Вероятность и её свойства
методическая разработка по алгебре

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА УРОКА

по математике

ПО ТЕМЕ: «Вероятность и ее свойства»

Преподаватель

ГБОУ СПО ЛНР ЛКТТПКМ

Лелявин Александр Викторович

Луганск

2018

АННОТАЦИЯ

Обоснование выбора

Возрастающая потребность связи математики и различных жизненных ситуаций побуждает учителя применять такие формы проведения уроков, которые бы могли донести знания до учащихся как можно интереснее и доступнее. Одной из таких форм является урок – урок изучения нового материала, на котором обучающиеся учатся критически мыслить, анализировать.

Методы обучения на уроке:

математические методы – моделирование, использование математического языка;

методы психологии – развитие мыслительных операций: анализ и синтез, классификация и систематизация, сравнение и обобщение;

методы педагогики – методы организации и стимулирования учебной деятельности;

информационные методы — использование презентации Power Point.

Актуальность поставленной цели урока.

При решении задач по классической теории вероятности учащиеся используют в основном один способ. О решении несколькими способами, как правило, не приходится говорить. Данный урок позволяет обобщить и рассмотреть различные способы решения задач изучаемых на уроках алгебры в разное учебное время; привести усвоенные способы в стройную систему. Конечным результатом усвоения таких систем знаний является сознательное овладение основными способами решения вероятностных задач.

Место урока в тематическом планировании и системе уроков.

Теория вероятности составителями стандартов отнесена к обязательному для изучения материалу, который используется в дальнейшем при изучении специальных дисциплин.

Форма организации деятельности учащихся.

На уроке я используется технология: индивидуальная, парная, групповая работа. Организация индивидуальной деятельности позволяет учитывать способности и образовательные потребности каждого, а коллективная (командная, бригадная) деятельность оказывает помощь каждому учащемуся в успешном освоении учебной программы. Ребята в группе работают так, чтобы каждый смог затем решить задачу, рассказать решение у доски. Если кому-то не понятно, то ему индивидуально более сильный ученик объясняет еще раз.

Организация учебной деятельности с учётом личностно — ориентированной технологии обучения.

На уроке созданы условия для реализации основных принципов личностно ориентированной технологии обучения. Это выражено в следующем:

создание атмосферы взаимной заинтересованности в работе учащихся и учителя;

стимулирование учащихся к высказываниям, использованию различных способов решения задачи без боязни ошибиться, получить неправильный ответ;

оценка деятельности ученика не только по конечному результату (правильно, неправильно), но и по процессу его достижения;

поощрение стремления ученика находить свой способ решения задачи, анализировать способы других учеников в ходе урока, выбирать и осваивать наиболее рациональные.

Организация учебной деятельности с учётом ИКТ.

Презентация Power Point используется на данном уроке в качестве демонстрации. Использование таблиц, формул, картинок на слайдах позволяет учащимся не терять время на обдумывание вопросов и решения задач данным способом. Без использования презентации учащимся работать было бы намного сложнее. Смена слайдов происходит по щелчку мыши.

Оформление презентации отвечает основным требованиям:

один и тот же вид информации помещён в одном и том же месте;

в центре слайдов помещена основная текстовая информация, которой учащиеся должны пользоваться при решении задач;

тексты заданий помещены в верхней части слайдов;

при оформлении презентации минимизировано количество используемых цветов, для выделения наиболее важных данных и развития зрительной памяти использован один и тот же цвет;

разумно использован цветовой контраст.

Использование ИКТ на данном уроке способствует:

решению всех задач урока: обучающих, развивающих, воспитательных;

повышению познавательной активности учащихся: развивается интерес к теме, каждый ученик на уроке занят делом, никто не бездельничает;

повышению интенсификации урока и темпа урока: презентация позволила значительно сократить время на обдумывание решения;

увеличению объёма выполненной работы.

ИКТ выполняет важные функции и в деятельности учителя на уроке, увеличивая его возможности в качестве воспитателя, организатора, оценивающего и контролирующего процесс и результаты обучения.

