Тригонометрические формулы
методическая разработка по алгебре (10 класс)

Конспект урока алгебры в 10 классе

Учитель: Оводова Е.Г.

ГБОУ школа № 404 Санкт-Петербурга

Тема: Тригонометрические формулы.

Тип урока: систематизация и обобщение изученного материала.

Цель урока: обобщить и систематизировать знания и умения по теме, совершенствовать навыки преобразований, нахождения значений тригонометрических выражений, доказательства тождеств, выявить наиболее слабо понятые вопросы данной темы для их дальнейшей коррекции.

Образовательные задачи урока: 

1. Продолжить работу по формированию у учащихся умения и навыков преобразований, нахождения значений тригонометрических выражений, доказательства тождеств.
2. Проверить знание тригонометрических формул, изученных по данной теме.
3. Проверить умение учащихся находить значения выражений по теме, находить значения тригонометрических функций по данным условиям.

Развивающие задачи урока:

1. Развитие умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с применением тригонометрических формул.
2. Развития устойчивого интереса к математике, мыслительных и творческих способностей, а также творческой активности;
3. Развитие  логического, математического мышления учащихся.
4. Расширение кругозора учащихся.

Воспитательные задачи урока: 

1. Воспитывать чувство ответственности в связи с преодолением трудностей в процессе умственной деятельности, формировать навыки самооценки.
2. Содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся.

Оборудование:

• Для учителя – презентация к уроку «Тригонометрический турнир. Из истории тригонометрии», мультимедийное оборудование, карточки – задания, итоговый протокол турнира, материалы для работы жюри.
• Для учащихся - подготовленные учителем задания,  карточки, индивидуальный набор заданий по вариантам, ручка, карандаш, учебник, справочные материалы, сигнальные карточки для проведения разминки.

Ход урока.

На уроке, учащиеся объединяются в четыре группы по пять человек в группе. Решая задания внутри группы, можно помогать друг другу. Команда, набравшая наибольшее количество очков, получает отметку «отлично» дополнительно к отметке за индивидуальную работу. Проверку выполненных письменных заданий осуществляет жюри, составленное из числа наиболее подготовленных учащихся класса.  

1.Организационный момент. Приветствие учителя.

2.Постановка цели, мотивация.

- Сегодня на уроке мы проведем обобщение и систематизацию знаний по теме «Тригонометрические формулы». Правильно выбранная формула часто позволяет существенно упростить решение, поэтому весь изученный материал данной темы стоит держать в зоне своего внимания. Знания, умения, навыки полученные в процессе работы гарантируют успешное выполнение соответствующих заданий ЕГЭ. Наш урок пройдет в форме турнира. Желаю всем командам удачи!

3. Подготовка учащихся к активному сознательному усвоению знаний.

а) Тур 1. Введение в тему урока. Заполнить таблицу слева и, пользуясь ключом справа, расшифровать пословицу. Углы, данные в градусах, необходимо перевести в  радианы и наоборот. Учащимся предлагается объяснить смысл пословицы.

Ответ: Знанием добудешь тысячи мечей, но мечом знания добыть не сможешь.

б) Тур 2. Разминка. Вопросы задаются по очереди каждой команде. Если ответ неправильный, может ответить другая команда. Количество баллов – количество верных ответов.

- Какой угол называется углом в 1 радиан?

- Сформулируйте определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

- В какой четверти каждая из функций положительна, в какой отрицательна? (каждой команде по одной функции)

- В какой четверти лежит угол , выполняется условие <0? >0?

- Определите значение функции сos 1500.

- Вычислите значение sin 7.

- Определите знак значения функции .

- Может ли быть верным равенство ?

- Какие значения может принимать ?

- -Сформулируйте определение тождества.

- Какие способы доказательства тождеств вы знаете?

- Если , то можно утверждать, что =3, а =5?

- Что больше  или ?

4. Систематизация и обобщение изученного материала.

а) Тур 3. Соревнование команд «Кто больше знает формул тригонометрии?».

За каждую правильно записанную формулу команде присуждается балл.

Дополнительные 5 баллов начисляются команде, которая проведет доказательство одной из представленных формул.

б) Тур 4. Индивидуальное задание. Каждая команда получает задания четырех вариантов.  Выбор варианта осуществляют учащиеся самостоятельно. Правильность выполненных заданий проверяет жюри турнира.

в) Тур 5. Команда получает конверт с набором заданий «Упрощение выражений». Каждый ученик берет одно задание, выполняет, обсуждает с членами команды решение. По сигналу команда сдает на проверку конверт. Количество баллов – количество верно выполненных заданий.

