Решение задач "на проценты", смеси и сплавы
методическая разработка по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Решение задач «на проценты», смеси и сплавы.

Слайд 2

Решение задач «на проценты», смеси и сплавы. Методическое пособие

Слайд 3

Задачи «на проценты» 1.Найти число а , составляющее n процентов от числа b . Решение. а = ∙ b . 2.Обратная задача: найти число b , если n процентов от него равно а . Решение. b = а : 3.Найти, сколько процентов составляет число а от числа b . Решение. n = ∙ 100.

Слайд 4

Задачи «на проценты» 1.Число а увеличилось на n процентов. Найдите получившееся число. Решение. b = а + ∙ а. 2.Число а уменьшилось на n процентов. Найдите получившееся число. Решение. b = а - а. ∙

Слайд 5

Задача 1 В октябре цена на яблоки была снижена на 10% по отношению к цене в сентябре. В ноябре цена повысилась на 10%. Сколько процентов составляет ноябрьская цена по отношению к сентябрьской? Решение. Пусть х руб. – цена на яблоки в сентябре. В октябре цена была снижена на 10% и стала равна х – 0,1х = 0,9х (руб.). В ноябре цена повысилась на 10% и стала равна 0,9х + 0,1∙0,9х = 0,99х (руб.). Найдем, сколько процентов составляет ноябрьская цена по отношению к сентябрьской: ∙ 100% = 0,99 ∙ 100% = 99% Ответ: 99%.

Слайд 6

Задача 2 С двух участков ежегодно собирали 500 т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором – на 20%. Поэтому с двух участков собрали 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирали с первого участка первоначально? Решение. Пусть с первого участка собирали х т пшеницы, тогда со второго – (500 – х) т. После проведения агротехнических мероприятий с первого участка стали собирать 1,3х т пшеницы, а со второго – 1,2(500 – х) т. С двух участков стали собирать (1,3х + 1,2(500 – х)) т, что по условию задачи составляет 630 т. Получаем уравнение: (1,3х + 1,2(500 – х)) = 630, х = 300. Ответ: 300 т.

Слайд 7

Задача 4 Сумма трех вкладов равна 56 тыс. руб. Найти величину второго вклада, если он на 20% меньше первого и на 60% меньше суммы первого и третьего вкладов. Решение. Пусть х тыс. руб. – величина первого вклада. Поскольку второй вклад на 20% меньше первого, то он равен х – 0,2х = 0,8х (тыс. руб.). Так как сумма трех вкладов равна 56 тыс. руб., то сумма первого и третьего вкладов равна 56 – 0,8х (тыс. руб.). Поскольку второй вклад на 60% меньше суммы первого и третьего вкладов, то он равен 56 – 0,8х – 0,6(56 – 0,8х) = 22,4 – 0,32х (тыс. руб.). Получаем уравнение: 22,4 – 0,32х = 0,8х х = 20. Величина первого вклада – 20 тыс. руб. Тогда величина второго вклада 0,8∙20 = 16 (тыс. руб.). Ответ: 16 000 руб.

Слайд 8

Задача 5 Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей? Решение. Пусть ежегодно имеющаяся на счете сумма увеличивается на х%. Тогда через год на счете окажется (2000 + 2000) = 2000 + 20х (рублей).

Слайд 9

Задача 5 Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за два года она возросла с 2000 до 2420 рублей? Еще через один год на счете будет 2000 + 20х + (2000 + 20х) = 0,2х 2 + 40х + 2000 (рублей). По условию задачи это составляет 2420 рублей. Получаем уравнение: 0,2х 2 + 40х + 2000 = 2420. 0,2х 2 + 40х – 420 = 0, х = – 210 или х = 10. Так как по условию задачи х > 0, то х = 10. Ответ: на 10%.

Слайд 10

Задача 6 До снижения цен телевизор стоил 9600 рублей. Когда же цена на телевизоры снизилась, количество покупателей возросло на 20%, а выручка магазина – на 10%. На сколько рублей была снижена цена на телевизоры? Решение. Пусть цена на телевизоры снизилась на х рублей. Тогда телевизор после снижения цены стал стоить (9600 – х) рублей. Пусть количество покупателей до снижения цены было у чел. Тогда количество покупателей после снижения цены стало у + 0,2у = 1,2у (чел.). Выручка магазина до снижения цены была 9600у рублей, а после снижения цены стала 1,2у (9600 – х) (рублей).

