кконспект урока
план-конспект урока по алгебре (11 класс)

Учитель

Учащиеся

1. Организационный момент

       Здравствуйте, садитесь!

Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

         С какими новыми понятиями вы познакомились на прошлом уроке?

         На прошлом уроке мы познакомились с понятиями случайного, достоверного, невозможного, противоположного события; несовместных, равновозможных и благоприятствующих событий; полной группой событий; классическим определением  вероятности;  и научились находить вероятность по классической схеме.

          На сегодняшнем уроке мы продолжим работать классическим определением вероятности и познакомимся с двумя важными теоремами, которые пригодятся вам для решения практических задач.

Данный урок очень важен так, как дальнейшее изучение теории вероятностей будет во многом базироваться на понятиях, которые мы изучим и закрепим сегодня.

          Откройте тетради. Запишите число, классная работа и тему урока «Вероятность суммы несовместных событий. Вероятность противоположного события».

2. Повторение ранее изученного материала

           Для того, чтобы приступить к новой теме, давайте вспомним, что называется элементарным событием?

          Единичный, отдельный исход эксперимента называется элементарным событием.

          Посмотрите на пример, записанный на доске.

Испытание: подбрасывается игральный кубик.

Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;

Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;

Событие С: на верхней грани кубика выпало 7 очков;

Событие D: не верхней грани кубика выпало число очков меньшее 7;

Событие Е: на верхней грани кубика выпало нечетное число очков.

          Какие из перечисленных событий являются случайными? Почему?

          События А, В и Е могут произойти, а могут и не произойти при проведении испытания, поэтому эти события случайные.

          Какие события называются случайными?

          Событие А называется случайным по отношению к данному опыту, если при его осуществлении оно может произойти, а может не произойти.

           Назовите событие из списка, которое является невозможным. Ответ обоснуйте.

         Событие С не может произойти никогда, поэтому оно является  невозможным событием.

           Какое событие называется невозможным?

          Событие, которое не может произойти ни при каком исходе испытания, называется невозможным событием.

           Чему равна вероятность невозможного события?

          Вероятность невозможного события равна нулю.

          Назовите событие из списка, которое является достоверным. Ответ обоснуйте.

         Событие D происходит при любом исходе испытания, значит это достоверное событие.

          Какое событие называется достоверным?

         Событие, которое происходит при любом исходе испытания, называется достоверным событием.

         Чему равна вероятность достоверного события?

         Вероятность достоверного события равна единице.

         Какие два события называют противоположными?

         Для события А противоположным называется такое событие, при котором событие А никогда не произойдет.

          Какие события из приведенного на доски списка являются противоположными? Почему?

         Например события А и В так, как если выпадет три очка, то четное количество очков выпасть не может.

          Какие события называются несовместными?

          Несколько событий называют несовместными, если в результате эксперимента наступление одного из них  исключает появления других.

           Какие события из приведенного на доски списка являются несовместными? Почему?

         События А и Е являются несовместными, так как наступление одного исключает наступление другого.

           Какие события называются равновозможными?

          Два события называются равновозможными, если в условиях данного опыта не существует оснований для того, чтобы одно из событий наступало чаще другого.

           Какие события из приведенного на доски списка являются равновозможными? Почему?

           События А, В и Е являются равновозможными, так как если в условиях данного опыта не существует оснований для того, чтобы одно из событий наступало чаще другого.

           Какое событие называется благоприятствующим для другого события.

           Событие А называется благоприятствующим для события В, если происхождение события А влечет происхождение события В.

             Приведите пример из списка, представленного на доске, и обоснуйте его.

              Событие В является благоприятствующим для события Е, так как из того, что выпало три очка следует выпадение нечетного количества очков.

             Какие события образуют полную группу событий?

              Совокупность событий  образуют полную группу событий, если справедливы следующие требования:

1. - равновозможные;
2. - попарно несовместны;
3. В условиях данного опыта происходит одно из событий .

            Мы повторили основные определения, давайте теперь вспомним, что называется классическим определением вероятности?

            Вероятность случайного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов

             .

           Перечислите свойства вероятности.

Свойства вероятности:

1) ;

2)вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность достоверного события равна единице.

            Расскажите алгоритм нахождения вероятности по классической схеме.

Алгоритм вычисления вероятности по классической схеме:

1. Формулируем испытание.

