Проект : " Принцип Дирихле и его применение"
проект по алгебре (7 класс)

Содержание

  Аннотация наставника………………………………………………………………...…3

  Введение…………………………………………………………………………………..4

1. Теоретическая часть

1. Биография Дирихле……………………………………………………………………5
2. Принцип Дирихле и его формулировки……………………………………………..5

2. Практическая часть

2.1 Принцип Дирихле и арифметика…………………………………………………….8

2.2 Принцип Дирихле в геометрии………………………………………………………8

2.3 Принцип Дирихле в комбинаторных задачах……………………………………….9

  Заключение……………………………………………………………………...……….12

  Список литературы……………………………………………………………………...13

  Приложение…………………………………………………………………………..14-15

Аннотация наставника

        В своей работе «Принцип Дирихле и его применение», автор подробно рассказывает об биографии великого математика,  рассматривает различные формулировки принципа и находит его применение в решении задач.

        Тип проекта: информационно-познавательный.

        Продукт проекта: Буклет « Принцип Дирихле и применение его в решении задач».

        Данная тема не рассматривается в учебнике математики поэтому, автору захотелось познакомиться с нестандартным методом решения задач, который учит мыслить, расширяет сообразительность, полученные знания пригодятся для сдачи экзаменов и решении  олимпиадных и практических задач в жизни.

Введение

        Математика-это наука, которая покорила сердца многих людей и, моё в том числе. Выбирая тему проекта, я не капли, не сомневалось, что она будет связана с математикой. Обратив  внимание на тему: «Принцип Дирихле и его применение», в интернет источниках я нашла много информации по данной теме,  и мне захотелось узнать о ней подробно. Данный метод применяется при решении олимпиадных задач, что повысил мой интерес к её изучению .

       Цель работы: изучение принципа Дирихле, применение его в решении задач.

       Задачи работы:

1.  Изучить литературу по данной теме;

2.  Научиться решать задачи на принцип Дирихле;

3.  Рассмотреть различные формулировки принципа Дирихле;

4. Классифицировать задачи в соответствии с их содержанием и научиться применять изученный принцип к решению задач;

5.  Сделать   буклет « Принцип Дирихле и его применение в решении задач».

Теоретическая часть

1. Биография Дирихле

        Дирихле родился в вестфальском городе Дюрене в семье почтмейстера. В 12 лет Дирихле учился в гимназии в Бонне, через два года — в иезуитской гимназии в Кёльне, где в числе прочих преподавателей его учил немецкий физик  Георг Ом. С 1822 по 1827 г. жил в качестве домашнего учителя в Париже, где вращался в кругу Фурье.

         В 1825 г. Дирихле вместе с А. Лежандром доказал великую теорему Ферма для частного случая n=5. В 1827 г. молодой человек по приглашению Александра фон Гумбольдта устраивается на должность приват-доцента университета Бреслау. В 1829 г. он перебирается в Берлин, где проработал непрерывно 26 лет, сначала как доцент, затем с 1831 г. как экстраординарный, а с 1839 г. как ординарный профессор Берлинского университета.

        В 1831 г. Дирихле женится на Ребекке Мендельсон-Бартольди, сестре знаменитого композитора Феликса Мендельсон-Бартольди. В 1855 г. Дирихле становится в качестве преемника Гаусса профессором высшей математики в Гёттингенском университете. В числе его достижений — доказательство сходимости рядов Фурье.      

        В теории чисел доказал теорему о прогрессии: последовательность  {a + nb}, где a, b — взаимно простые целые числа, содержит бесконечно много простых чисел. За свою столь не долгую жизнь Лежён  Дирихле ( см.приложение рис.1) совершил не мало открытый.

       К важнейшим достижениям в науке относятся следующие:

• Он ввёл такое понятие, как «условная сходимость» и определил её признак;
• Доказал теорему о прогрессии;
• Высказал принцип Дирихле;
• Значительно развил теорию потенциала.

      Все его достижения внесли неоценимый вклад в развитие математики, как науки.

1.2 Принцип Дирихле и его формулировки

        Принцип Дирихле утверждает, что если множество из M элементов разбито на N непересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где M > N, то по крайней мере в одной части будет более одного элемента.

