Тема самообразования "Принцип Дирихле".
учебно-методический материал на тему

Тема самообразования

«ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ»

ВВЕДЕНИЕ

В работе в школе для детей с нарушением зрения педагоги постоянно сталкиваются со снижением у них познавательной активности, которая часто негативно  сказывается на отношении к обучению.

В основе пассивности или отсутствия  интереса к обучению у детей с нарушениями зрения лежат различные  причины, в первую очередь, особенности психологического развития детей, имеющих патологию зрения:

1) несформированность компенсаторных психологических процессов,

2) снижение адаптации ребёнка к  окружающей среде.

Снижение работоспособности и умственной активности у детей с нарушениями зрения не влияет на их природные способности к обучению,  и даже одарённость по какому – либо учебному предмету.

Поэтому одной из главных задач педагога, обучающего детей с  нарушениями зрения, является необходимость найти и применить  все возможные педагогические методы и приёмы для оказания психолого – педагогической помощи детям с нарушением зрения.

Такой помощью может явиться  организация педагогических коррекционных занятий, на которых можно уделить внимание решению различных занимательных задач. С их помощью педагог может:

 постараться увлечь детей математикой;

 дополнить обязательную учебную работу;

 способствовать более глубокому усвоению учащимися материала, предусмотренного программой.

Многие учащиеся, имеющие нарушения зрения, считают математику скучным, сухим предметом. На коррекционных занятиях можно постараться повысить интерес  детей к математике.  Наряду с учащимися, индифферентным к урокам математики, в любом классе имеются и другие дети, увлекающиеся этим предметом. Поэтому  с помощью коррекционных занятий  у таких детей можно закрепить и развить  интерес к математике.

Внеклассная работа приносит большую пользу и самому учителю. Есть старая латинская пословица: «Уча других, мы учимся сами». Поэтому учителю для подготовки к внеклассным занятиям приходится работать с дополнительным методическим  материалом и  литературой. Таким образом, педагог имеет возможность освежить, расширить и углубить свои методические познания, в результате чего он  повышает  качество своей педагогической работы.

Тема моей методической работы  в 2012 – 2013 учебном году решение математических задач  при помощи «принципа Дирихле».

  Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859) – известный немецкий математик, в честь которого назван этот принцип. Он применял этот принцип по отношению к доказательству арифметических утверждений.

Применяя на дополнительных занятиях решение задач с помощью принципа Дирихле, педагог ставит перед собой следующие цели:

обучение детей общим приёмам решения задач;

развитие навыка и умения логического мышления и правильного построения своих умозаключений;

обучение творческому отношению к решению задачи.

1. ПРИНЦИП ДИРИХЛЕ

1.1. ФОРМУЛИРОВКА ПРИНЦИПА ДИРИХЛЕ

Принцип Дирихле утверждает, что если множество из  элементов разбить на  не пересекающихся частей, не имеющих общих элементов, где  >  то, по крайней мере, в одной части будет более одного элемента [1].

Принцип Дирихле помогает при решении многих логических и комбинаторных задач. Обычно его формулируют так: «если в  клетках сидит  + 1 или больше кроликов, то найдётся клетка, в которой сидят, по крайней мере, два кролика».

Термины «кролики» и «клетки» являются общепринятыми в математике. Действительно, если бы в каждой клетке сидели не более одного кролика, то тогда кроликов было бы не больше, чем клеток. Поэтому есть клетка, где кроликов не менее двух.

Неверно говорить, что есть лишь одна клетка, в которой сидят два кролика – таких клеток может быть и несколько, ведь какие-то клетки могут быть пустыми. Неважно, в какой именно клетке  находятся, по крайней мере, два кролика.

 Также не имеет значения, сколько «кроликов» в этой «клетке», и сколько всего таких «клеток». Важно то, что существует хотя бы одна «клетка» с не менее чем двумя «кроликами» (два или более).

В самой простой и несерьёзной форме принцип Дирихле выглядит так: «Нельзя посадить семь кроликов в три клетки, чтобы в каждой из их было не больше двух кроликов» [7].

Если мы хотим применить принцип Дирихле при решении конкретной задачи, то нам необходимо выяснить, что в ней есть– «клетки», а что – «кролики».

