Решение экономических задач на проценты при подготовке к ОГЭ по математике
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (9 класс)

«Решение экономических  задач на проценты при подготовке к ОГЭ по математике»

               Социально-экономические преобразования в стране привели к изменению уровня жизни людей, что повлекло необходимость адаптации личности к современным рыночным условиям, подготовки грамотных специалистов в различных областях, занимающих активную позицию в решении своих профессиональных задач. Это повлекло за собой возникновение проблемы поиска эффективного решения задач повышения качества экономического образования учащихся как одного из ведущих направлений совершенствования российского образования, отраженной во всех нормативно-правовых документах. В Федеральном государственном образовательном стандарте общего образования сказано, что одним из главных результатов освоения общего образования является метапредметный результат: «освоение способов деятельности, применимых как в рамках образовательного процесса, так и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях». В контексте решения проблемы экономического образования школьников речь идет о первом уровне - экономической подготовке всех учащихся, где перед учителем встает задача передачи им базовых знаний о личной, семейной экономике, подготовки к производственно-экономической деятельности в условиях разных видов собственности, многообразия форм организации труда, ознакомления с основами социально-экономической защиты молодежи в условиях формирующихся рыночных отношений, т.е. формирования основы для подготовки поколения, способного к жизненному и профессиональному самоопределению в условиях рыночных отношений. Однако само по себе наличие базовых экономических знаний не является залогом формирования экономически грамотной личности. Только активная позиция школьников в процессе экономического образования дает возможность выбора каждому учащемуся индивидуальной траектории своего развития, области для самореализации, что

 обеспечивается прочными экономическими знаниями, умениями и навыками и обусловливает полноценную жизнедеятельность в современных рыночных условиях.
Особую роль в решении этой задачи призвана решать математика, в курсе которой поэтапно формируется финансовая грамотность или, проще говоря, умение рационально распоряжаться финансами.

Финансовая грамотность — это совокупность знаний, навыков и установок в сфере финансового поведения человека, ведущих к улучшению благосостояния и повышению качества жизни

Основные направления изучения финансовой грамотности в школе:

• рациональное использование денежных ресурсов на потребление;  
• культура сбережения с целью формирования активов;  
• эффективное использование денежных ресурсов для инвестирования.

Решение экономических  задач на проценты

при подготовке к ОГЭ по математике

1. Простейшие задачи на проценты. 

Пример 1

 Только 71% из 27000 выпускников города правильно решили задачу 1. Сколько человек правильно решили задачу 1.

Решение.

1-й способ 

Задачу решили  19170       .

2-й способ

Примем 27000 выпускников за 100%. Тогда х выпускников, решивших задачу 1, составляет 71%.

Составим пропорцию , из которой найдем  = 19170

Ответ: 19170 человек.

Пример 2.

Призерами городской олимпиады по математике стало 68 учеников, что составило 20% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Решение.

1-й способ. 

Пусть в олимпиаде участвовали х человек. Тогда согласно условию задачи составим уравнение    , откуда найдем .        

2-й способ.

 Примем х учеников, принявших участие в олимпиаде, за 100%. Тогда 68 призеров олимпиады составляют 20%. Составим пропорцию    ,   откуда найдем

Ответ: 340 человек.

2  Пропорциональное деление величины 

Пример 1.

Митя, Артем, Паша и Женя учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 18% уставного капитала, Артем  — 60000 рублей, Паша  — 0,18 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Женя. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1100000 рублей причитается Жене? Ответ дайте в рублях.

Решение:

Митя внес 18% уставного капитала, Артем  - уставного капитала, Паша-  0,18100%=18% уставного капитала. Тогда Женя внес 100% - 18% - 30% - 18% = 34% уставного капитала. Из прибыли размером в 1100000 рублей Женя получит 0,341100000=374000 рублей.

Ответ: 374 000 рублей.

Пример 2.

Три фирмы затратили на выполнение работы 740 000 рублей. Этот расход они распределили так, что каждый внес сумму денег, обратно пропорциональную расстоянию его места объекта до работы. Первая фирма расположена в 4 км, вторая – в 5 км и третья – в 6 км от объекта. Сколько рублей должна уплатить за работу каждая фирма?

Решение:

Фирма должна разделить затраты прямо пропорционально числам . По свойству отношений

имеем: .

Первая фирма должна уплатить  

;

вторая фирма должна уплатить

;

 третья фирма должна уплатить

.

Ответ: 

3 Процентное изменение величины. 

Пример 1.

В сентябре 1 кг винограда стоил 80 рублей. В октябре виноград подорожал на 10%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в октябре?