        В комбинаторике принцип Дирихле́ («принцип ящиков») - утверждение, устанавливающее связь между объектами («зайцами») и контейнерами («клетками») при выполнении определённых условий. В английском и некоторых других языках утверждение известно как «принцип голубей и ящиков», когда объектами являются голуби, а контейнерами - ящики.

       Формулировки принципа Дирихле

1.  «Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х «кроликов»

Например. Если в 4(или n) клетках сидит 5 (или n+1) зайцев, то хотя бы в одной клетке находится более одного зайца (2 зайца). (см.приложение рис.2)

2.  «Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка»

        Заметим,  что  в  роли  кроликов могут  выступать  различные  предметы  и математические  объекты - числа,  отрезки,  места  в  таблице  и  т.  д.  Если  мы хотим  применить  принцип  Дирихле  при  решении  конкретной  задачи,  то  нам предстоит разобраться, что в ней — "клетки", а что — "кролики". Это обычно является самым трудным этапом в доказательстве.

       Обобщенный принципа Дирихле

1. “Если в n клеток посадить nk+1 зайцев, то найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k+1 заяц”.
2. "Если в n клетках сидят не более nk-1 "зайцев", то в какой-то из клеток сидят не более k-1 "зайцев ".

        Докажем обобщенный принцип Дирихле. Используем доказательство от противного. Предположим, что не найдется такой клетки. Значит, в каждой клетке находится не более чем k зайцев. Тогда в n клетках не более чем kn зайцев. Но по условию у нас было kn+1 зайцев. Получилось противоречие, значит наше предположение неверно. Следовательно, найдется хотя бы одна клетка, в которой находятся не менее чем k+1 заяц.

          Существует  еще одна формулировка принципа Дирихле, которая  применяется  к фигурам:"Если на отрезке длины L расположено несколько отрезков с суммой длин больше L, то хотя бы два из них имеют общую точку".

         А для площадей применяют следующую формулировку: "Если внутри фигуры площади S находится несколько фигур, имеющих сумму площадей больше S, то хотя бы две из них имеют общую точку".

         Рассмотрев все возможные формулировки, можно составить алгоритм применения принципа Дирихле к решению задач.

1.Определить, что в задаче является "клетками", а что-"зайцами".

2.Применить соответствующую формулировку принципа Дирихле:

• Если в n клетках сидят (n+1) «зайцев", то есть клетка, в которой не менее 2-х "зайцев".
• Если в n клетках сидят не более (n-1) "зайцев", то есть пустая "клетка".
• Если в n клетках сидят не более (nk-1) "зайцев", то в какой-то из клеток сидят не более (k-1) "зайцев".
• Если в n клетках сидят не менее (nk+1) "зайцев", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "зайцев".
• Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток
• "Среди любых n + 1 целых чисел найдутся два числа таких, что их разность делится на n"
• "Если на отрезке длины L расположено несколько отрезков с суммой длин больше L, то хотя бы два из них имеют общую точку".
• "Если внутри фигуры площади S находится несколько фигур, имеющих сумму площадей больше S, то хотя бы две из них имеют общую точку".

         Данный алгоритм, я буду применять к задачам, которые часто встречаются на олимпиаде по математике. Рассмотрев формулировки принципа Дирихле, можно сделать вывод, что данный принцип является мощным логическим методом с помощью, которого решаются не только арифметические задачи, но и задачи с геометрическим содержанием, комбинаторные задачи. Его можно применять в повседневной жизни, развивать логическое мышление.

1. Практическая часть

1. Принцип Дирихле и арифметика.

     Рассмотрим задачи, которые требуют логического мышления.

1.  В классе 35 учеников. Докажите, что среди них найдутся два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы.

  Решение. В русском алфавите 33 буквы. Учеников в классе – 35. Примем буквы алфавита за “клетки”, а учеников – за “зайцев”, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы два ученика, чьи фамилии начинаются в одной и той же буквы.

2.  При каком наименьшем количестве учеников школы среди них обязательно найдутся двое, у которых день и месяц рождения совпадают?

  Решение. В году может быть максимум 366 дней, то по принципу Дирихле учеников может быть максимум n+1, то есть 366+1=367 учеников.