 Бывает нелегко понять, что  здесь «кролики» и «клетки» и почему кроликов больше, чем клеток.

 Выбор «кроликов» и «клеток» часто неочевиден, и далеко не всегда по виду задачи можно определить, что следует воспользоваться именно принципом Дирихле.

 В роли «кроликов» могут выступать различные предметы и математические объекты – числа, отрезки и т.д.

1.2. ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ

Задача 1. В непрозрачном мешке лежат шары двух разных цветов – белые и чёрные. Какое наименьшее количество шаров надо вытащить, не заглядывая в мешок, чтобы среди них наверняка было два шара одного цвета?

Решение. Три шара.

Применение принципа Дирихле: «кроликами» будут взятые шары, а «клетками» – чёрный и белый цвета. Из условия задачи известно, что «клеток» всего две, поэтому, если «кроликов» хотя бы три, то какие-то два из них попадут в одну «клетку», то есть будут два одноцветных шара. С другой стороны, взять всего два шара мало, потому что они могут быть двух разных цветов.

Задача 2. В непрозрачном мешке лежат 10 белых и 5 чёрных шаров. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из мешка не глядя, чтобы среди них было два шара а) белых; б) разных цветов? [2]

Решение. а) 7 шаров. Может случиться так, что вначале мы вытянем 5 чёрных шаров, и лишь затем – два белых;

б) 11 шаров. Вначале можно вытащить шары только одного цвета, а наибольшее количество таких шаров 10 белых, и только потом – один шар другого цвета.

Задача 3. В классе 30 человек. В диктанте Саша Иванов сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере три ученика сделали ошибок поровну (может быть, по 0 ошибок). [12]

Решение. Здесь «кролики» – ученики, «клетки» – число сделанных ошибок.

 В «клетку» 0 посадим всех, кто не сделал ни одной ошибки,

 в «клетку» 1 – тех, у кого одна ошибка,

 в «клетку» 2 – две, …

 и так до «клетки» 13, куда попал один Саша Иванов.

Теперь применим принцип Дирихле. Докажем утверждение задачи от противного. Предположим никакие три ученика не сделали по одинаковому числу ошибок, то есть в каждую «клеток» 0, 1, …. 12 попало меньше трёх школьников.

 Тогда в каждой из них два человека или меньше, а всего в этих 13 «клетках» не больше 26 человек.

 Добавив Сашу Иванова, не наберём 30 ребят. Получаем противоречие.

А, можно ли утверждать, что ровно трое сделали поровну ошибок? Нет, конечно. Возможно, все ребята, кроме Саши, написали диктант без единой ошибки, то есть все сделали по 0 ошибок. Получаем ответ, что, по крайней мере, три ученика сделали ошибок поровну.

Задача 4. Докажите, что в Вашем классе найдутся два человека, у которых одинаковое количество друзей среди одноклассников. [6]

Решение. Пусть в классе учится  человек, тогда у каждого из одноклассников число друзей равно любому числу от (когда человек не дружит ни с кем) до  (дружит со всеми), причём эти две «крайности» не могут быть реализованы одновременно. Получаем учеников , а количество возможностей . Применяем принцип Дирихле: «кроликами» будут одноклассники, «клетками» – количество возможностей. Поэтому, у двух учеников класса количество друзей одинаково.

Задача 5. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трёх сортов, причём в каждом ящике лежали яблоки одного сорта. Найдутся  ли 9 ящиков одного сорта? [7]

Решение. Возьмём ящики в качестве «кроликов», сорта яблок в качестве «клеток». Таким образом, имеем 25 «кроликов» и 3 «клетки». Получаем: в каждой «клетке» сидит не более 8 «кроликов». Тогда во всех «клетках» сидит не более 24 «кроликов», а «кроликов» -  на 1 больше. Следовательно, в одной «клетке» может быть 9 «кроликов». Ответ: имеется 9 ящиков одного сорта.

Задача 6. В школе 400 учеников. Докажите, что хотя бы двое из них родились в один день года. [4]

Решение. Максимальное количество дней в году бывает 366. Назовём дни «клетками», учеников – «кроликами». Тогда в каждой клетке сидит не меньше

 кроликов, т.е. больше одного. Следовательно, не меньше двух.

Можно рассуждать от противного. Допустим, что каждый день отмечают день рождения не больше 366 человек, а всего 400, следовательно, пришли к противоречию.