Раздел: Элементы теории вероятностей

Тема урока: Вероятность и ее свойства

Междисциплинарные связи: математика.

Методическая идея: продемонстрировать использование проблемных ситуаций на уроке для формирования у учащихся понятия вероятности, ее свойств и способов ее вычисления.

Цель урока: рассмотреть простейшие понятия теории вероятностей; дать классическое определение вероятности, научиться применять полученные знания для решения задач.

Задачи урока:

обучающих

• Выработать умение решать задачи на определение классической вероятности с использованием основных формул;
• научиться применять на практике понятия вероятности для решения профессиональных задач;
• продемонстрировать важность изучаемой темы через связь с выбранной профессией.

• способствовать запоминанию основной терминологии;

развивающие

• умения анализировать, систематизировать и обобщать полученные знания;

•  развитие навыков учащихся в вычислении классической вероятности;
• формирование вероятностного мышления;
•  способствовать развитию интереса к математике; умений применять новый материал на практике и в жизни.

воспитательные

• воспитать внимательность, исполнительность, добросовестность;

• воспитывать графическую культуру;
• умение толерантно относиться друг к другу;
• чувство ответственности за принятое решение.

Тип урока:

урок изучения нового материала

Вид урока:

комбинированный

Методы урока: проблемное изложение, частично – поисковый, репродуктивный.

Место проведения занятия: аудитория (каб. №411).

Продолжительность занятия: 45 мин.

Квалификационные требования: После этого занятия обучающиеся смогут вычислять численное значение вероятности событий по классической формуле и применять его при решении практических задач.

Основные понятия: событие, случайное событие, испытание, опыт, исход, благоприятный исход, вероятность.

Материально техническое оснащение урока: компьютер, проектор, экран, презентация «Вероятность и ее свойства», монеты, игральные кубики, раздаточный материал.

Методическая характеристика и особенности проведения урока:

Поскольку данный урок является уроком усвоения новых знаний, умений и навыков учащихся, то есть здесь в большой степени реализуется задача выработать умение решать задачи на определение классической вероятности с использованием основных формул; научиться применять на практике понятия вероятности для решения профессиональных задач; продемонстрировать важность изучаемой темы через связь с выбранной профессией; способствовать запоминанию основной терминологии:

Применяемые педагогические технологии:

• использование мультимедиа в качества средства обучения (на всех этапах урока);
• элементы поисковых технологий (постановка и решение проблемы поиска);
• элементы развивающих технологий (формирование мотивации через профильность обучения математике, углубление интереса к предмету и выбранной профессии).

План урока:

1) Организационный момент.

2) Актуализация и мотивация.

3) Изучение нового материала.

3.1. Что изучает теория вероятностей.

3.2. Краткая историческая справка.

3.3. Первичные понятия теории вероятностей.

3.4. Решение задач и выполнение практической работы в группах  

4) Итоги урока.

5) Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент

Приветствие учеников, сообщение темы и цели урока

2. Актуализация и мотивация.

Актаулизация: Повторение тем: проценты, пропорции, сравнение дробей, действия с дробями.

Мотивация урока. Замечательно, что наука, которая начала с рассмотрения азартных игр, обещает стать наиболее важным объектом человеческого знания. Ведь большей частью жизненные вопросы являются на самом деле задачами из теории вероятностей. П. Лаплас

В вашей профессии также используются элементы теории вероятности. Вы понимаете, что в кафе «Мороженное» вероятность того, что клиент закажет «Котлету по-киевски» достаточно мала. Поэтому, например, при заготовке продуктов для ресторана необходимо учитывать вероятность того, кто из клиентов придет и какое из блюд закажет. Следует отметить, что в таких случаях используется еще один раздел математики: «Статистика» о которой мы поговорим позже.

1. Изучение нового материала

3.1. Что изучает теория вероятностей. 