Решение:

1 кг винограда подорожал в октябре на 0,1   Значит цена 1 кг винограда в октябре составила 80+8=88 руб.              

Краткая запись решения:80(1+0,1)=88руб.

Пример 2.

Налог на доходы составляет 13% от заработной платы. После удержания налога на доходы Татьяна Николаевна получила 9570 рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Татьяны Николаевны?

Решение:

1-й способ.

Пусть заработная плата составляет х рублей. Тогда согласно условия задачи составим уравнение

х = 11 000

2-й способ.

Примем заработную плату Татьяны Николаевны в х рублей за 100%. Тогда Татьяна Николаевна после удержания налога получает на руки 9570 рублей, которые составляют 100 – 13 = 87(%).

Составим пропорцию и решим ее:

9570 – 87%

Ответ: 11 000 рублей.

4 Проценты и соотношения между величинами.

      В некоторых задачах величины связаны формулой и необходимо ответить на вопрос, как процентное изменение одних величин влияет на процентное изменение других велечин.      

Пример 1.  За некоторый период времени у господина Иванова количество акций увеличилось на 15%. На сколько процентов увеличилась общая стоимость акций господина Иванова, если цена каждой акции увеличилась на 20%?

     Решение.   Пусть S0 – цена одной акции, n – количество акций, S0· n – общяя стоимость акций. Эти величины  связаны формулой S = S0· n.

Составим таблицу:

   Можно сразу сделать вывод: общая стоимость акций S увеличилась в 1,38 раз, поэтому стоимость акций увеличилась на 38%.

   Или, используя формулу процентного «прироста», находим искомую величину:

100 = 38(%).

    Ответ: 38%.

   Пример 2. Производительность труда рабочего при выполнении определенной работы увеличилась на 25%. На сколько процентов сократилось время для выполнения этой работы?

   Решение. Пусть А- объем работы, N – производительность труда рабочего, t – время работы. Время работы определяется t . Составим таблицу:

 Можно сразу сделать вывод: новое время работы составило 80% от старого времени, следовательно, оно сократилось на 20%.

Или, используя формулу процентного «прироста», находим искомую величину:

100 = 20(%).                     Ответ: 20%.

5 Формула простых процентов 

    В зависимости от способа начисления процентов (от выбора базы начисления) выделяют два основных вида процентов: простые и сложные.

    Если величина А через равные промежутки времени t1 имеет процентный прирост p только на первоначальное значение А0, то в момент времени tn = nt1 её значение An будет равно:

An ) – формула простых процентов.

   Пример 1. Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 рублей. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько денег придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

    Решение. Так как по условию задачи А0 = 250, p = 4, n = 7, то по формуле простых процентов находим искомую величину  А7 = 250( 1 + = 320(руб.).

   Ответ: 320 рублей.

6. Задачи на растворы, смеси, сплавы 

Чтобы лучше понимать условия данных задач, необходимо знать следующие понятия:

1) Что такое концентрация вещества в растворе, смеси, сплаве? Концентрация вещества в растворе (смеси, сплаве) – это отношение массы или объема вещества к массе или объему всего раствора (смеси, сплава). Как правило, концентрация выражается в процентах.

2) Что такое процент? Процент – это сотая доля числа. Она может выражаться либо в виде десятичной дроби, либо в виде процента.

3) Что такое масса раствора, смеси, сплава? Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих. При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов. Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:

1. Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.
2. В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Пример 1.. Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

В этой задаче примем за x массу первого сплава и выразим через него второй и третий.

Составим и решим уравнение:

0,1x+0,4 (x+3)= 0,3 (2x+3)

0,1х+ 0,4х+1,2=0,6х+0,9

0,3=0,1х

х=3 (кг) масса первого сплава.

2*3+3=9 (кг) масса третьего сплава.

Ответ: масса третьего сплава 9 кг.

Пример 2. Смешав 60%-й и 30%-й растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%-й раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%-го раствора той же кислоты, то получили бы 70%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?

Для решения этой задачи будем составлять две краткие записи. До слов "если бы вместо 5кг воды..." и после. Примем за х массу первого раствора, а за y – массу второго.

Составим уравнение с двумя переменными: 0,6 x + 0,3y+ 0= 0,2 (x+y+5)

Составим уравнение с двумя переменными: 0,6 x + 0,3y+ 4,5= 0,7 (x+y+5)

Объединив полученные два уравнения в систему и решив ее, получим x. Это и будет сколько килограммов 60%-го раствора использовали для получения смеси. Ответ: 2 кг.

Выводы:

           Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.  В  процессе формирования финансовой грамотности используются, в том числе, и задания из вариантов ОГЭ. Это повышает мотивационный аспект обучения.