Систематизация методов решения показательных, логарифмических уравнений.
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Показательные уравнения

Вид уравнения

Способ решения

Пример

a f(x) = b при a > 0 и

a ≠ 1, где b — некоторое действительное число, b > 0

Простейшее показательное уравнение решается почленным логарифмированием. При этом используется свойство обратимости логарифмической функции: одному положительному значению аргумента соответствует одно значение логарифмической функции, и, наоборот, одному значению логарифмической функции соответствует одно значение аргумента. По этому свойству

x1 = x2 > 0 ⇐⇒ loga x1 = loga x2 (a > 0, a ≠1).

Если в равносильности положить, что

x1 = af(x) и x2 = b,

то уравнение

a f(x) = b ⇐⇒ loga af(x) = loga b (a > 0, a ≠ 1, b > 0). Отсюда с учётом, что

loga af(x) = f(x),

 получаем

af(x) = b ⇐⇒ f(x) = loga b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).

В частных случаях, когда b = 1 и b = ac , будем иметь:

af(x) = 1 ⇐⇒ f(x) = 0 (a > 0, a ≠ 1);

af(x) = ac ⇐⇒ f(x) = c (a > 0, a ≠1).

Равносильность предполагает логарифмирование обеих частей уравнения по основанию a. Иногда удобно логарифмирование по основанию 10. При этом

af(x) = b ⇐⇒ f(x) lg a = lg b (a > 0, a ≠ 1, b > 0).

Пример 1. В соответствии с равносильностью уравнение

5 7−2x = 121 ⇐⇒ 7 − 2x = log5 121 ⇐⇒

⇐⇒ x = 3,5 − 0,5 log5 112 ⇐⇒ x = 3,5 −

- log5 11.

Пример 2. Решим уравнение

5x+1 − 5x = 24.

Поскольку 5x+1 = 5 · 5x , то 5x+1 − 5x = 4 · 5x 

∀x ∈ R,

а уравнение равносильно уравнению

 4 · 5x = 24.

Переходим к простейшему показательному уравнению 5x = 6 с решением x = log5 6.

af(x) = bg(x) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠1).

Если b = a, то af(x) = ag(x) ⇐⇒ f(x) = g(x) (a > 0, a ≠1).

В общем случае данное уравнение может быть решено почленным логарифмированием следующими способами.

1. Логарифмирование по основанию 10:

af(x) = bg(x) ⇐⇒ f(x)lg a = g(x)lg b (a > 0, a ≠1, b > 0, b ≠1).

2. Логарифмирование по основанию e:

 af(x) = bg(x) ⇐⇒ f(x)ln a = g(x)ln b (a > 0, a ≠1, b > 0, b ≠1).

3. Логарифмирование по основанию a:

af(x) = bg(x) ⇐⇒ f(x) = g(x)loga b (a > 0, a ≠1, b > 0, b ≠1).

4. Логарифмирование по основанию b :

af(x) = bg(x) ⇐⇒ f(x)logb a = g(x) (a > 0, a ≠1, b > 0, b ≠1).

5. Логарифмирование по основанию c :

af(x) = bg(x) ⇐⇒ f(x)logc a = g(x)logc b (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠1).

Пример. Решим уравнение

32(2x+5) · 52(3x+1) = 155x+6 .

Способ 1. 

Разделим почленно уравнение на

155x+6 = 35x+6 · 55x+6 .

А затем по формуле:

32(2x+5)−(5x+6) · 52(3x+1)−(5x+6) = 1 ⇐⇒

⇐⇒ 3−x+4 · 5x−4 = 1 ⇐⇒ )x−4 = 1 ⇐⇒ x = 4. Способ 2. 

Прологарифмируем уравнение, например, по основанию 10. Получим равносильное уравнение

2(2x + 5)lg 3 + 2(3x + 1)lg 5 = (5x + 6)(lg 3 +

+lg 5) ⇐⇒

 ⇐⇒ (lg 5 − lg 3)x − 4(lg 5 − lg 3) = 0 ⇐⇒ x = 4

A1af(x)+β1 + A2a f(x)+β2 + . . . + Anaf(x)+βn = B,

где a, A1, . . . , An, B, β1, . . . , βn — действительные числа, причём a > 0 и a ≠ 1.

Левую часть уравнения приводим к выражению Aaf(x) ,

где A = A1aβ1 + A2aβ2 + . . . + Anaβn .

Тем самым, уравнение равносильно простейшему показательному уравнению

 Aaf(x) = B.

Пример. Показательное уравнение

32 √ x +32 √ x−1 −9√ x−1 = 11 ⇐⇒ 32 √ x +32 √ x−1 −

- 32 √ x−2 = 11 ⇐⇒

⇐⇒ 32 √ x−2 · (32 + 3 − 1) = 11 ⇐⇒ 32 √ x−2 =

=1 ⇐⇒

⇐⇒ 2√ x − 2 = 0 ⇐⇒ √ x = 1 ⇐⇒ x = 1.

A1af(x)+β1 + A2a2f(x)+β2 + . . . + Ananf(x)+βn = B, где a, B, A1, . . . , An, β1, . . . , βn — действительные числа, причём a > 0 и a ≠1

С учётом свойства степени преобразуем левую часть уравнения, и, тем самым, уравнение приведём к равносильному уравнению:

 A1aβ1af(x) + A2aβ2a2f(x) + . . . + Anaβnanf(x) = B.

Затем подстановкой

af(x) = y

уравнение приведём к алгебраическому уравнению

 A1aβ1y + A2aβ2 y2 + . . . + Anaβnyn = B,

 которое решаем при y > 0.