Итак, сегодня мы займемся вероятностью. Теория вероятностей – это раздел математической науки, изучающий закономерности случайных явлений. Предметом изучения теории вероятностей является исследование вероятностных закономерностей случайных (однородных) массовых явлений. Методы, выявленные в теории вероятностей, нашли широкое применение в большинстве современных наук и различных отраслях деятельности человека.

Особенно широко теория вероятностей применяется для исследования природных явлений. Все протекающие в природе процессы, все физические явления в той или иной степени не обходятся без присутствия элемента случайности. Как бы точно не был поставлен опыт, как бы точно ни были бы зафиксированы результаты эмпирических исследований при повторном проведении эксперимента, результаты будут отличаться от вторичных данных.

3.2. Краткая историческая справка

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Появление понятия вероятности было связано как с ᴨᴏᴛребностями страхования, получившего значительное распростᴘẚʜᴇние в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.

Основателями теории вероятностей были французские математики Б. Паскаль и П. Ферма, и голландский ученый Х. Гюйгенс.

Обратимся к словам одного из них. Блез Паскаль говорил: «Случайные открытия делают только подготовленные умы». Вот и займемся этим, подготовим наш ум для открытий.

3.3 Первичные понятия теории вероятностей.

 В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: проводится опыт (испытание), в результате происходят случайные события (обычно говорят короче – события).

 Например, бросают монету и смотрят, какая ее сторона оказалась сверху. В результате этого опыта может выпасть орел – это одно событие, а может выпасть решка– это другое событие. Поскольку выпадение орла зависит от случая, то это случайное событие.

Итак, дадим определение первичных понятий теории вероятностей. 

1. Опыт (испытание) – это производимые действия. 
Событие – результаты опытов, испытаний или наблюдений

Примеры событий:

Играется шахматная партия – испытание.

Выигрыш, ничья, проигрыш его возможные исходы - события.

2. Событие называется случайным если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти.

Примеры:

А={в следующем году первый снег в Луганске выпадет в воскресенье};

В={свалившийся со стола бутерброд упадет на пол маслом вниз};

С={ при бросании кубика выпадет шестерка};

D= {npu бросании кубика выпадет четное число очков}.

3. Невозможные события - события, которые в данных условиях произойти не могут.

F={ npu бросании кубика выпадет семерка}.

4. Достоверное событие - это событие, которое при данных условиях обязательно произойдет.

Н={при бросании кубика выпадет число очков,  меньшее 7}

Устные задачи:

Укажите, какие из следующих событий – невозможные, достоверные, случайные, а о каких мы можем сказать, что оно «маловероятно» или «очень вероятно»:

1. Футбольный матч «Спартак» - «Динамо» закончится вничью.

2.   Вы выиграете, участвуя в беспроигрышной  лотерее.

3. В полночь выпадет снег, а через 24 часа будет светить солнце.

4. Завтра будет контрольная по математике.

5. Вы получите «5» за контрольную работу по математике.

6. 30 февраля будет дождь.

7. Вас изберут президентом США.

8. Вас изберут президентом России.

9. Круглая отличница получит двойку.

10. На день рождения вам подарят живого крокодила.

5. События, которые нельзя разделить на более простые, называются элементарными событиями.

Примеры:

а) Опыт: подбрасывание одной игральной кости

Элементарные события: «выпало одно очко», «выпало два очка», «выпало три очка», «выпало четыре очка», «выпало пять очков», «выпало шесть очков».

б) Элементарным событием при двух бросаниях игральной кости является пара чисел.

Опыт: подбрасывают две игральные кости.

Элементарные события: 

6. Равновозможные элементарные события – это элементарные события, шансы которых одинаковы.

Примеры:

1. При бросании одной игральной кости равновозможных элементарных событий 6.

2. При бросании двух игральных костей равновозможных элементарных событий 36.

Задача:

Равновозможны ли элементарные события «ОРЕЛ» и «РЕШКА» при бросании правильной монеты?

Ответ: Да

       Задача. Что вероятнее:

А={получить шестерку при подбрасывании кубика} или В={вытянуть шестерку из перетасованной колоды карт}?