Задача 7. В классе 40 учеников. Найдётся ли такой месяц в году. В котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса? [7]

Решение. Пусть «клетками» будут месяцы, а «кроликами» – ученики.

 Распределяем «кроликов» по «клеткам», в зависимости от месяца рождения.

 Так как число месяцев, то есть «клеток», равно 12, а число учеников, то есть «кроликов» .

 Согласно принципу Дирихле существует «клетка» (месяц)  по крайней мере  «кроликами» (учениками).

Задача 8. Доказать, что из 101 числа можно выбрать два, разность которых делится на 100. [11]

Решение. При делении на 100 получается один из 100 остатков: 0, 1, 2, …,99. Нам дано 101 число. По принципу Дирихле остатки от деления на 100 у каких-то двух из них совпадают. Следовательно, их разность делится на 100.

Задача 9. Можно ли увезти из каменоломни пятьдесят камней, веса которых равны 370кг, 372кг, …, 468кг, на семи трёхтонках? [6]

Решение. В соответствие с принципом Дирихле примем машины за «клетки», камни – за «кроликов».

 Получаем 7 «клеток» и 50 «кроликов», следовательно, на одной из машин будет 8 камней. Но поскольку вес любых 8 камней больше трёх тонн, увезти этот груз нельзя.

Задача 10. Задумано трёхзначное число, у которого с любым из чисел 543, 142 и 562 совпадает один из разрядов, а два других не совпадают. Какое число задумано? [6]

Решение. Если первая цифра искомого числа 5, то либо вторая цифра 4, либо третья цифра 2 (так как требуется совпадение разряда со вторым числом). Но это приводит к противоречию, так как совпадение либо с первым, либо с третьим будет в двух разрядах, следовательно, первая цифра – не 5.

Рассуждая аналогично, вторая цифра искомого числа не может быть четвёркой, а третья – двойкой. Остаётся единственная возможность – искомое число равно 163.

Задача 11. В лесу растёт 710 000 ёлочек. На каждой ёлочке не больше 100 000 иголочек. Докажите, что в лесу есть по крайней мере 8 ёлочек с одинаковым числом иголочек.[11]

Решение. Всего на ёлочке может быть от 1 до 100 000 иголочек – имеем 100 000 возможностей.

Предположим противное:

в этом лесу не существует 8 елей с одинаковым числом иголок. Тогда существует не более 7 ёлочек, имеющих по одной иголке, и не более 7 ёлочек, имеющих по две иголки, …, не более 7 ёлочек, имеющих по 100 000 иголочек.

Но тогда всего ёлочек , что меньше 710 000 ёлочек – противоречие.

 Следовательно, имеются, по крайней мере, 8 ёлочек с одинаковым числом иголочек.

Задача 12. Будем считать, что знакомство – «симметричное» отношение между людьми: если Комаров знаком с Жуковым, то и Жуков знаком с Комаровым. Выберем любым способом 5 человек. Докажите, что по крайней мере двое из них имеют одинаковое число знакомых среди выбранных людей. [12]

Решение. Построим 5 «клеток» 0, 1, 2, 3, 4.

 Пусть номер «клетки» равняется числу знакомых у «содержащихся» в ней людей. Возможны два случая: есть человек, никому из остальных не знакомый, или же такого человека нет.

В первом случае в «клетке» 4 никого нет (иначе сидящие в 4 и в 0 «клетках» были бы знакомы между собой).

 Тогда 5 человек размещены по 4 «клеткам».

 Во втором случае они тоже так рассажены (так как «клетка» 0 пуста).

 В соответствие с принципом Дирихле по крайней мере двое находятся в одной «клетке».

Задача 13. На планете Земля океан занимает больше половины площади поверхности. Докажите, что в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки. [6]

Решение. Предположим, что каждой точке мирового океана соответствует диаметрально противоположная точка суши, тогда мировой океан и суша центрально симметричны, а площади их равны, что противоречит условию задачи. Следовательно, в мировом океане можно указать две диаметрально противоположные точки.

Задача 14. Десять человек сидят за круглым столом, причём шестеро из них мужчины. Докажите, что какие-то два мужчины сидят напротив друг друга. [9]

Решение. Будем считать «кроликами» мужчин, а «клетками» –  пары диаметрально противоположных мест за столом.