Задание: упростите выражение.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) .

в) Тур 6. Конкурс капитанов. Доказать тождество.

.

г) Тур 7. Сообщение учащихся из истории тригонометрии. Команды представляют подготовленные заранее сообщения.

Краткая историческая справка

Первые тригонометрические таблицы («Таблицы хорд») были составлены древнегреческим астрономом Гиппархом во 2 веке до н. э. Таблицы синусов были составлены в 4 веке индийским учёным Ариабхата.

Тригонометрия как отдельный предмет впервые рассматривается в труде азербайджанского математика и астронома Насиреддина Туей (1201–1274гг.) «Трактат о полном четырёхстороннике». В Европе это сделал немецкий учёный Иоганн Мюллер (Региомонтан) (1436–1476гг.) в сочинении «О треугольниках всех видов».

Понятие «синус» ввели индийские учёные, рассматривая половину хорды. Индийское название синуса «ардхаджива» означало «половина тетивы лука». В арабском переводе слово было искажено в «джайб» (углубление, излучина, пазуха) и переведено на латинский язык как синус.

Термин «тангенс» (по-латински – «касательная») был введён Региомонтаном. Названия «косинус» и «котангенс» введены Гунтером (1581–1626гг.).

Зарождение тригонометрии связано с именами александрийских астрономов и в первую очередь с именем Клавдия Птолемея. Основным понятием в тригонометрии Птолемея была хорда. Слово «хорда» (в современном понимании) происходит от греческого «хорде», что значит «кишка», «струна». В V в. работы греческих астрономов и математиков попали в Индию. Слово «хорда» было переведено на научный язык индийцев санскрит, как джива – «тетива лука».

Позже индийские математики и астрономы вместо хорды стали рассматривать ее половину, фактически линию синуса, и назвали ее ардхаджива («половина тетивы»), затем для краткости - снова джива.

В VIII в. в переводах индийских работ на арабский язык слово «джива» было переведено как джайб. А слово это означало «пазуху», «впадину». В XII в. арабские математические книги стали переводить на латинский язык, и «джайб» («впадина») было переведено словом синус. Слово же «джива» в смысле хорды было переведено арабами словом ватар, которое означало не только тетиву, но и струну и было переведено на латинский словом хорда.

Современные названия других тригонометрических функций появились в XV-XVII вв. Термины тангенс (лат. – «касательная») и секанс ввел датский математик Финке в 1583 г. в книге «Геометрия круглого». Термины косинус и котангенс были введены английским ученым Гюнтером в 1620 г. (Приставка «ко» означает «дополнение» (лат.)

Современные обозначения для синуса и косинуса были введены в 1739 году И. Бернулли в письме к Л. Эйлеру. Для остальных тригонометрических функций обозначения ввёл Л. Эйлер.

5.Подведение итогов турнира. Выставление отметок.        

6. Домашнее задание.  Тренажер «Преобразование тригонометрических выражений».

(Приложение 1).

7. Подведение итогов урока.

 - Благодарю вас за труд, терпение, старание и надеюсь, что урок был для вас, ребята, интересным соревнованием математических знаний и умений. Не забывайте закреплять полученные знания и умения. «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!» Д. Пойа

Приложение 1

Тренажер «Преобразование тригонометрических выражений»

1.Упростить выражения:

а) 1 – cos2                                                    б)  sin2 - 1

в) cos2  + ( 1 – sin2)                                 г)  sin2 + 2 cos2 - 1

д) ( 1 - sin)(1 + sin)                                 е)  (cos- 1)( cos+1)

ё) 1 - sin2 - cos2                                       ж)  cos2  - (1 - 2 sin2 )  

з) sincostq                                            и)   sincosctq  - 1

к) sin2 +  cos2 +tq2                               л)  tqctq+ ctq2 

м)                                            н)  

2.Докажите, что при всех допустимых значениях  значение выражения не зависит от :

а)                                           б)

в)                                     г)

д) (sin+cos)2 – 2sincos                     е) sin4+ cos4+2sin2cos2

ё)                                       ж)

     3. Докажите тождество:

            а) (sin+sin)(sin- sin) – (cos+cos)( cos- cos) = 0

            б) ctq2 - cos2 = ctq2 cos2

            в) = sin2cos2                 г) +2sincos= 1

            д) = cos- sin                 е) (1+tq)2 + (1 - tq)2 =

            ё) = 2tq                     ж) = tqtq