Пример. 

Показательное уравнение

2x − 2 · 0,52x − 0,5x − 1 = 0

 равносильно уравнению

2x − 2 · 1/ 22x − 1/2x − 1 = 0 ⇐⇒ 23x − 22x − 2x − 2 = 0. Подстановкой

2x = y > 0 получим кубическое уравнение

y3 − y2 − y − 2 = 0 ⇐⇒ (y − 2)(y2 + y + 1) = 0 ⇐⇒

⇐⇒ y = 2,

так как квадратный трёхчлен y2 + y + 1 ≠ 0,

как имеющий отрицательный дискриминант

 D = 1 − 4 = − 3.

Следовательно, 2x = 2, а значит, x = 1.

Aaf(x) + Baf(x)/2 · bf(x)/2 + Cbf(x) = 0,

где A, B, C, a, b — действительные ненулевые числа, причём a > 0 и b > 0

Делением на bf(x) (можно и на af(x) ) приведём к показательному уравнению вида

A (a/b)f(x) + B(a/b)f(x)/2 + C = 0.

С помощью подстановки

(a/b)f(x)/2 = y > 0

получим квадратное уравнение

Ay2 + By + C = 0, которое решаем при y > 0.

Пример. Показательное уравнение

 4x + 6x = 9x 

равносильно уравнению

22x + (2 · 3)x − 32x = 0.

Разделив его почленно на 32x > 0 ∀x ∈ R, будем иметь

(2/3) 2x +(2/3) x − 1 = 0.

Полагая (2/3)x = y > 0, получим квадратное уравнение

y2 + y − 1 = 0 ⇐⇒ ( y + (1 + √5)/2)( y − (− 1 + +√5)/2) = 0,

среди корней которого положительным будет y = (− 1 + √5)/2 .

Тогда (2/3)x = (− 1 + √5)/2 ⇐⇒ x =( lg( − 1 +   √5  − lg 2)/(lg 2 − lg 3)

Логарифмические уравнения

loga f(x) = b при a > 0 и a ≠ 1, (1) где b — некоторое действительное число, является простейшим логарифмическим уравнением

Уравнение решается почленным потенцированием. При этом основываемся на свойстве обратимости показательной функции: одному значению аргумента соответствует одно значение показательной функции, и, наоборот, одному значению показательной функции соответствует одно значение аргумента:

x1 = x2 ⇐⇒ ax1 = ax2 (a > 0, a ≠1).

В равносильности положим, что

 x1 = loga f(x) и x2 = b.

 Тогда получим:

 loga f(x) = b ⇐⇒ aloga f(x) = ab (a > 0, a ≠1). Отсюда, с учётом того, что a loga f(x) = f(x) при f(x) > 0, а степень ab > 0, устанавливаем равносильность loga f(x) = b ⇐⇒ f(x) = a b (a > 0, a ≠1).

Пример. 

log5 log4 log3 log2  = 0 ⇐⇒

⇐⇒ log4 log3 log2   = 1 ⇐⇒ log3 log2  =

= 4 ⇐⇒

⇐⇒ log2   = 34 ⇐⇒ x4 = 34 ⇐⇒ |x| = 3 ⇐⇒

 x = − 3, x = 3.

loga f(x) = loga g(x) (a > 0, a ≠ 1)

loga f(x) = loga g(x) ⇐⇒

⇐⇒     (a > 0, a ≠1);

loga f(x) = loga g(x) ⇐⇒

⇐⇒   (a > 0, a ≠ 1)

Пример. 

lg x + lg(30 − x) = lg 19 + lg 11 ⇐⇒

⇐⇒  ⇐⇒  ⇐⇒

 ⇐⇒  ⇐⇒  

loga f(x) = logb g(x) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠1)

С помощью преобразований приводим к уравнению вида:

loga f(x) = logb g(x) ⇐⇒ loga f(x) = loga g(x)/loga b ⇐⇒ loga b · loga f(x) = loga g(x) ⇐⇒

 ⇐⇒  ⇐⇒

⇐⇒ 

при a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠1.

Итак, получена равносильность решения уравнения

loga f(x) = logb g(x) ⇐⇒  (a > 0, a ≠1, b > 0, b ≠ 1)

Пример. 

Уравнение

ln x = lg x ⇐⇒ ln x = lnx / ln10 ⇐⇒

 ⇐⇒ (ln 10 − 1)ln x = 0 ⇐⇒ ln x = 0 ⇐⇒ x = 1. При a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1 и b ≠ a, уравнение loga x = logb x ⇐⇒ lnx / lna = lnx / lnb ⇐⇒

 ⇐⇒ (ln b − ln a)ln x = 0 ⇐⇒ ln x = 0 ⇐⇒

⇐⇒ x = 1.

logh(x) f(x) = b (b ∈ R) при каждом фиксированном значении аргумента x таком, что f(x) > 0 и f(x) ≠1, является простейшим логарифмическим уравнением.

logh(x) f(x) = b ⇐⇒  

В соответствии с равносильностными переходами получаем, что уравнение

 logh(x) f(x) = logh(x) g(x)⇐⇒  

Пример. В соответствии с равносильностью уравнение

 logx 2 401 = 4 ⇐⇒   ⇐⇒ x =

= 4√2 401 ⇐⇒ x = 7.

 Иначе, учитывая, что 2 401 = 74 , получим logx74 = 4 ⇐⇒ 4 logx 7 = 4 ⇐⇒ logx 7 = 1 ⇐⇒

⇐⇒ x = 7.