3.   Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них – мужчины. Докажите, что найдутся два мужчины, сидящие друг напротив друга.

  Решение. Число пар, сидящих друг напротив друга равно 50. Так как мужчин как минимум n+1, то есть 50+1, то по принципу Дирихле найдется хотя бы одна пара мужчин, сидящих друг напротив друга.

4.    На экзамене  10 школьников решили в сумме 35 задач, причем среди них были решившие ровно 1 задачу, ровно 2 задачи и ровно 3. Доказать, что кто-то из них решил не менее пяти задач.

  Решение. Т.к. трое школьников в сумме решили 6 задач (1+2+3=6), то останется еще 7 школьников, решивших в сумме 29 задач. Задачи – это «зайцы», «клетки» -ученики 29:7=4(ост1), 29=7 * 4 + 1.В каждую «клетку» (ученику) мы можем посадить 4 «зайца» (задачи) и ещё одна останется. Значит её решил один из учеников, т.е. один ученик решил 5 задач.

2. Принцип Дирихле и геометрия

        Так как геометрия для меня новый предмет, мне стало интересно, какую роль в решении геометрических задач играет данный метод.

1.   Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 расположено 5 точек.

Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5. (см.приложение рис.3)

   Решение.

       Проведем 3 отрезка, соединяющие середины противоположных сторон треугольника. Эти отрезки делят треугольник 1х1х1 на четыре равных треугольника со сторонами 0,5. Представим, что треугольники – это “клетки”, а точки – “зайцы”, то по принципу Дирихле хотя бы две точки окажутся в одном из четырех треугольников. Расстояние между этими двумя точками будет меньше, чем 0,5, так как они не лежат в вершинах маленьких треугольников.

2.         Доказать, что если прямая l, расположенная в плоскости треугольника ABC, не   проходит ни через одну из его вершин, то она не может пересечь все три стороны треугольника. (см.приложение рис.4)

   Решение.

        Полуплоскости, на которые прямая l разбивает плоскость треугольника ABC, обозначим через x  и y. Полуплоскости x  и y  будем считать открытыми, так как они не содержат точек прямой l. Представим, что вершины рассматриваемого треугольника (точки A, B, C) – это "зайцы", а полуплоскости x  и y - "клетки". Каждый "заяц" попадает в какую-нибудь "клетку" так как прямая l не проходит ни через одну из точек A, B, C. Учитывая то, что "зайцев" трое, а "клеток" только две, то найдутся два "зайца", попавшие в одну "клетку", то есть, найдутся такие две вершины треугольника ABC, которые принадлежат одной полуплоскости.

3.         В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть квадратом со стороной 20 см.
4.         Решение: Разобьем  наш  квадрат  на  25  квадратов  со  стороной  20  см.  По обобщенному принципу Дирихле, в какой-то из них попадёт, по крайней мере, три точки из 51 брошенной.

3. Принцип Дирихле в комбинаторных задачах

1.      Какое наибольшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? (см.приложение рис.5)

                  Решение. Начнем с того, что на шахматной доске 64 клетки. Король может ходить в любую сторону, но только на одну клетку. Всего на шахматной доске можно расположить 16 королей так, как показано на рисунке 1. Теперь докажем, почему 16 – это максимальное число королей, которые мы можем расположить на шахматной доске. Тут мы воспользуемся методом “от противного”. Предположим, что мы можем разместить на доске 17 королей, разбив доску на 16 равных квадратов, как показано на рисунке 2. Давайте примем эти квадраты за “ящики”, а королей – за “зайцев”, то по принципу Дирихле хотя бы в одном “ящике” будет больше одного короля, то есть на одной клетке располагаются 2 короля, а такое невозможно, то на шахматной доске можно разместить не больше 16 королей.

   Особенностью следующей задачи является то, что в ней принцип Дирихле применяется последовательно несколько раз.

2.       Докажите,  что  в  любой  момент  турнира  по  шашкам  (в  котором каждый встречается с остальными участниками по одному разу) найдется два игрока, сыгравшие одинаковое число партий.