2. Находим число n  всех возможных исходов испытания, т.е. полную группу событий;
3. Определяется число m – число элементарных событий, благоприятствующих событию А;
4. Вычисляется вероятность события А по формуле .

3. Решение практических задач с использованием формулы классической вероятности

        Теперь мы повторили всю необходимую теорию для решения практических задач.

           Теперь решим следующие задачи (вызывается по одному учащемуся к доске для ее решения).

Задача №1 .

          В урне находится 6 белых и 4 черных шара. Найдите вероятность того что:

а) вытянутый шар окажется черным;

б) вытянутый шар окажется белым.

Решение:

а)       Испытание: извлечение шаров из урны

         Событие А: извлечение черного шара

         Воспользуемся классическим определением вероятности.          Искомая вероятность   равна отношению  – числа исходов, благоприятствующих событию, к  – числу всех элементарных исходов:

.

     Общее число всех всевозможных элементарных исходов испытания равно числу шаров, лежащих в урне, т.е.  n=6+4.

Число исходов, благоприятствующих событию  m=6.

         Таким образом, получаем

Ответ:

б)      Испытание: извлечение шаров из урны

        Событие А: извлечение белого шара

           Воспользуемся классическим определением вероятности.   Искомая вероятность   равна отношению  – числа исходов, благоприятствующих событию, к  – числу всех элементарных исходов:

.

          Общее число всех всевозможных элементарных исходов испытания равно числу шаров, лежащих в урне, т.е.  n=6+4.

Число исходов, благоприятствующих событию  m=4.

         Таким образом, получаем:

Ответ:

Задача 2.

           Бросается игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет максимальное количество очков?

( если при решении задачи возникают трудности, учитель задает наводящие вопросы классу)

         Решение:

         Испытание: бросание игральной кости

         Событие А: выпадение максимального числа очков

       Воспользуемся классическим определением вероятности. Искомая вероятность   равна отношению  – числа исходов, благоприятствующих событию, к  – числу всех элементарных исходов:

.

           Общее число всех всевозможных элементарных исходов испытания равно числу граней игрального кубика, т.е.  n=6.

           Число исходов, благоприятствующих событию  m=1.

          Таким образом, получаем:

Ответ: 

4.        Введение теоремы о нахождения вероятности суммы несовместных событий и ее доказательство

           Теперь мы перейдем к изучению нового материала и рассмотрим теорему о нахождении вероятности суммы двух несовместных событий. Перед тем как приступить к новой теме рассмотрим следующую задачу:

             Задача: В урне 30 шаров. Из них 10 красных,  5 синих и 15 белых шаров. Найти вероятность появления цветного шара.

           Какое испытание проводится в задаче?

         Извлекание из урны шаров.

           Какие шары, лежащие в урне, являются цветными?

         Красные и синие шары являются цветными.

           Какие события могут происходить в задаче с цветными шарами?

         Событие А – появление красного шара;

         Событие В – появление синего шара.

           Вероятность какого события нам нужно найти?

         Нужно найти вероятность события С – появление цветного шара.

          Чему равна вероятность события С?

           Вероятность события С равна сумме вероятностей А и В.

          Если из урны будет извлечен красный шар, то это исключает извлечение синего шара, какой вывод можно сделать исходя из этого о событиях А и В.

           Можно сделать вывод о том, что события А и В несовместны

           Итак, нам нужно найти вероятность события С, которая равна вероятности суммы двух несовместных событий. Для этого рассмотрим следующую теорему:

           Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий, т.е.

                           (1)

Эту теорему можно обобщить до конечной суммы вероятностей, т.е.:  

Докажем эту теорему для формулы (1).

         Доказательство.

Давайте вспомним, что называется вероятностью события в классической схеме.

            Вероятность случайного события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих А, к общему числу исходов

   .  

Обозначим

                                             (2),

тогда, рассуждая аналогично, чему будет равна вероятность события В.

             Вероятность события В равна:

                                      (3)

По условию события А и В несовместны. Какой из этого можно сделать вывод?

            События благоприятствующие событию А не являются благоприятствующими для события В и наоборот.

           Тогда событие А+В означает, что либо событие  А произошло, либо событие В произошло.

            Каково число событий благоприятствующих событию А+В?

            Число событий благоприятствующих событию А+В равно .

           Тогда,

         Что нам и требовалось доказать.

         Вернемся к задаче с шарами. В ней нам осталось вероятность события С, которая равна вероятности суммы двух несовместных событий, т.е.

