Геометрическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

Барсова Мария Ивановна
Опубликовано 25.09.2022 - 22:29 - Барсова Мария Ивановна

Данный материал поможет учителям математики при подготовке обучающихся 9 класса к итоговой аттестации

Скачать:

ВложениеРазмер
Файл geometricheskaya_progressiya.docx40.22 КБ
Файл geometricheskaya_progressiya.docx40.22 КБ

Предварительный просмотр:

Геометрическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

                                           

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

b_{n+1 }= b_{n}q \: \: \, \, (n = 1,2, ...).

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: b_n=b_1q^{n-1}

Формула суммы  S_n=b_1+b_2+...+b_n  первых  членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

b_n^2= b_{n-1}\cdot b_{n+1}

1. Начинающий видеоблогер Маша подсчитала, что каждый ее следующий новый видеоролик набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий.

а) Сколько просмотров набрал шестой видеоролик Маши, если первый посмотрели 20 человек?

б) Сколько просмотров набрали 6 первых видеороликов Маши?

По условию, каждый следующий новый видеоролик Маши набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий. Первый набрал 20 просмотров, второй 60, третий 180. Легко посчитать, сколько наберут четвертый, пятый, шестой…

Эти величины образуют геометрическую прогрессию, где b_1=20  – количество просмотров первого ролика Маши, q = 3  - знаменатель прогрессии.

а) По формуле n-го члена геометрической прогрессии:

b_n=b_1q^{n-1}

Значит, b_6=b_1q^{5-1}=\ 20{\cdot 3}^{6-1}=20{\cdot 3}^5=20{\cdot 243}^{\ }=4860 просмотров.

б) Найдем, сколько просмотров набрали все 6 видеороликов Маши.

По формуле суммы  первых членов геометрической прогрессии:

S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.

Получим: S_6=b_1+b_2+...+b_6=b_1\frac{q^6-1}{q-1}=20\cdot \frac{3^6-1}{3-1}=10\cdot \left({27}^2-1\right)=7280.

Шестой видеоролик Маши набрал 4860 просмотров, а все 6 первых набрали 7280 просмотров.

Задачи ОГЭ на тему «Геометрическая прогрессия»

1. (Задача ОГЭ) В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Пусть  — первый член, а q — знаменатель прогрессии.

По условию, b_2+b_3=2(b_1+ b_2).

b_2\left(1+q\right)=2b_1\left(1+q\right)

Значит, q = 2.

Тогда b_1+ 2b_1= 75, поэтому b_1=25.

Первый, второй и третий члены прогрессии равны 25, 50 и 100.

Ответ: 2550100

 

2. (Задача ОГЭ) Геометрическая прогрессия задана условием b_n=160\cdot 3^{n}. Найдите сумму первых её 4 членов.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{160\cdot 3^{n+1}}{160\cdot 3^{n}}=3.

Первый член данной прогрессии равен b_1=160\cdot 3^{1}=480. Сумма первых k членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

S_k=\frac{b_1(1-q^{k})}{1-q}

Получим: S_4=\frac{480\cdot (1-3^{4})}{1-3}=\frac{480\cdot (1-81)}{-2}=\frac{480\cdot (-80)}{-2}=19200.

3. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; … Найдите сумму первых 5 её членов.

 Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-256}{-1024}=\frac{1}{4}.

Найдём четвёртый и пятый члены прогрессии:

b_4=b_3q=-64\cdot \frac{1}{4}=-16,\: \: b_5=b_4q=-16\cdot \frac{1}{4}=-4.

Сумма первых пяти первых членов прогрессии равна -1024-256-64-16-4=-1364

Ответ: -1364.

 

Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:

1. Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен 5, а b_1=\frac{2}{5}. Найдите сумму первых 6 её членов.

2. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: -12 ; x; -3 ; 1,5 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

3. Геометрическая прогрессия задана условием b_n=164\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}. Найдите сумму первых её 4 членов.

 

Ответы:

  1. Ответ: 1562,4.
  2. Ответ: 6
  3. Ответ: 153,75

15 Задание ЕГЭ по математике 2022 | Экономические задачи Анна Малкова

 



Предварительный просмотр:

Геометрическая прогрессия в задачах ОГЭ по математике

                                           

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

b_{n+1 }= b_{n}q \: \: \, \, (n = 1,2, ...).

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: b_n=b_1q^{n-1}

Формула суммы  S_n=b_1+b_2+...+b_n  первых  членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

b_n^2= b_{n-1}\cdot b_{n+1}

1. Начинающий видеоблогер Маша подсчитала, что каждый ее следующий новый видеоролик набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий.

а) Сколько просмотров набрал шестой видеоролик Маши, если первый посмотрели 20 человек?

б) Сколько просмотров набрали 6 первых видеороликов Маши?

По условию, каждый следующий новый видеоролик Маши набирает в 3 раза больше просмотров, чем предыдущий. Первый набрал 20 просмотров, второй 60, третий 180. Легко посчитать, сколько наберут четвертый, пятый, шестой…

Эти величины образуют геометрическую прогрессию, где b_1=20  – количество просмотров первого ролика Маши, q = 3  - знаменатель прогрессии.