              Решение: Если  в  турнире k+1  участник,  то  количество  сыгранных  партий  у каждого  спортсмена  меняется  от  0  до k.  Однако,  если  хотя  бы  у  одного участника не сыграно ни одной партии. То ни у кого не может быть сыграно k партий (т. е. количество групп -k). Если же хотя бы один сыграл все k партий, то ни  у  кого  не  может  быть  0.  Если k+1  игрока  распределять  по k группам,  то найдется группа, в которой не менее 2 игроков.

3.    В коробке лежат 10 красных карандашей, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. Наугад (произвольно) из коробки вынимают n карандашей. Определить наименьшее число карандашей, которые необходимо вынуть, чтобы среди них было не менее 4 карандашей одного цвета

            Решение: Пусть вынули 13 карандашей. Так как у нас всего 4 цвета, согласно принципу Дирихле (карандаши будут "предметами", а цвета - "коробками"), по крайней мере 4 карандаша будут одинакового цвета.

    Докажем, что n = 13 является наименьшим числом. С этой целью покажем ситуацию, при которой условия задачи не выполняются. Например, когда вынуто по 3 карандаша каждого цвета (12 карандашей). Отметим, что эта ситуация возможна, так как в коробке находится не менее 3 карандашей каждого цвета.

        Рассмотрев применения принципа Дирихле при решении задач, которые были взяты из разных областей математики. На мой взгляд, самым понятным для меня  был разбор задач связанные с  арифметикой и геометрией может потому, что про комбинаторику на уроках математики мы говорим редко.

        Изучив классические задачи, я попробовала составить подобные задачи:

1.      На поляне размером 8м×10м в произвольном порядке посадили 19 деревьев.

Докажите, что в любом случае найдется квадрат со стороной 2м, на котором не растёт ни одно дерево, для того, чтобы установить качели.

          Решение: Данную поляну можно разделить на 20 равных квадратов со стороной 2м. Так как посажено только 19 деревьев, то обязательно найдется квадрат, внутри которого нет ни одного дерева.

2.      В ковре 2м×5м мышь прогрызла 21 дырку. Докажите, что найдутся хотя бы 3 дырки, которые можно залатать одной квадратной заплаткой со стороной 1м.

         Решение:  Ковер можно «Разделить» на 10 квадратов со стороной 1м.Так как 21 = 10∙2+1, то найдется квадрат со стороной 1м, в котором мышь прогрызла минимум три дырки. Его можно залатать одной заплаткой.

3.     В новом микрорайоне было построено 30 новых домов. 21 из них были трехэтажные , 22 выкрашены в персиковый цвет, у 18 домов крыша красного цвета.  Докажите, что на улице обязательно найдется двухэтажный дом персикового цвета с красной крышей.

        Решение: Возьмем 21 карточку и на каждой из них напишем двухэтажный дом. Еще на 22 карточках напишем – персиковый цвет, и на 18 – красная крыша. Всего у нас окажется 21 + 22 + 18 = 61карточка. Пронумеруем дома от 1 до 30 и будем раскладывать карточки. Так как 61 = 30∙2 + 1, значит по крайне мере на одном доме будет три карточки. Следовательно, на улице обязательно найдется двухэтажный дом персикового цвета с красной крышей.

        Для желающих потренироваться в решении задач на принцип Дирихле, 

я сделала буклет « Принцип Дирихле и его применение в решении различных задач».

( см. приложение рис.6 )

Заключение

        Изучив литературу по теме принцип Дирихле, проанализировав виды и типы задач, которые решаются с использованием данного принципа, я сделала следующие выводы:

1. Принцип Дирихле важен и полезен, этот принцип является мощным логическим методом, с помощью которого решаются не только арифметические задачи, но и задачи с геометрическим содержанием, комбинаторные задачи. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление.
2. Многие олимпиадные задачи решаются  с помощью  этого специального метода, поэтому его целесообразно изучать самостоятельно или во внеурочной деятельности.
3.  Принцип Дирихле помогает при решении задач логически выстроить цепочку. Ведь на олимпиаде, для хорошего результата просто ответ написать не получиться, нужно развернутое объяснение задачи.

        Я считаю, что проделанная мною работа, дала положительные результаты. Продукт моей работы можно использовать для ознакомления с принципом Дирихле среди одноклассников, при подготовке к олимпиадам, на занятиях математического кружка, к подготовке к экзаменам.