Решение:

Шестерок на кубике -1

Всего граней у куба – 6

1 шанс из 6

Шестерок в колоде - 4

Всего карт в колоде - 36

4 шанса из 36

7. Элементарные события, при которых наступает событие А, называются элементарными событиями, благоприятствующими событию А.

Пример:

Опыт: бросание одной игральной кости.

Событие А: «Выпало четное число очков»

Благоприятствующие события:

«выпало 2 очка»,

«выпало 4 очка»,

«выпало шесть очков».

Пример:

Игральную кость бросают дважды.

Рассмотрим  событие : «произведение очков при двух бросках равна 12». Ему благоприятствуют элементарные события: (4; 3), (3; 4), (2, 6) и (6; 2).

Пример:

Игральную кость бросают два раза. Найдем вероятность события А «сумма очков меньше 6».

Благоприятствующие элементарные события: N(A)=10

Общее число элементарных событий: N=36.

Всего шансов: Р(А)=N(A)/ N=10/36=5/18

Таким образом мы плавно подошли к классическому определению вероятности – численной меры объективной возможности появления случайного события:

8. Вероятностью P наступления случайного события называется отношение m/n, где     n - число всех равновозможных исходов эксперимента, а m - число всех благоприятных исходов: P(A)=m/n (1)

Задача:

Чему равна вероятность достоверного события? 1

Чему равна вероятность невозможного события? 0

Чему равна вероятность случайного события? 0<Р <1

Задача.

При игре в нарды бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа?

P(A)=6/36=1/6

Задача.

Из карточек составили слово «статистика». Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?

Решение: Всего 10 букв.

Буква «с» встречается 2 раза – P(с) = 2/10 = 1/5;

буква «т» встречается 3 раза – P(т) = 3/10;

буква «а» встречается 2 раза – P(а) = 2/10 = 1/5;

буква «и» встречается 2 раза – P(и) = 2/10 = 1/5;

буква «к» встречается 1 раз – P(к) = 1/10.

9. Вероятность события равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

P(A)=P(a)+P(b)+P(с)+P(d),

где А-событие,

а, b, c, d – элементарные события, благоприятствующие событию А

Пример:

В шахматной партии, которую Остап Бендер играет с любителем шахмат города Васюки, вероятность выигрыша Остапа равна 0,001, вероятность ничьей равна 0,01. Найдем вероятность события А «Остап не проиграл».

Решение: Благоприятствующие события:

«Остап выиграл»,

«партия окончилась вничью».

P(A) = 0,001 + 0,01 = 0,011

3.4. Решение задач и выполнение практической работы в группах. 

Далее учащимся предлагается поделиться на группы и проверить на практике справедливость формулы вероятности. На выполнение работы отводится 5 минут.

Задания

 1. Рассчитать и проверить опытным путем вероятности «выпадения двух орлов» при подбрасывании двух монет.

2. Рассчитать и проверить опытным путем вероятности «выпадения 7 очков» при бросании двух игральных костей.

3. Рассчитать и проверить опытным путем вероятности «вытащили красный шар» из коробки в которой находятся 3 красных шара, 3 зеленых и 4 оранжевых.

4.  Рассчитать и проверить опытным путем вероятности «вытягивания туза» из колоды в 36 карт.

Отчет групп о проделанной работе

Интересные факты

Пример 2. Французский естествоиспытатель Бюффон  (XVIII в.) бросил монету 4040 раз,  и при этом герб выпал в 2048 случаях. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Пример 3. Английский математик Карл Пирсон (1857-1936) бросал монету 24000 раз, причем герб выпал 12012 раз. Следовательно, частота выпадения герба в данной серии испытаний равна:

Пример подтверждает естественное предположение о том, что вероятность выпадения герба при одном бросании монеты равна 0,5.

4.  Итоги урока

Ученики проговаривают, что нового узнали на уроке. Учитель оценивает работу ребят.

5.  Домашнее задание

1. Найти вероятность того, что при двукратном бросании кубика произведение очков

а) кратно 5,

б) кратно 6.

