Индивидуальный проект «Математика без формул».
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2 г.Дигоры

                Индивидуальный проект

            «Математика без формул»

Выполнила:

Камболова Маиза Маировна

      ученица 10 «Б» класса  

        МКОУ СОШ №2 г. Дигоры

Руководитель проекта:

Золоева Е. Б. учитель математики

МКОУ СОШ №2 г. Дигоры

                                                г. Дигора 2021г.

                                                    Содержание

                                                   1.Введение

1.1.Актуальность:

 Математика – одна из самых сложных наук, которая доставляет немало хлопот во время обучения. В то же время, навыки устного счета и различные математические приемы необходимо освоить каждому человеку, поскольку без этих знаний в современном мире жить просто невозможно.

В этом учебном году я начала готовится к ЕГЭ. Один из заданий базового уровня вызвало у меня затруднение это задание № 19, которое надо решать не используя формулы и уравнения.

Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы допускаем ошибки, в результате - теряем время.

Для подсчета без калькулятора можно использовать признаки делимости. Значимость признаков делимости в математике бесспорна.

Признаки делимости помогают, не выполняя деление установить, делится ли одно натуральное число на другое. Но данную тему «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9,4, 10» мы изучали в 5 классе и признаков мало, чтобы решить задание № 19.

Мне стало интересно, какие еще есть признаки деления натуральных чисел и можно ли ещё самой получить новые признаки делимости? Так возникла тема моей проектной работы.

1.2.Цель:

 Изучить историю и материалы, посвященные признакам делимости натуральных чисел. Которые мне позволят освоить решения заданий типа № 19 на конструирование чисел с заданными свойствами.

1.3.Задачи:

1. Изучить исторические сведения;
2. Научиться пользоваться научной литературой, грамотно находить информацию в интернете;
3. Исследовать способы решения задач на конструирование числа с заданными свойствами;
4. Научиться решать задачи №19 ЕГЭ (базового уровня), применяя изученные ранее методы;

1.4.Объект исследования: задание №19 ЕГЭ (базовый уровень).

1.5.Предметная область моего исследования - математика.

1.6. Гипотеза: освоив новые признаки делимости натуральных чисел, можно повысить уровень математической подготовки, интерес к изучению математики среди учащихся, успешно справиться с решением заданий №19 ЕГЭ (базовый уровень).

1.7.Методы исследования: изучение, анализ, систематизация, структуризация полученной информации.

1.8. Новизна: в ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.

1.9. План исследования:

                                         2. Основная часть

2.1.Из истории математики о делимости чисел

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.

Блез Паскаль (BlaisePascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Родился в Клермон-Ферране (провинция Овернь) 19 июня 1623. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. 

Отец Паскаля имел хорошее образование и решил самостоятельно заниматься образованием мальчика. Блез рос одарённым ребёнком и рано проявил выдающиеся математические способности.

Его отец старался обучить мальчика древним языкам, настаивая, чтобы тот не отвлекался на разного рода пустяки. Как-то раз, на очередной вопрос сына о том, что такое геометрия, отец кратко ответил, что это способ чертить правильные фигуры и находить между ними пропорции. Однако тут же запретил ему всякие исследования в этой области. Но запретный плод сладок, и Блез, закрывшись в своей спальне, принялся углем выводить на полу различные фигуры и изучать их.

Когда отец случайно застал его за одним из таких самостоятельных уроков, он был потрясен: не знавший даже названий фигур, мальчик доказывал их свойства. Так постепенно раскрывался гений Блеза Паскаля.

 Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году.

За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции.

2.2. Признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе.

Признак делимости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу.

Представим признаки делимости в виде таблицы:

2.3. Признаки делимости натуральных чисел из разных источников.

Признаки делимости на натуральные числа, полученные в ходе изучения различных источников:

         Я исследовала признаки делимости натуральных чисел.

Таким образом, все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:

1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми)- это признаки делимости на 2, на 5, на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50.

2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа- это признаки делимости на 3, на 9, на7, на 37, на 11 (1 признак).

3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа- это признаки делимости на 7, на 11(1 признак), на 13, на 19.

4 группа – когда для определения делимости числа используются другие признаки делимости- это признаки делимости на 6, на 15, на 12, на14.

                                         3. Практическая часть

3.1. Признаки делимости натуральных чисел, полученные самостоятельно.

Проанализировав представленные выше признаки делимости и используя их за основу, можно сформулировать следующие признаки делимости:

3.2.Задачи на применение признаков делимости.

Применение признаков делимости , при решении заданий  ЕГЭ.

Задача 1. Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение.

Искомое натуральное число делится на 24, следовательно, оно делится на 3 и на 8.