Список литературы

1. Андреев А.А., Горелов Г.Н., Люлев А.И., Савин А.Н., Математика, Принцип Дирихле, Выпуск 1,  1997

2. Бородин А.И., Бугай А.С. Биографический словарь деятелей в области

математики. - Киев, Радяньская школа, 1979

3.  Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад - М., Наука, 1975

4. http://logo-rai.ru/index.php/princip-dirihle

5. http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=books.mk1.dirikhle

Приложение

Рис.1 Лежён Дирихле (13.02.1805-05.05.1859), немецкий математик.

Рис.2 Формулировка принципа Дирихле.

Рис.3 Принцип Дирихле и геометрия.

Рис. 4 Принцип Дирихле и геометрия

Приложение

Рис. 5 Принцип Дирихле и комбинаторные задачи.

Принцип Дирихле

и его применение в решении различных задач

Порядок( алгоритм)применения принципа Дирихле:

•    Нужно определить, что в задачи является « клетками», а что « зайцами».
•    Применить подходящую формулировку принципа Дирихле.

Формулировки принципа Дирихле.

• Если в n клетках сидят (n+1) «зайцев", то есть клетка, в которой не менее 2-х "зайцев".

• Если в n клетках сидят не более (n-1) "зайцев", то есть пустая "клетка".
• Если в n клетках сидят не более (nk-1) "зайцев", то в какой-то из

Приложение

клеток сидят не более (k-1) "зайцев".

• Если в n клетках сидят не менее (nk+1) "зайцев", то в какой-то из клеток сидят не менее k+1 "зайцев".
• Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, дающие при делении на p один и тот же остаток
• "Среди любых n + 1 целых чисел найдутся два числа таких, что их разность делится на n"
• "Если на отрезке длины L расположено несколько отрезков с суммой длин больше L, то хотя бы два из них имеют общую точку".
• "Если внутри фигуры площади S находится несколько фигур, имеющих сумму площадей больше S, то хотя бы две из них имеют общую точку".

Примеры задач.

Задача №1

   В классе 35 учеников. Докажите, что среди них найдутся два ученика, фамилии которых начинаются с одной и той же буквы. 

Решение. В русском алфавите 33 буквы. Учеников в классе – 35. Примем буквы алфавита за “клетки”, а учеников – за “зайцев”, то по принципу Дирихле найдутся хотя бы два ученика, чьи фамилии начинаются в одной и той же буквы.

Задача №2

    Какое наибольшее число королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

     Решение. Начнем с того, что на шахматной доске 64 клетки. Король может ходить в любую сторону, но только на одну клетку. Всего на шахматной доске можно расположить 16 королей так, как показано на рисунке 1. Теперь докажем, почему 16 – это максимальное число королей, которые мы можем расположить на шахматной доске. Тут мы воспользуемся методом “от противного”. Предположим, что мы можем разместить на доске 17 королей, разбив доску на 16 равных квадратов, как показано на рисунке 2. Давайте примем эти квадраты за “ящики”, а королей – за “зайцев”, то по принципу Дирихле хотя бы в одном “ящике” будет больше одного короля, то есть на одной клетке располагаются 2 короля, а такое невозможно, то на шахматной доске можно разместить не больше 16 королей. 

Рисунок 1

Задача №3

   На поляне размером 8м×10м в произвольном порядке посадили 19 деревьев. Докажите, что в любом случае найдется квадрат со стороной 2м, на котором не растёт ни одно дерево, для того, чтобы установить качели.

   Решение: Данную поляну можно разделить на 20 равных квадратов со стороной 2м.

Так как посажено только 19 деревьев, то обязательно найдется квадрат, внутри которого нет ни одного дерева. 

Задача №4

    В ковре 2м×5м мышь прогрызла 21 дырку. Докажите, что найдутся хотя бы 3 дырки, которые можно залатать одной квадратной заплаткой со стороной 1м.

    Решение:  Ковер можно «Разделить» на 10 квадратов со стороной 1м.Так как 21 = 10∙2+1, то найдется квадрат со стороной 1м, в котором мышь прогрызла минимум три дырки. Его можно залатать одной заплаткой.