2. Из колоды в 36 карт случайным образом вытаскивают 3 карты. Найти вероятность того, что

                а) нет пиковой дамы,

                б) есть пиковая дама.

3. Случайно выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно

        а) оканчивается 0;
        б) состоит из одинаковых цифр;
        в) больше 27 и меньше 46;
        г) не является квадратом числа.

Самоанализ урока

Урок по теме: «Классическое определение вероятности».

Задачи урока:

Образовательные задачи урока:

систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения задач по теории вероятности, расширить и углубить представления учащихся, организовать поисковую деятельность учащихся при решении задач и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие задачи урока:

развивать математическое мышление, память, внимание;

развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;

развивать коммуникативные навыки; навыки самостоятельной работы;

развивать устную и письменную речь учащихся;

привить любовь к предмету, желание познать новое.

Воспитательные задачи урока:

воспитывать культуру умственного труда;

воспитывать культуру коллективной работы;

воспитывать информационную культуру;

воспитывать потребность добиваться успехов в приобретении знаний;

воспитание навыков самоконтроля и взаимоконтроля, развитие самостоятельности и творчества.

В данном коллективе обучаются дети с хорошими и средними способностями. Урок – урок изучения нового материала, на котором учащиеся сами находят способы решения, обсуждают их решение, учатся критически мыслить, анализировать, тесно связан с предыдущими уроками и опирается на знания ранее проведенных уроков. Данная тема является важной при изучении и является необходимой при подготовке к сдаче экзамена.

При планировании урока были учтены индивидуальные способности каждого ученика.

Разнообразие видов деятельности, сочетание мыслительных и практических действий позволило поддерживать работоспособность учащихся и мотивацию деятельности в активном состоянии на протяжении всего урока.

Организация индивидуальной деятельности позволила учесть способности и образовательные потребности каждого, а коллективная (командная, бригадная) деятельность оказывала помощь каждому учащемуся в успешном освоении учебной программы.

Задания составлены доступные, ориентированы на выделение и усвоение главных элементов учебного материала.

При планировании каждого этапа учитывала дидактические задачи: учебное содержание, организацию деятельности учащихся, методы обучения, реальный результат.

Для повышения качества и эффективности обучения максимально использую возможности кабинета. На данном уроке мною были использованы ТСО, таблицы, карточки.

Все это позволяет проводить урок четко, организованно и выполнять на уроках большой объем работы.

Урок цели достиг, были решены поставленные задачи обучающего характера.

Список литературы

1. А.Г.Мордкович. Алгебра и начала математического анализа.  

10 - 11классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник;

2. А.Г.Мордкович и др. Алгебра и начала математического анализа.  

10 – 11классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник;

3. И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. ЕГЭ 2015. Математика. Задача В10.

Теория вероятностей. Рабочая тетрадь/ Под редакцией А.Л.Семенова,

И.В.Ященко. Москва. Издательство МЦНМО, 2015;

4. Задача В10. Открытый банк заданий по математике. ЕГЭ 2016.                                                                                                                                                                                

5. Интернет – источники: 

• http://www.toehelp.ru/theory/ter_ver/1_3/      
• http://ssau2011.narod2.ru/l1.htm
• http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%E2%E5%F0%EE%FF%F2%ED%EE%F1%F2%E5%E9
• http://redpencil.ru/index2.php?option=com_content&task=view&id=92&pop=1&page=0&Itemid=35

ПРИЛОЖЕНИЕ

1. Рассчитать и проверить опытным путем вероятности «выпадения двух орлов» при подбрасывании двух монет.

2. Рассчитать и проверить опытным путем вероятности «выпадения 7 очков» при бросании двух игральных костей.

3. Рассчитать и проверить опытным путем вероятности «вытащили красный шар» из коробки в которой находятся 3 красных шара, 3 зеленых и 4 оранжевых.

4.  Рассчитать и проверить опытным путем вероятности «вытягивания туза» из колоды в 36 карт.