Тригонометрия уравнения и неравенства
презентация к уроку по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Тригонометрические уравнения и неравенства Тригонометрия Учитель Дидарова Марина Борисовна

Слайд 2

Повторим значения синуса косинуса у π /2 90° 120° 2 π /3 1 π /3 60° 135° 3 π /4 π /4 45° 150° 5 π /6 1/2 π /6 30° 180° π -1 0 1 0 0° x - - - 1/2 ½ 2 π 360 (cost) 210° 7 π /6 - 1/2 11 π /6 330° [- π /6] - 225° 5 π /4 - 7 π /4 315° [- π /4] 240° 4 π /3 -1 5 π /3 300° [- π /3] 270° 3 π /2 [- π /2] ( sint )

Слайд 3

Арксинус Примеры: у х π/2 - π/2 -1 1 а arcsin а = t - а arcsin ( - а )= - arcsin а arcsin ( - а ) Арксинусом числа а называется такое число (угол) t из [- π/2 ; π/2 ] , что sin t = а . Причём, | а |≤ 1 .

Слайд 4

Арккосинус у х π/2 0 π 1 -1 -а а arccos а = t arccos ( - а ) Арккосинусом числа а называется такое число (угол) t из [0; π ], что cos t = а . Причём, | а |≤ 1 . arccos ( - а ) = π - arccos а Примеры: 1) arccos (-1) = π 2) arccos

Слайд 5

При каких значениях х имеет смысл выражение: 1. arcsin (2x+1) 2.arccos(5-2x) 3.arccos(x²-1) 4.arcsin(4x²-3x) 1) -1≤ 2х-1 ≤1 -2≤ 2х ≤0 -1≤ х ≤0 Ответ: [-1;0] 2) -1≤ 5-2х ≤1 -6≤ -2х ≤ -4 2≤ х ≤3 Ответ: [2;3] -1≤ х²-1 ≤ 1 0 ≤ х ² ≤2 Ответ: -1≤4х²-3х≤1 4х²-3х ≥ -1 4х²-3х ≤ 1 4х²-3х-1 ≤ 0 Ответ:

Слайд 6

Повторим значения тангенса и котангенса Линия тангенсов tg t Є R , но t ‡ + π k , k Є Z у π /2 2 π /3 π /3 1 5 π /6 π /4 π /6 ctg t Є R, но t ‡ 0 + π k , k Є Z 0 х Линия котангенсов у 4 π /3 - π /2 π 0 х

Слайд 7

Арктангенс у π/2 - π/2 х 0 а arctg а = t Арктангенсом числа а называется такое число (угол) t из (- π/2;π/2 ), что tg t = а . Причём, а Є R . arctg ( - а ) = - arctg а - а arctg ( - а ) Примеры: 1) arctg√3/3 = π/6 2) arctg (-1) = - π/4

Слайд 8

Арккотангенс у х 0 π а arcctg а = t Арккотангенсом числа а называется такое число (угол) t из (0; π ), что c tg t = а . Причём, а Є R . arcctg ( - а ) = π – arcctg а - а arcctg ( - а ) 1) arcctg (-1) = Примеры: 3 π/4 2) arcctg√3 = π/6

Слайд 9

Формулы корней простых тригонометрических уравнений 1 .cost = а , где | а| ≤ 1 или Частные случаи 1) cost=0 t = π/2+π k‚ k Є Z 2) cost=1 t = 0+2 π k‚ k Є Z 3) cost = -1 t = π+2π k‚ k Є Z 2.sint = а , где | а |≤ 1 или Частные случаи 1) sint =0 t = 0+ π k‚ k Є Z 2) sint =1 t = π/2+2π k‚ k Є Z 3) sint = - 1 t = - π/2+2π k‚ k Є Z 3. tgt = а, а Є R t = arctg а + π k‚ k Є Z 4. ctgt = а, а Є R t = arcctg а + π k‚ k Є Z

Слайд 10

Примеры: 1) cost= - ½; 2) sint = 0; 3) tgt = 1; 4) ctgt = - t= ± arccos (-1/2)+2 π k, k Є Z t= ±2 π /3+2 π k, k Є Z Частный случай: t = 0+ π k, k Є Z t = arctg1+ π k, k Є Z t = π /4+ π k, k Є Z. t = arcctg ( )+ π k, k Є Z t = 5 π /6+ π k, k Є Z.

Слайд 11

Решение простейших уравнений tg2x = -1 2x = arctg (-1) + π k, k Є Z 2x = - π /4 + π k, k Є Z x = - π /8 + π k/2, k Є Z Ответ: - π /8 + π k/2, k Є Z . 2) cos (x+ π /3) = ½ x+ π /3 = ±arccos1/2 + 2 π k, k Є Z x+ π /3 = ± π /3 + 2 π k, k Є Z x = - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z Ответ: - π /3 ± π /3 + 2 π k, k Є Z 3) sin( π – x/3) = 0 упростим по формулам приведения sin ( x/3 ) = 0 частный случай x/3 = π k, k Є Z x = 3 π k, k Є Z. Ответ: 3 π k, k Є Z.

Слайд 12

Другие тригонометрические уравнения 1.Сводимые к квадратным a∙sin²x + b∙sinx + c=0 Пусть sinx = p, где |p| ≤1 , тогда a∙p² + b∙p + c = 0 Найти корни, вернуться к замене и решить простые уравнения. 2. Однородные 1)Первой степени: a∙sinx + b∙cosx = 0 Т.к. sinx и cosx одновременно не равны нулю, то разделим обе части уравнения на cosx . Получим: простое уравнение a∙tgx + b = 0 или tgx = m 2)Второй степени: a∙sin²x + b∙sinx∙cosx + c∙cos²x = 0 Разделим обе части на cos²x . Получим квадратное уравнение: a∙tg²x + b∙tgx + c = 0 .

Слайд 13

Простые тригонометрические неравенства 1) cost > а y x а arccos а - arccos а Ответ: (- arccos а +2 π k; arccos а + 2 π k), k Є Z 2) sint < а y x а arcsin а -( π + arcsin а ) Ответ: (-( π + arcsin а )+2 π k; arcsin а +2 π k), k Є Z 3) tgt > - а y x - а - arctg а π/2 Ответ: (- arctg а + π k; π/2 + π k), k Є Z 4) ctgt > а y x а 0 arcctg а Ответ: (0+ π k; arcctg а + π k), k Є Z.