Слайд 11

Задача 6 До снижения цен телевизор стоил 9600 рублей. Когда же цена на телевизоры снизилась, количество покупателей возросло на 20%, а выручка магазина – на 10%. На сколько рублей была снижена цена на телевизоры? Так как выручка магазина после снижения цены возросла на 10%, то она стала 9600у + 0,1∙9600у = 1,1∙9600у = 10560у (рублей). Получаем уравнение: 1,2у (9600 – х) = 10560у, 1,2(9600 – х) = 10560, 1,2х = 960, х = 800. Ответ: на 800 рублей.

Слайд 12

Задача 7 ( ЕГЭ 2006 В9) Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как 1:2:4. Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 8%, а вторая – на 2%. На сколько процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился? Решение. Пусть х – объем ежегодной добычи угля первой шахтой. Тогда объем ежегодной добычи угля второй шахтой будет 2х, а третьей – 4х. Суммарный объем ежегодной добычи угля – 7х. После уменьшения годовой добычи угля первой шахтой на 8%, объем добываемого ею угля будет равен 0,92х. После уменьшения годовой добычи угля второй шахтой на 2%, объем добываемого ею угля будет равен 0,98∙2х.

Слайд 13

Задача 7 ( ЕГЭ 2006 В9) Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как 1:2:4. Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 8%, а вторая – на 2%. На сколько процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился? Объем добываемого первой и второй шахтами угля будет равен 0,92х + 0,98∙2х = 2,88х. Тогда объем добываемого третьей шахтой угля должен стать 7х – 2,88х = 4,12х. Осталось найти, на сколько процентов 4,12х больше, чем 4х: 100% = 0,03 ∙ 100% = 3% Ответ: на 3%.

Слайд 14

Задача 8 ( ЕГЭ 2007 В9) При покупке школьнику спортивной формы (спортивного костюма и кроссовок) родителям пришлось заплатить на 32% больше, чем 2 года назад, причем спортивный костюм подорожал на 20%, а кроссовки – на 40%. Сколько процентов от цены спортивной формы составляла цена кроссовок два года назад? Решение. Пусть цена спортивного костюма 2 года назад была х руб., а цена кроссовок – у руб. Тогда цена спортивной формы была (х + у) руб. Так как спортивная форма подорожала на 32%, то она стала стоить х + у + 0,32(х + у) = 1,32(х + у) (руб.). Поскольку спортивный костюм подорожал на 20%, то он стал стоить х + 0,2х = 1,2х (руб.). Поскольку кроссовки подорожали на 40%, то они стали стоить у + 0,4у = 1,4у (руб.).

Слайд 15

Задача 8 ( ЕГЭ 2007 В9) При покупке школьнику спортивной формы (спортивного костюма и кроссовок) родителям пришлось заплатить на 32% больше, чем 2 года назад, причем спортивный костюм подорожал на 20%, а кроссовки – на 40%. Сколько процентов от цены спортивной формы составляла цена кроссовок два года назад? Тогда цена спортивной формы стала (1,2х + 1,4у) руб. Получаем уравнение: 1,32(х + у) = 1,2х + 1,4у у = 1,5х. Тогда цена кроссовок была 1,5х руб., а цена спортивной формы х + 1,5х = 2,5х (руб.). Найдем, сколько процентов составляла цена кроссовок от цены спортивной формы два года назад: 100% = 0,6 ∙ 100% = 60%. Ответ: 60%.