а) По формуле n-го члена геометрической прогрессии:

b_n=b_1q^{n-1}

Значит, b_6=b_1q^{5-1}=\ 20{\cdot 3}^{6-1}=20{\cdot 3}^5=20{\cdot 243}^{\ }=4860 просмотров.

б) Найдем, сколько просмотров набрали все 6 видеороликов Маши.

По формуле суммы  первых членов геометрической прогрессии:

S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}.

Получим: S_6=b_1+b_2+...+b_6=b_1\frac{q^6-1}{q-1}=20\cdot \frac{3^6-1}{3-1}=10\cdot \left({27}^2-1\right)=7280.

Шестой видеоролик Маши набрал 4860 просмотров, а все 6 первых набрали 7280 просмотров.

Задачи ОГЭ на тему «Геометрическая прогрессия»

1. (Задача ОГЭ) В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите первые три члена этой прогрессии.

В ответе запишите первый, второй и третий члены прогрессии без пробелов.

Пусть  — первый член, а q — знаменатель прогрессии.

По условию, b_2+b_3=2(b_1+ b_2).

b_2\left(1+q\right)=2b_1\left(1+q\right)

Значит, q = 2.

Тогда b_1+ 2b_1= 75, поэтому b_1=25.

Первый, второй и третий члены прогрессии равны 25, 50 и 100.

Ответ: 2550100

 

2. (Задача ОГЭ) Геометрическая прогрессия задана условием b_n=160\cdot 3^{n}. Найдите сумму первых её 4 членов.

Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{160\cdot 3^{n+1}}{160\cdot 3^{n}}=3.

Первый член данной прогрессии равен b_1=160\cdot 3^{1}=480. Сумма первых k членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле:

S_k=\frac{b_1(1-q^{k})}{1-q}

Получим: S_4=\frac{480\cdot (1-3^{4})}{1-3}=\frac{480\cdot (1-81)}{-2}=\frac{480\cdot (-80)}{-2}=19200.

3. (Задача ОГЭ) Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: −1024; −256; −64; … Найдите сумму первых 5 её членов.

 Найдём знаменатель геометрической прогрессии:

q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-256}{-1024}=\frac{1}{4}.

Найдём четвёртый и пятый члены прогрессии:

b_4=b_3q=-64\cdot \frac{1}{4}=-16,\: \: b_5=b_4q=-16\cdot \frac{1}{4}=-4.

Сумма первых пяти первых членов прогрессии равна -1024-256-64-16-4=-1364

Ответ: -1364.

 

Задачи ОГЭ для самостоятельного решения:

1. Дана геометрическая прогрессия (b_n), знаменатель которой равен 5, а b_1=\frac{2}{5}. Найдите сумму первых 6 её членов.

2. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: -12 ; x; -3 ; 1,5 ; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.

3. Геометрическая прогрессия задана условием b_n=164\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}. Найдите сумму первых её 4 членов.

 

Ответы:

  1. Ответ: 1562,4.
  2. Ответ: 6
  3. Ответ: 153,75

15 Задание ЕГЭ по математике 2022 | Экономические задачи Анна Малкова

 


По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Презентация и конспект урока на тему" Определение арифметической и геометрической прогрессий. Формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий"

В технологии УДЕ (укрупненная дидактическая единица) при обучении математике одним из основных элементов является совместное и одновременное изучение родственных разделов. Арифметическая и геометричес...

Интегрированный урок по математики и информатики 9 класс Тема «Прогрессия. Применение формул алгебраической и геометрической прогрессии в электронных таблицах»

Интегрированный урок по математики и информатики 9 классТема «Прогрессия. Применение формул алгебраической и геометрической прогрессии в электронных таблицах»...

Открытый урок алгебры в 9 классе. Тема: Геометрическая прогрессия. Сумма n- первых членов геометрической прогрессии.

Открытый урок алгебры в 9 классе.  Тема: Геометрическая прогрессия. Сумма n- первых членов геометрической прогрессии.Цели: 1.  Расширить и углубить знания о прогрессиях, продолжить форм...

Презентация к уроку алгебры в 9 классе по теме "Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена геометрической прогрессии"

Презентация содержит подробный план урока, историческую справку, тренировочные задания и задания для первичного контроля знаний....

Конспект урока по теме: "Определение геометрической прогрессии. Формула n-ого члена геометрической прогрессии"

Конспект урока изучения нового материала. Поможет учащимся самостоятельно дать определение геометрической прогрессии, вывести формулу n-ого члена и доказать свойство членов геометрической прогрессии....

Задачи для подготовки к ЕГЭ по информатике. Использование геометрической прогрессии для решения задач по информатике.

задачи...

Методическая разработка урока математики в 9 классе на тему: «Определение геометрической прогрессии. Формула n-го члена геометрической прогрессии»

Представленная методическая разработка содержит технологическую карту урока и презентацию...