Число делится на 3, если сумма его цифр кратна 3.

Число делится на 8, если три его последние цифры делятся на 8 или являются нулями.

Чтобы искомое число делилось на 3, оно должно состоять из шести цифр 2, или из трех цифр 2 и трех цифр 0.

222 не делится на 8, поэтому первый вариант нас не устраивает.

Значит искомое число состоит из трех цифр 2 и трех цифр 0.

На 8 в этом случае делится, например, такое число: 222000

Ответ: 222000

ЗАДАЧА 2. Найдите четырехзначное число, кратное 88, все цифры которого

различны и четны. В ответе укажите какое–ни будь одно такое число.

    РЕШЕНИЕ. Число               делится на 88.

         88 = 8·11,  

 для делимости на 11  a + c = b + d    и

           (три последние цифры в записи числа) должно делиться на 8.

Помним, что все цифры четные и различные.

     Четные цифры это – 0, 2, 4, 6, 8.

       2 + 4 = 6 + 0, то есть число 2640. Это проверка делимости на 11

Проверяем делимость на 8. 640 делится на 8.

Другую последовательность этих цифр взять нельзя (2046), потому что не выполняется делимость на 8.

     Рассмотрим цифры 2, 4, 6, 8.

        2 + 8 = 4 + 6. Получим число 2486 или 8426 или 8624 или 6248. Первые два числа не подходят – не выполняется признак делимости на 8, а вот два последних числа соответствуют второму условию (8624; 6248).

    ОТВЕТ. 2640; 8624; 6248.

ЗАДАЧА 3. Вычеркните в числе 75 416 303 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое–нибудь одно такое число.

     РЕШЕНИЕ. Так как число должно делиться на 30, то оно должно делиться на 3 и на 10 (30 = 3 · 10).

Теория. Число делится на 10, если запись числа оканчивается цифрой 0.

          Поэтому обязательно нужно вычеркнуть крайнюю правую цифру 3, получим 7 541 630.

          Вычеркивая еще две цифры помним, что сумма оставшихся цифр должна делиться на 3.

          Получим 75 630 (7 + 5 + 6 + 3 + 0 = 21) или

                            54 630 (5 + 4 + 6 + 3 +0 = 18).

      Решение можно продолжить и получить другие решения.

     ОТВЕТ. 75 630; 54 630;74 160; 51 630; 74130.

Задача 4. Найдите трехзначное натуральное число, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 2 и все цифры которого четные. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение

Сначала найдем число, которое делится на 4, на 5 и на 6.

Если число делится на 5, то его последняя цифра 0 или 5.

Если число делится на 4, то две его последние цифры образуют число, которое делится на 4, или две его последние цифры нули.

Если число делится на 6 , то оно делится на 2 и на 3, так как 6=2*3.

Если число делится на 2, то его последняя цифра - четная. И если число делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.

Тогда для двух последних цифр искомого числа существуют такие варианты:

Так как  сумма цифр числа делится на 3, и все цифры четные, получаем такие варианты для первой цифры:

Далее. По условию искомое число при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 2. Это значит, что если из искомого числа вычесть2 , то мы получим число, которое делится без остатка на 4, на 5 и на 6. То есть чтобы получить искомое число, нужно к числам, записанным в таблице прибавить 2.

Таким образом, искомым числом может быть одно из следующих:

Ответ: 602 или 422 или 242 или 842 или 662 или 482.

                                                 Заключение

Работая над темой исследования, я значительно расширила свои знания по математике.

Я считаю, что проведенное мной исследование очень полезно для меня, а его результаты могут быть успешно использованы на уроках математики и во внеклассной работе. Они помогут при подготовке к успешной сдаче Единого Государственного Экзамена.

В процессе исследования признаков делимости натуральных чисел, научилась решать задания № 19 ЕГЭ.

Данная исследовательская работа дала мне возможность совершенствовать навыки работы с научно-популярной литературой и совершенствовать свои умения использования компьютерных программ.

          Список использованной литературы (источников):

1. Галкин В.А. Задачи по теме «Признаки делимости ».// Математика, 1999.-№5.-С.9.
2. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах.- М.: Просвещение, 1984.
3. Пельман Я.И. Математика – это интересно ! – М.: ТЕРРА – Книжный клуб, 2006.
4. Энциклопедический словарь юного математика./ Сост. Савин А.П. – М.: Педагогика, 1989. – С. 352.
5. Учебно-методический комплекс «Математика. АПодготовка к ЕГЭ» под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова
6. Ресурсы- Internet. http://www.math.com.ua/articles/priznaki-delimosti-chisel.html