Тогда «клеток» ровно половина от числа мест за столом, то есть 5, а «кроликов» – 6 (строго больше).

 Тогда есть «клетка», в которой сидит не менее двух «кроликов», то есть пара противоположных мест, за которыми сидят два мужчины, то есть они сидят напротив друг друга. Они и есть искомые.

Задача 15. В ковре размером 3×3 метра Коля проделал 8 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1×1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (Дырки можно считать точечными.) [13]

Решение. Здесь дырки будут «кроликами». Разрежем ковёр на 9 ковриков размерами 1×1 метр. Здесь коврики будут «клетками». Получаем 9 «клеток» и 8 «кроликов».

 Если в  клетках сидят не более  кроликов, то это значит, что есть пустая клетка. Если пустой клетки нет, то в каждой клетке сидит хотя бы 1 кролик. Тогда кроликов не меньше, чем клеток. Следовательно, пустая клетка имеется.

 Поскольку 9>8, то найдётся хотя бы одна «клетка», в которой не будет «кролика», то есть найдётся коврик без дырок внутри.

Задача 16. 30 студентов из пяти курсов придумали 40 задач для олимпиады, причём однокурсники – одинаковое число задач, а студенты разных курсов – разное. Сколько студентов придумали по одной задаче?  Условие: соавторства не было. Каждый студент придумал хотя бы одну задачу. [9]

Решение. Выберем 5 студентов, по одному с каждого курса. Все они придумали разное число задач. Поэтому число предложенных ими задач не меньше 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. Остальные 25 студентов придумали не более задач. Следовательно, каждый из них придумал по одной задаче, и, следовательно, 26 человек придумали по одной задаче.

Задача 17. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся  две точки на расстоянии 1 метр друг от друга, окрашенные в одинаковый цвет. [3]

Решение. Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной в 1 метр. Вершины треугольника будут «кроликами», а цвета – «клетками». Так как число «кроликов» больше числа «клеток», следует, что существуют две вершины одного цвета. Поскольку треугольник – равносторонний, расстояние между вершинами составляет 1 метр.

Эту задачу можно решить другим методом – от противного. Пусть «А» – одна из точек плоскости, и предположим, что все точки плоскости, расположенные на расстоянии 1 метр от «А», окрашены в цвет, отличный от цвета точки «А». Тогда получаем окружность радиуса в 1 метр из точек одинакового цвета. Очевидно, что в этой окружности существует хорда длиной 1 метр. Следовательно, концами хорды будут точки одного цвета, расположенные на расстоянии 1 метр.

Задача 18. В квадрате со стороной 1 метр находится 20 точек. Найдутся ли 3 из них, которые можно накрыть квадратом со стороной  метра? [14]

Решение. Разобьём квадрат на квадратики размером ×, получим 9 квадратиков со стороной  метра. Примем квадратики за «клетки», а точки за «кроликов» Получим 9 «клеток» и 20 «кроликов». По принципу Дирихле, по крайней мере, в одной клетке находится не менее 3 кроликов. Следовательно, можно накрыть три точки квадратом со стороной  метра.

Задача 19. В квадрат со стороной 1 метр бросили 51 точку. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса  метра. [12]

Решение. Разобьём квадрат на 25 равных квадратиков со стороной  метра. Считаем точки «кроликами». Применим принцип Дирихле: имеем 51 «кролик» и 25 «клеток». В одну из «клеток» попадёт не менее трёх «кроликов», то есть в один из квадратиков попадёт не менее трёх точек.

Опишем окружность вокруг квадратика со стороной  метра, в котором лежат три (или больше) из данных точек. Окружность имеет радиус ;  <  метра. Радиус меньше  метра, поэтому этот квадратик можно накрыть кругом  метра.

Задача 20. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими равносторонними треугольниками. [9]

Решение. Меньший равносторонний треугольник, как его не клади, не сможет покрыть 2 вершины большего. В качестве «клеток» возьмём вершины, а  качестве «кроликов» - маленькие треугольники.  В результате мы получим, что «кроликов» меньше, чем «клеток». Поэтому очевидно, что имеется пустая клетка. Это означает, что одну из вершин большого треугольника мы никогда не накроем, а поэтому и не накроем его целиком.

