Тригонометрические формулы
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

ЕРЕМЕЕВА МАРИНА ЛЕОНИДОВНА

Учитель математики МБОУ «Гимназия №4» ЕМР

ТЕМА: «СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ УГЛОВ. СИНУС И КОСИНУС ДВОЙНОГО УГЛА»

Учебные задачи: формирование умений применять формулы сложения и формулы двойного угла в вычислениях и тождественных преобразованиях выражений и при решении уравнений.

Ход урока:

Часто при преобразовании тригонометрических выражений и решении уравнений применяются формулы, выражающие тригонометрические функции суммы и разности двух углов через тригонометрические функции этих углов.

cos(–β)= cos α  cos β + sin α sin β (1) – формула косинуса разности.

cos(+β)= cos α  cos β – sin α sin β (2) – формула косинуса суммы.

sin(+β)= sin α cos β + cos α sin β (3) – формула синуса суммы.

sin(–β)= sin α cos β – cos α sin β (4) – формула синуса разности.

Формулы (1)-(4) – формулы сложения для косинуса и синуса.

 (5) – формула тангенса суммы.

 (6) – формула тангенса разности.

Формулы сложения позволяют получить формулы двойного угла.

Положим β = α, получим тождества:

sin 2 α= 2 sin α cos α  (7)

cos 2 α=  sin2 α – cos2 α (8)

 (9)

Рассмотрим примеры их использования при выполнении заданий ЕГЭ части В.

Пример 1) Упростить выражение

sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α).

Решение. По формуле (3) получим

sin 3α cos 2α+ cos 3α sin 2α– cos (2π–α) = sin 5α – cos α.

Ответ. sin 5α – cos α.

Пример 2) Упростить выражение

4sin2 α +5 –4 cos2 α.

Решение.

4sin2 α +5 –4 cos2 α=4sin2 α–4 cos2 α+5=4(sin2 α– cos2 α) + 5= 4 cos2 α +5. Применили формулу (8).

Ответ. 4 cos2 α +5.

Пример 3) Найти значение выражения 

(sin2 х – cos2 х), если  .

Решение.

( sin2 х – cos2 х)= – cos 2 α.

Найдем cos 2 α.

cos 2 α=–= –.

Значит,

( sin2 х – cos2 х)= –·=2.

Ответ. 2.

Пример 4) Решить  уравнение sin2 х —sin 2х = 0.

После замены sin 2х на 2 sin х cos х по формуле (7) уравнение приводится к виду

sin2 х –2 sin х cos х = 0.

Разложим левую часть на множители

sin х (sin х – 2 cos х) = 0,

откуда

sin x=0, т. е. х=πn, nZ,

или

sin х –2 cos х = 0,

откуда

tg х=2 и x = arctg 2 +πk, kZ.

Можно было разделить обе части уравнения на cos2 х и получить уравнение

tg2x-2tgx = 0.

Если же делить на sin2 х, то нужно учесть, что те х, при которых sin х = 0,– также решения данного уравнения. Поэтому к корням полученного после деления на sin2 х уравнения ctg х–=0 надо добавить корни уравнения sinx = 0.

Ответ. πn, nZ, arctg 2 +πk, kZ.

Пример 5. Найти произведение целых значений функции

.

Запишем функцию в виде

.

Т.к. выполняется равенство , то применим метод вспомогательного аргумента. Положим sin φ= ,  cos φ= . Тогда

= 3+ sin φ cos x– cos φ sin x= 3+ sin(φ–x).

Имеем,

.

Найдем произведение целых чисел из промежутка [2;4].

Получаем 2·3·4=24.

Ответ. 24.

Перед выполнением самостоятельных заданий и тестов, повторите пройденный материал с помощью http://www.openclass.ru/node/25459, http://www.openclass.ru/dig-resource/44994

Литература.

1. Лаппо, Л.Д. ЕГЭ. Тематические тренировочные задания. Уровень А, В, С/ Л.Д. Лаппо, М.А. Попов.– М.: Издательство «Экзамен», 2008. –93 с.
2. Подготовка к ЕГЭ – 2009. Вступительные испытания / Под ред. Ф.Ф. Лысенко. – Ростов-на-Дону: Легион, 2008. – 400 с.
3. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А. Теляковского. – 11-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 270 с.
4. Кочагин В.В. ЕГЭ – 2009. Математика: сборник заданий/ В.В. Кочагин, М.Н. Кочагина – М.: Эксмо, 2008.– 208 с.
5. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2009: Математика / авт.-сост. В.И. Ишина, В.В. Кочагин, Л.О. Денищева и др. – М.: АСТ: Астрель, 2009.– 124 с. – (ФИПИ)
6. Сергеев, И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С / И.Н. Сергеев. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Издательство «Экзамен», 2009. –318 с.
7. Самые новые реальные задания: ЕГЭ – 2009: Математика / авт.-сост. В.И. Ишина,  Л.О. Денищева, Ю.А. Глазков и др. – М.: АСТ: Астрель, 2009.– 125 с. – (ФИПИ)