   - Здравствуйте, уважаемая комиссия, меня зовут Чикунова Елена, я ученица 7  класса. Под руководством наставника Мартовой Марины Сергеевны учителя математики мной был выполнен проект на тему: Принцип Дирихле и его применение. Содержание работы вы видите на слайде

  Математика-это наука, которая покорила сердца многих людей  и,  моё в том числе. Выбирая тему проекта, я не капли, не сомневалась, что она будет связана с математикой. Обратив  внимание на тему: « Принцип Дирихле и его применение», в интернет источниках я нашла много информации по данной теме,  и мне захотелось познакомиться  с ней подробно. Данный метод применяется при решении олимпиадных задач, что повысил мой интерес к её изучению .

    Цель моей работы: изучение принципа Дирихле, применение его в решении задач.  Задачи:  Вы видите на слайде.

Проектным продуктом является  буклет

«Принцип Дирихле и его применение в решении задач». Этот продукт,  поможет получить знания, которые пригодятся для сдачи экзаменов и  в решении  олимпиадных и практических задач в жизни

  Моя работа состоит из двух частей: теоретической  и практической.  

   В теоретической части я познакомилась с биографией Лежёна Дирихле -  немецкий математик,  который прожил  всего 54 года но, за столь не долгую жизнь сделал ряд крупных открытий в самых   разных областях математики,   механике и математической физике.

Кратко просмотрев биографию великого немецкого математика, я также  рассмотрела различные формулировки принципа Дирихле. Вы видите их на слайде.  Вас хочу познакомить с одной из них :

1. «Если в n клетках сидят n + 1 "кроликов", то есть клетка, в которой не менее 2-х «кроликов»

Например. Если в 4 клетках сидит 5 зайцев, то хотя бы в одной клетке находится более одного зайца (2 зайца).

2.  «Если в n клетках сидят не более n-1 "кроликов", то есть пустая клетка»

Например :  в 6 клетках, сидят 5 зайцев, то  1 клетка будит пуста.  Это общая формулировка, которая раскрывает сам принцип.

Почему их существует много? Потому, что принцип Дирихле помогает решать задачи в таких разделах как, арифметика, теория чисел, геометрия и комбинаторика. Рассмотрев все возможные формулировки, можно составить алгоритм применения принципа Дирихле к решению задач.

1. Нужно определить, что в задаче является "клетками", а что-"зайцами".

2.Применить соответствующую формулировку принципа Дирихле:

 Классические задачи в этих разделах я разобрала в практической части своей работы, где подробно расписала способ их решения. На основе этого я попробовала составить подобные задачи.

Представлю Вам одну из них.

• На поляне размером 8м×10м в произвольном порядке посадили 19 деревьев.

Докажите, что в любом случае найдется квадрат со стороной 2м, на котором не растёт ни одно дерево, для того, чтобы установить качели.

   Решение: Данную поляну можно разделить на 20 равных квадратов со стороной 2м.

    Так как посажено только 19 деревьев, то обязательно найдется квадрат, внутри которого нет ни одного дерева.

Изучив литературу по теме принцип Дирихле, проанализировав виды и типы задач, которые решаются с использованием данного принципа, я сделала следующий вывод:

Принцип Дирихле важен и полезен, этот принцип является мощным логическим методом, с помощью которого решаются не только арифметические задачи, но и задачи с геометрическим содержанием, комбинаторные задачи. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление.

   Я считаю, что проделанная мною работа, дала положительные результаты. Продукт моей работы можно использовать для ознакомления с принципом Дирихле среди одноклассников, при подготовке к олимпиадам, на занятиях математического кружка, в подготовке к экзаменам.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! Я готова ответить на  Ваши вопросы.

    На всякий случай!!!

В ковре 2м×5м мышь прогрызла 21 дырку. Докажите, что найдутся хотя бы 3 дырки, которые можно залатать одной квадратной заплаткой со стороной 1м.

    Решение:  Ковер можно «Разделить» на 10 квадратов со стороной 1м.Так как 21 = 10∙2+1, то найдется квадрат со стороной 1м, в котором мышь прогрызла минимум три дырки. Его можно залатать одной заплаткой.