Задача 21. Внутри равностороннего треугольника со стороной равной 1см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5см. [13]

Решение.

Примем 5 точек за «кроликов». Тогда «клеток» должно быть меньше. По условию задачи есть два числа: 1 и 0,5, причём второе число меньше первого в 2 раза. Поэтому разбиваем равносторонний треугольник на четыре правильных треугольника со стороной 0,5 см, проведя средние линии, смотреть рис.1. Получаем 4 маленьких равносторонних треугольника, которые принимаем за «клетки».

«Кроликов» больше, чем «клеток». По принципу Дирихле, из пяти точек хотя бы две окажутся в одном из четырёх маленьких треугольников. Расстояние между этими точками меньше 0,5см, так как эти точки не лежат в вершинах  маленьких треугольников. Следовательно, расстояние между некоторыми двумя точками меньше 0,5см.

Задача 22. Доказать, что если прямая l, расположенная в плоскости треугольника АВС, не проходит ни через одну из его вершин, то она не может пересечь все три стороны треугольника. [10]

Решение.

Полуплоскости, на которые прямая l разбивает плоскость треугольника АВС, обозначим через  и , смотреть рисунок 2. Эти полуплоскости не содержат точек прямой l. Вершины рассматриваемого треугольника, точки А, В, С, будут «кроликами», а полуплоскости  и  – «клетками». Каждый «кролик» попадает в какую-нибудь «клетку» (прямая l не проходит ни через одну из точек А, В, С). Здесь имеется три «кролика», а «клеток» имеется только две. В этом случае  найдутся два «кролика», попавшие в одну «клетку». То есть, найдутся две вершины треугольника АВС, которые принадлежат одной полуплоскости.

Пусть точки А и В находятся в одной полуплоскости, то есть лежат по одну сторону от прямой l. Тогда отрезок АВ не пересекается с l. Получим, что в треугольнике АВС нашлась сторона, которая не пересекается с прямой l.

Задача 23. В круг радиуса 3 произвольным образом помещены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 25. Доказать, что найдётся прямая, которая пересекает не менее девяти из этих кругов. [10]

Решение. Проецируем все круги на произвольный диаметр АВ большого круга, АВ = 6. Сумма длин проекций равна сумме диаметров кругов, то есть 50. Так как 50 > 8АВ, то на отрезке АВ есть точка, принадлежащая этим проекциям по крайней мере девяти кругов. Прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная диаметру АВ, – искомая прямая.

Задача 24. Шахматная доска разрезана на 13 прямоугольников с целым числом клеток. Могут ли они все быть различными? [14]

Решение. Допустим, что все 13 прямоугольников попарно неравны. Минимальная их площадь (1×1, 1×2, …, 1×8, 2×2, 2×3, 2×4, 2×5, 3×3) равна 73. А площадь исходного квадрата 64. Так как 64 < 73, то, следовательно, все прямоугольники не могут быть различными. Поэтому найдутся два равных прямоугольника.

Задача 25. Какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга? [9]

Решение. Шахматная доска может быть разбита на 16 квадратиков 2×2. Если на доске более 16 королей, то, по принципу Дирихле, два из них попадут в такой квадрат, и будут бить друг друга. Поэтому наибольшее количество королей, которое можно расположить на доске - 16.

Задача 26. По ещё не полученным данным, на голове у каждого жителя планеты Казанг VI вместо волос растут антенны в количестве не более 100 тысяч. По последней переписи, на планете проживает не менее 8 миллионов жителей. Доказать, что найдётся 80 обитателей Казанга VI с одинаковым числом антенн на голове. [8]

Решение. Представим, что есть 100 001 клетка (в задаче инопланетяне, поэтому можно считать все клетки космолётами). На каждой из них напишем числа от 0 до 100 000 включительно. Затем рассаживаем инопланетян по клеткам в соответствии с ярлыками. Если у жителя на голове две антенны, то направим его в космолёт № 2, если 500 антенн, то в космолёт № 500 и т.д. Всех лысых, без единой антенны на голове, отправим в нулевую клетку. Теперь надо доказать, что хоть в одном из космолётов сидит не менее 80 жителей. Это действительно так. Так как, если бы в каждой клетке было меньше 80 жителей, то их общее количество не превосходило бы

 , что меньше восьми миллионов.

