Неравенства
статья по алгебре (8 класс)

 «Доказательство неравенств. Неравенство Коши»

    «…основные результаты математики чаще выражаются не равенствами, а неравенствами».  

Э. Беккенбах

Решением неравенств мы занимаемся на протяжении всего школьного курса. Неравенства  можно решать графическим и аналитическим способом.  Чтобы решить любое неравенство существует определенный алгоритм действий, поэтому данная задача является, скорее механическим действием, который не требует творческого подхода.

Напротив, доказательство неравенств требует неформального, вариативного подхода. Поэтому доказательство неравенств является наиболее интересным.

 Однако, в школьном курсе математики доказательству неравенств уделяется очень мало внимания. Доказательство неравенств сводится к одному приему- оценке разности частей неравенства. Между тем, на математических олимпиадах часто встречаются задачи на доказательство неравенств с применением других способов и приемов (использование опорных неравенств, метод оценивания). На олимпиадах для школьников по математике также часто предлагаются неравенства, доказательство которых лучше выявляет способности и возможности учащихся, степень их интеллектуального развития. Кроме того, многие задачи повышенной сложности (из различных разделов математики) эффективно решаются с помощью неравенств.

 Актуальность темы «Доказательство неравенств» бесспорна, так как неравенства играют фундаментальную роль в большинстве разделов современной математики, без них не может обойтись ни физика, ни астрономия, ни химия. Теория вероятности, математическая статистика, финансовая математика, экономика – все эти взаимосвязанные и обобщающие друг друга науки и в формулировках основных своих законов, и в методах их получения, и в приложениях, постоянно используют неравенства.

Доказательства неравенств помогают  развить навык осмысления и применения приемов доказательства неравенств; умение применять их  при выполнении различных задач; умение анализировать, обобщать и делать выводы; логически излагать мысли; творчески относится к делу.

Понятия «больше» и «меньше» наряду с понятием «равенство»  возникли в связи со счетом предметов и необходимостью сравнивать различные величины. Понятиями неравенства пользовались еще древние греки. Архимед (III в. до н. э.), занимаясь вычислением длины окружности, установил, что «периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых». Иначе говоря, Архимед указал границы числа π.

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства

Одним из  «базовых» неравенств является неравенство Коши, указывающее на соотношение двух средних величин – среднего арифметического и среднего геометрического.  Среднее арифметическое изучается в школьном курсе пятого класса и выглядит таким образом Среднее геометрическое впервые появляется в курсе геометрии восьмого класса -. В прямоугольном треугольнике таким свойством обладают три отрезка: два катета и перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу.

Между этими двумя этими величинами существует удивительное соотношение, которое исследовали ученые. О. Коши, французский математик, пришел к выводу о том, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел всегда не меньше среднего геометрического этих чисел.

 
Наряду с неравенством Коши  полезно знать следствия из него:

Равенство достигается при a = b.

Неравенства верны, если выполняются условия a > 0, b > 0.                                                                              

Алгебраическое доказательство этого не равенства довольно простое:

(а – в)² ≥ 0;

Применим формулу «квадрат разности»:

а² - 2ав + в² ≥0;

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав:

а² + 2ав + в² ≥4ав;

Применим формулу «квадрат суммы»:

(а + в)² ≥4ав;

Разделим обе части неравенства на 4:

;

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

7

        ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕРАВЕНСТВ

Метод синтеза.

   Это метод, основанный на получении (синтезировании) неравенства (которое требуется обосновать) из опорных (базисных) неравенств и методов их установления.

   Решим задачу, используя метод синтеза

Задача 1.        Докажите, что для любых неотрицательных a, b, c справедливо неравенство

        .

Решение.        Запишем три неравенства, устанавливающие зависимость между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел

        ;          ;

        Перемножим почленно полученные неравенства, так как их левая и правая части неотрицательны

Задача 2.         Применим неравенство Коши к доказательству этого неравенства:

.

  Метод использования тождеств.

   Суть метода состоит в том, что данное неравенство путём равносильных преобразований приводится к очевидному тождеству.

   Рассмотрим решение задачи этим методом.

Задача.        Докажите, что для любых действительных чисел a и b справедливо неравенство .

Решение.        Выделим в левой части неравенства полный квадрат

        .

        При любых действительных a и b это выражение неотрицательно, значит и данное неравенство выполнимо, то есть .

Применяемые для доказательства неравенств идеи почти столь же разнообразны, как и сами неравенства. В конкретных ситуациях общие методы часто приводят к некрасивым решениям. Но неочевидное комбинирование нескольких «базовых» неравенств удается лишь немногим. И, кроме того, ничто не мешает нам в каждом конкретном случае поискать более удобное, лучшее решение, нежели полученное общим методом. По этой причине доказательства неравенств нередко относят к области искусства