.

         Применим только, что изученную теорему. Чему равно это выражение.

         Чему равна вероятность события А?

;

         Чему равна вероятность события В?

.

        Подставим эти значения в формулу, которую вы получили исходя из теоремы 1. Какой получили ответ?

.

Ответ:.

4. Решение задач с использованием теоремы о нахождения суммы вероятностей несовместных событий

          Закрепим изученную теорему. Для этого решим следующую задачу:

Задача. Имеется 100 лотерейных билетов. Известно, что на 5 билетов попадает выигрыш по 20000 руб., на 10 - по 15000 руб, на 15 - по 10000 руб., на 25 - по 2000 руб. и на остальные ничего. Найти вероятность того, что на купленный билет будет получен выигрыш не менее 10000 руб.

Решение: 

Испытание: покупка лотерейных билетов

Пусть А, В, и С- события, состоящие в том, что на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 20000, 15000 и 10000 руб. так как события А, В и С несовместны, то

Ответ: 0,3

5. Введение теоремы о вероятности противоположного события и ее доказательство

          Нам осталось рассмотреть еще одну теорему. Перед тем как приступить к ее изучения вспомните, какое событие называется противоположным?

        Для события А противоположным называется такое событие, при котором событие А никогда не произойдет.

          Возникает вопрос, как найти вероятность противоположного события. Для этого рассмотрим следующую теорему:

         Теорема 2. Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события, т.е.:

.

         Доказательство. Так как события А и  противоположны, то при любом исходе испытания происходит либо событие А, либо событие . значит событие  достоверно.

         Чему равна вероятность этого события?

.

         Наступление события А исключает наступление события . какой вывод из этого можно сделать?

События А и  несовместны.

      Тогда,  .

Выразите  из последнего равенства.     Что получим?

       Что и требовалось доказать.

.

6. Решение задач с использованием теоремы о вероятности противоположного события

         Закрепим изученную теорему. Для

этого решим следующую задачу:

Задача.  Вероятность того, что день будет ясным, . Найти вероятность  того, что день будет облачным.

Решение: События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

,т.е .

Ответ: 0,15

7. Закрепление пройденного материала

           Сегодня на уроке мы изучили две новых теоремы. Сформулируйте эти теоремы.

         Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий, т.е.

          Теорема 2. Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события, т.е.:

.

            Закрепим знание этих теорем на следующих задачах ( учитель вызывает по выбору на каждую задачу учащихся).

         Задача. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую- 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадет либо в первую, либо во вторую область.

          Решение. 

          Испытание: стрельба по мишени      

          События А - "стрелок попал в первую область" и В - "стрелок попал во вторую область" - несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.

Искомая  вероятность  Р(А) + Р(В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

    Ответ: 0,8

          Задача. На заочное отделение техникума поступают контрольные работы по математике из городов А, В и С. Вероятность поступления контрольной работы из города А равна 0,6, из города В - 0,1. Найти вероятность того, что очередная контрольная работа поступит из города С.

           Решение: 

          Испытание: поступление контрольных работ в отделение техникума

          Событие D - поступление контрольной работы из города А

          Событие E - поступление контрольной работы из города В

           Событие F - поступление контрольной работы из города С

          События «контрольная работа поступила из города А», «контрольная работа поступила из города В» и «контрольная работа поступила из города С» образуют полную систему, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

,т.е.  .

Ответ: 0,3

8. Подведение итогов урока

           С каким новым теоремами мы сегодня познакомились?

          Мы познакомились с двумя теоремами: теоремой о вероятности суммы двух несовместных событий и теоремой о вероятности противоположного события.

          Сформулируйте эти теоремы?

         Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий, т.е.

          Теорема 2. Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события, т.е.:

.

           Какие события называются несовместными?

           Несколько событий называют несовместными, если в результате эксперимента наступление одного из них  исключает появления других.

          Какое событие называется противоположным для события А.

           Для события А противоположным называется такое событие, при котором событие А никогда не произойдет.

           Итак, мы сегодня повторили все основные понятия теории вероятностей и изучили две важных теоремы: теорему о вероятности суммы двух несовместных событий и теорему о вероятности противоположного события. Этот теоретический материал нам будет необходим на протяжении всего элективного курса «Основы теории вероятностей» для решения практических задач и при изучении нового материала, опирающегося на эти понятия и теоремы.

