Открытый урок по алгебре в 8 классе на тему «Решение задач с помощью квадратных уравнений».
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Открытый урок по  алгебре в 8 классе

на тему «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Цель урока:

- научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений;

- закреплять навыки решения квадратных уравнений;

- развивать логическое мышление учащихся.

Задачи урока: Научить составлять уравнение по условию задачи, определять тип текстовой задачи, знать особенности алгоритма её решения.

Тип урока: Урок «Открытия нового знания»

Формы работы учащихся на уроке: Фронтальная, индивидуальная, парная.

Описание необходимого технического оборудования для проведения урока: Компьютер учителя, карточки с заданиями.

Ход урока:

1.Организационный момент

Приветствие, проверка готовности учеников к уроку.

Мы сегодня будем заниматься решением задач, а вот какие задачи мы сегодня будем учиться решать, попытаемся сейчас выяснить.

В начале урока ученики устно отвечают на вопросы учителя:

- Вспомним, что мы изучили на предыдущих уроках алгебры? Какую тему? Чему научились?

(Ответы: Квадратные уравнения, научились их решать)

- Зачем нам нужно уметь решать уравнения? В чем нам эти знания могут пригодиться?

(Ответ: при решении задач)

- Как вы думаете, какой же будет тема сегодняшнего урока?

(Ответ: «Решение задач с помощью квадратных уравнений»).

Запишите сегодняшнее число и тему урока в тетради!

И так, тема нашего урока «Решение задач с помощью квадратных уравнений». Всякая хорошо решенная математическая задача доставляет умственное наслаждение. Эти слова Г. Гессе станут эпиграфом нашего урока. Надеюсь, что вы действительно получите удовольствие от результатов вашего труда на уроке.

2.Актуализация опорных знаний. Устная работа.

Сначала проверим, как вы усвоили пройденный материал.

Фронтальный опрос.

Вопросы задает учитель:

- Дать определение «Квадратного уравнения». Название его коэффициентов. Привести пример.

- Как решать квадратные уравнения? (по формуле корней квадратного уравнения)

- Что такое «Дискриминант» квадратного уравнения?

- Как он обозначается? Что означает это слово в переводе с латыни? (Д, «различитель»)

- Что же он различает? (Количество корней квадратного уравнения).

- Сформулируйте правило определения количества корней в квадратных уравнениях.

(Д>0, Д=0, Д<0).

- Напишите формулу корней квадратного уравнения! (На доске) (формула I)

- Напишите частный случай общей формулы. (формула II)

- Сделайте вывод: чем хороша каждая из этих формул?

Итак, мы повторили, как можно решить квадратное уравнение.

Сейчас я хотела бы проверить, как вы усвоили эти формулы и определения.

Ученики получают карточки с заданиями. Заполняют пропущенные слова в карточках.

1.Вариант

1.Уравнение вида , где a, b, c - заданные числа, a   x - переменная,

называется...

2. Полное квадратное уравнение не имеет корней, если D ...

3. Уравнение вида называется...

4. Квадратное уравнение имеет два корня, если...

5. Дано уравнение . D =...

2.Вариант

1. Если квадратное уравнение, то a... коэффициент, с...

2. Уравнение x² = a, где a < 0, не имеет...

3. Полное квадратное уравнение имеет единственный корень, если ...

4. Уравнение вида ax² + c = 0, где a 0, c 0, называют ... квадратным уравнением.

5. Дано уравнение x²- 6x + 8 = 0. D =...

Проводится взаимопроверка. Ответы показываем через интерактивную доску.

Важно отметить наиболее активных и успешно справившихся с заданием учеников.

3.Изучение нового материала.

Ребята! У меня возникла проблема. Я надеюсь, вы мне поможете. Мне необходимо обнести изгородью огородный участок, он имеет прямоугольную форму. Одна из сторон на 5 метров больше другой, площадь всего участка 750 . Сколько необходимо мне закупить материала? Возможно ли, решить задачу с помощью квадратного уравнения?