Слайд 16

Задачи на смеси и сплавы Задача 1. Сплавили 300г. сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в полученном сплаве? Решение: Найдем массу олова в первом сплаве: 300∙0,6=180 г. Масса олова во втором сплаве: 900∙0,8=720 г. Масса олова в получившемся сплаве: (1200∙х):100. Составим уравнение и решим его. 180+720=12х, х=75. Sn Cu Sn Cu Sn 60% + 80% = х% 300г 900г 1200г

Слайд 17

Задача 1. Сплавили 300г. сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в полученном сплаве? Sn Cu Sn Cu Sn 60% + 80% = х% 300г 900г 1200г Решим данную задачу относительно массы меди. Масса меди в первом сплаве: 300∙0,4=120г. Масса меди во втором сплаве: 900∙0,2=180г. Масса меди в получившемся сплаве: (1200∙х):100. Составим уравнение и решим его. 120+180=12х, х=25 25% - масса меди, значит масса олова будет равна 100%-25%=75% Ответ: 75%.

Слайд 18

Задача 2. В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20л воды, получили смесь с содержанием спирта 12%. Сколько воды было в смеси первоначально? Решение: Решим задачу относительно объема воды. 4х+20=(20+5х)∙0,88 4х+20=17,6+4,4х 0,4х=2,4 х=6. Первоначально в смеси было 6л спирта и 24л воды. Ответ: 6л спирта и 24л воды. Спирт вода вода спирт вода + = 12% 88% х 4х 20л 20+5х

Слайд 19

Задача 3. Имеются два куска сплава цинка и меди с процентным содержанием меди 30% и 18%. В каком отношении надо взять эти сплавы, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 25 % меди? Решение: Содержание задачи представим в виде схемы. Zn Cu Zn Cu Zn Cu 30% + 18% = 25% х г у г (х+у) г

Слайд 20

Пусть масса первого куска х кг., а второго у кг., тогда масса сплава (х+у) кг. Масса меди в первом куске 0,3х кг., во втором 0,18у кг., тогда масса меди в сплаве 0,25(х+у) кг. Составим уравнение и решим его. 0,3х+0,18у=0,25(х+у) 30х+18у=25х+25у 5х=7у х:у=7:5 Ответ: х : у = 7 : 5, где х – масса 30 %-го сплава, у – масса 18 %-го сплава. Zn Cu Zn Cu Zn Cu 30% + 18% = 25% х г у г (х+у) г

Слайд 21

Задача 4. В двух одинаковых сосудах находится растворы серной кислоты концентрации 28,7% и 37,3%. Раствора сливают. Какова концентрация полученного раствора кислоты? Решение: 28,7% + 37,3% = у% х х 2х (х∙28,7):100+(х∙37,3)=(у∙2х):100, 28,7х+37,3х=2ху, 66х=2ху, у=33. Ответ: 33%

Слайд 22

Задача 5. Для приготовления маринада необходим 2%-ный раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-ного раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Решение: уксус вода вода уксус вода 9% 91% + = 2% 98% 100 г х (100+х) г Решаем относительно массы воды. 100∙0,91+х=(100+х)∙0,98, 91+х=98+0,98х, 0,02х=7, х=350. Ответ: 350г.

Слайд 23

Задача 6. Имеются два слитка сплава олова с медью. Первый слиток содержит 230г. олова и 20 г меди, а второй слиток – 240г олова и 60г меди. От каждого слитка отрубили по куску, сплавили и получили 300г сплава. Сколько граммов отрубили от первого слитка, если в полученном сплаве было 84% олова? Решение: олово медь олово медь олово х у 84% 230г 20г 240г 60г х+у=300 250г 300г 3х=300, х=100. Ответ: 100 г.

Слайд 24

Задача 8. В раствор объемом 8 литров, содержащий 60% кислоты, начали вливать раствор, содержащий 20% кислоты. Сколько можно влить второго раствора в первый, чтобы смесь содержала кислоты не больше 40%, но не меньше 30%? Решение: 60% + 20% = 30≤у%≤40% 8л. хл. (х+8)л. Найдем объем кислоты в каждом растворе В 1 растворе Во втором растворе В смеси кослоты 0,6·8 л. 0,2х л. (4,8+0,2х) л.

Слайд 25

По условию задачи смесь должна содержать кислоты не более 40%, т.е. не более 0,4(х+8) л., но не менее 30%, т.е. 0.3(х+8)л. Получаем следующее неравенство: 0,3(х+8)≤4,8+0,2х≤0,4(х+8) Решая его получаем 8≤х≤24. Ответ можно влить не менее 8л., но не более 24л. раствора.