9.  Постановка домашнего задания, выставление оценок

            Читать учебник Мордкович А. Г.

«Алгебра 9 класс» гл. 5, стр. 204-206, учить определения и  формулировки теорем.

            Решить следующие задачи:

            Задача 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

            Задача 2. Ответ на экзамене оценивается тройкой, если ученик отвечает на один (любой) вопрос. Какова вероятность того, что ученик получит тройку?

            Задача 3. Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино (28 костей) одна кость домино не будет «дублем».

           Задача 4. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

            Задача №1 .

          Решение:

а) Испытание: извлечение шаров из урны

Событие А: извлечение черного шара

Воспользуемся классическим определением вероятности:

n=6+4; m=6

Ответ: 

б) Испытание: извлечение шаров из урны

Событие А: извлечение белого шара

Воспользуемся классическим определением вероятности:

n=6+4; m=4.

Ответ:

Задача 2.

          Решение:

Испытание: бросание игральной кости

Событие А: выпадение максимального числа очков

Воспользуемся классическим определением вероятности:

n=6, m=1.

Ответ: 

Задача 3.

          Решение:

Испытание: Извлекание из урны шаров.

Событие А – появление красного шара;

Событие В – появление синего шара;

Нужно найти вероятность событие С – появление цветного шара.

;

.

.

Ответ:.

Задача 4.

Решение: 

Испытание: покупка лотерейных билетов

Событие А - на купленный билет падает выигрыш, равный 20000

Событие В - на купленный билет падает выигрыш, равный 15000

Событие С - на купленный билет падает выигрыш, равный соответственно 10000

Так как события А, В и С несовместны, то

Ответ:0,3

14.01.14.

Классная работа.

Тема урока: «Вероятность суммы несовместных событий. Вероятность противоположного события».

Испытание: подбрасывание игрального кубика.

Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;

Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;

Событие С: на верхней грани кубика выпало 7 очков;

Событие D: не верхней грани кубика выпало число очков меньшее 7;

Событие Е: на верхней грани кубика выпало нечетное число очков.

События А, В и Е – случайные;

Событие С – невозможное;

Событие D -  достоверное;

События А и В – противоположные;

События А и Е являются несовместными;

События А, В и Е являются равновозможными;

Событие В является благоприятствующим для события Е.

Классическое определение вероятности:

Свойства вероятности:

1) ;

2) вероятность невозможного события равна нулю;

3) вероятность достоверного события равна единице.

            Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий, т.е.

Эту теорему можно обобщить до конечной суммы вероятностей, т.е.:  

         Доказательство.

Вероятность по классической схеме вычисляется по формуле:

Обозначим

тогда, рассуждая аналогично,

По условию события А и В несовместны. 

Число событий благоприятствующих событию А+В равно .

Тогда,

Что и требовалось доказать.

Теорема 2. Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события, т.е.:

.

         Доказательство.

Так как события А и  противоположны, то при любом исходе испытания происходит либо событие А, либо событие . значит событие  достоверно.

Отсюда следует, что .

События А и  несовместны. Тогда,  .

Выразите  из последнего равенства.

Получим, .

      Что и требовалось доказать.

Домашние задание:

Читать учебник Мордкович А. Г.

«Алгебра 9 класс» гл. 5, стр. 204-206, учить определения и  формулировки теорем.

Решить следующие задачи:

            Задача 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

            Задача 2. Ответ на экзамене оценивается тройкой, если ученик отвечает на один (любой) вопрос. Какова вероятность того, что ученик получит тройку?

            Задача 3. Найти вероятность того, что наугад вынутая из полного набора домино (28 костей) одна кость домино не будет «дублем».

           Задача 4. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Задача5.

Решение: События «день ясный» и «день облачный» противоположные, поэтому

,т.е .

Ответ: 0,15

Задача 6.

Решение. 

Испытание: стрельба по мишени

Событие А - стрелок попал в первую область

Событие В - стрелок попал во вторую область

 События А и В несовместны.

Р(А) + Р(В) = 0,45 + 0,35 = 0,80.

    Ответ: 0,8

Задача 7.

    Решение: 

Испытание: поступление контрольных работ в отделение техникума

Событие D - поступление контрольной работы из города А

Событие E - поступление контрольной работы из города В

Событие F - поступление контрольной работы из города С

События D, E и F образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей равна единице:

,т.е.  .

Ответ: 0,3