим уравнение ,  коэффициенты которого такие, что  

a - b + c = 0 верное равенство. Подставим х=-1 в уравнение, получим:

a - b +c =0, следовательно, по определению корня, =-1 - корень уравнения

 . По теореме, обратной теореме Виета, -   .

Из выше изложенного следует, что в качестве основного практического способа решения квадратных уравнений  в школе можно  выбрать  теорему обратную теореме Виета, оставив формулам корней лишь теоретическую роль.