Решение задачи:

Пусть ширина участка будет х. Чаще всего удобнее брать за х меньшую из неизвестных величин. Тогда длина участка составит (х+5) метров. Знаем, что площадь всего участка 750. Получаем уравнение:

х(х+5)=750,

Раскроем скобки.

 x²  + 5х=750,

Найдем дискриминант этого уравнения и его корни.

a=1, b=5, c=-750

D=25+3000=3025,

х1 =  - 30,  х2 =  25.

Корень уравнения равный -30 –является посторонним по смыслу задачи, значит ширина участка будет равна 25 метров. Следовательно 25+5=30 м –длина участка, а длина всей изгороди, т.е. периметр участка, будет равен Р=2×(25+30)=110 метров. Следовательно, мне необходимо купить 110 метров для обнесения огородного участка изгородью.

Ответ: 110 м.

С чего же нужно начинать решать задачи? Отвечают дети с помощью учителя.

1.Выбрать неизвестное.

2.Затем составить уравнение.

3.Решить его.

4. Сделать вывод о корнях.

5. Выполнить дополнительные действия.

Многие задачи в математике, физике, технике решаются с помощью квадратных уравнений.

Разбор (по учебнику) задачи №1 и №2 стр.130-131.

Задача 1. Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 4 см меньше другого, а гипотенуза равна 20 см.

Решение: Пусть меньший катет равен х см, тогда больший катет равен (х+4) см. По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, т.е.

х2+(х+4)2=202.

Упростим это уравнение:

х2+х2+8х+16=400,

2х2+8х-384=0,

х2+4х-192=0.

Решив полученное квадратное уравнение, найдем, что

х1=-16, х2 = 12.

По смыслу задачи значение х должно быть положительным числом. Этому условию удовлетворяет только второй корень, т.е. число 12 – меньший катет. Тогда больший катет будет 16 см.

Ответ: 12 см, 16 см.

Задача 2 (связана с физикой). Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 40м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60м?

Решение: из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенное вертикально вверх тело окажется через t(с), может быть найдена по формуле

h=V0t-gt2/2, где V0(м/с) – начальная скорость, g – ускорение свободного падения, приближенно равно 10 м/с2. Подставив значения h и V0 в формулу, получим

60=40t-5t2.

Отсюда 5t2-40t+60=0,

t2-8t+12=0. Решив полученное уравнение, найдем, что t1 = 2 , t2 = 6.

На экране дан график зависимости h от t, где h= 40t-5t2. Из графика видно, что тело, брошенное вертикально вверх, в течение первых 4 с поднимается вверх до высоты 80м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после броска. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.

Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.

4.Закрепление пройденного материала
1.Задача № 559

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

Решение: Пусть меньшее число х, тогда большее х+6. По условию произведение этих чисел равно 187.

Получаем уравнение:

х(х+6)=187,

х2+6х=187,

х2+6х-187=0,

D=36+748=784,

х1= -17, , х2 = 11.

Корень х1= -17  не подходит, поскольку не натуральное число. х2 =  11 – это наименьшее число,   тогда х+6=11+6=17 – наибольшее число.

Ответ: 11 и 17.

2. Составить уравнения к задачам, при этом корни уравнения находить не надо.

1.Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 210.

2.Площадь прямоугольника, одна из сторон которого на 3 см больше другой, равна 54 см². Найти стороны и периметр прямоугольника.

3.Периметр прямоугольника равен 34 см, а его диагональ 13 см. Найти стороны прямоугольника.

Ответы:

1.х(х + 1) = 210; х2 + х ─ 210 = 0

2.х(х + 3) = 54; х2 +3х ─ 54 = 0

3.х2 + (17 ─ х)2 = 169; 2х2 ─ 34х + 120 = 0

5.Задание на дом.

Пункт 23, № 560, № 562, на повторение № 576(а).

6.Подведение итогов.

Отметить работу каждого ученика; ещё раз повторить алгоритм решения задач с помощью квадратных уравнений.

Спасибо за урок!