Задача 27. Покажите, что среди любых шести целых чисел найдутся два, разность которых кратна 5. [5]

Решение. При делении на 5 могут быть остатки только: 0; 1; 2; 3 и 4, т.е. всего 5 остатков. По условию дано шесть чисел, поэтому среди них обязательно найдутся два числа с одинаковыми остатками. Рассмотрим разность двух чисел, у которых одинаковые остатки. Эта разность при делении на 5 будет давать остаток 0, т.е. будет делиться на 5.

Задача 28. Можно ли разложить 44 шарика на 9 кучек, чтобы количество шариков в разных кучках было различным? [5]

Решение. Имеется 9 кучек, в каждой из которых разное количество шариков. Тогда шариков должно быть не меньше , а по условию 44 шарика. Поэтому нельзя разложить 44 шарика на 9 кучек с разным количеством шариков в разных кучках.

Задача 29. Обязательно ли среди двадцати пяти «медных» монет (монеты достоинством 1; 2; 3; 5 копеек) найдётся семь монет одинакового достоинства? [5]

Решение. Да, обязательно. Если бы монет каждого из четырёх типов было не более 6, то всего монет было бы не более , а их 25.

Задача 30. В классе учатся 38 человек. Докажите, что среди них найдутся четверо, родившихся в один месяц? [5]

Решение. Если бы в каждом месяце родилось не более трёх учеников этого класса, то в классе не могло бы учиться больше, чем  учеников, а по условию учеников 38, т.е. по условию учеников больше, чем 36.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Принцип Дирихле применяется и в арифметике, и в алгебре, в комбинаторике, и в геометрии.

 На внеклассных коррекционных занятиях весь материал раскрывается через задачи. Перед учащимися последовательно одна за другой ставятся посильные задачи, решение которых даёт им новые сознательные знания.

Обучение математике через задачи обеспечивает развитие самостоятельности и творческой активности учащихся. Способствует приобретению прочных и осознанных знаний, развивает умение сравнивать, обобщать, делать творческие выводы, стимулирует развитие интереса к математике.

Внеклассная  коррекционная работа позволяет поддерживать возникший интерес к дополнительным занятиям математикой и желание заниматься математическим самообучением.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1989.

2. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.:Просвещение, 2000.

3. С.А.Дориченко, И.В.Ященко. LVII Московская математическая олимпиада: сборник подготовительных задач. М.: Детский клуб «Компьютер», ДО «Глаголь», 1994.

4. А.Я.Канель-Белов, А.К.Ковальджи. Как решают нестандартные задачи. 60-я Московская математическая олимпиада. Подготовительный сборник. М.: МЦНМО, 1997.

5. Е.Г.Козлова. Сказки и подсказки (задачи для математического кружка). М.: МЦНМО,, 2013.

6. Ф.А.Пчелинцев, П.В.Чулков. Математика. 5 – 6 класс. Уроки математического мышления с решениями и ответами. М.: Издат – школа, 2000.

7. А.В.Спивак. Математический праздник. М.: МЦНМО, 1995.

8. В.А.Уфрановский. Математический аквариум. М.: МЦНМО, 2011.

9. А.В.Спивак. Математический праздник. Часть III. – М.: Бюро Квантум,2001. – (Приложение к журналу «Квант» №4 / 2001).

10. Принцип Дирихле / А.А.Андреев, Г.Н.Горелов, А.И.Люлев, А.И.Савин. – Самара: Пифагор, 1997.

11. Ф.Бартенев. Наблюдения в математике. // «Квант» для младших школьников: Математика 6 – 8, 1998, №3.

12. А.И.Орлов. «Клетки» и «зайцы». // Журнал «Квант», 1971, №7.

13. А.В.Фарков. Математические кружки в школе. 5 – 8 классы. М.: Айрис – пресс, 2006.

14. Ю.Ф.Фоминых. Принцип Дирихле. // Журнал «Математика в школе», 1996, №3.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………2

1. Принцип Дирихле……………………………………………………….4

    1.1. Формулировка принципа Дирихле…………...…………................4

     1.2. Задачи и их решения.........................................................................5

Заключение..................................................................................................14

Список литературы.....................................................................................15