Решение показательных уравнений различными методами.
методическая разработка по алгебре (11 класс)

Решение показательных уравнений различными методами.

1. Метод вынесения общего множителя за скобки.

Пример 1.  Решить уравнение  + 4 ·  + 2 ·  = 19 ·  – 4 · .

Решение. Преобразуем данное уравнение, перенеся члены с одинаковыми основаниями в одну и ту же часть уравнения и вынося  за скобки степень с наименьшим показателем, к виду:

 + 4 ·  + 4 · = 19 ·  – 2 ·   (9 + 4 · 3 + 4) = 19 – 2 · 5)      

                                          25 =   9.

Запишем последнее равенство в виде пропорции и получим:

 =   = .

Это уравнение равносильно уравнению х – 2 = 2, откуда х = 4.   Ответ: 4.

Пример 2. Решить уравнение   –   =   – .

Решение. Сгруппируем члены, содержащие степени с одинаковыми основаниями с разных сторон равенства:                      +   =  + .

Выносим общие множители за скобки:

(1 + ) = (1 + 3)

  = ∙ 4.

Разделим это уравнение на выражение, стоящее в правой части, получим  = 1.

Таким образом, находим  = 0; следовательно,  – единственный корень исходного уравнения.             Ответ: .

2. Метод использования монотонности показательной функции.

Пример 1. Решить уравнение   +  +  = 9.

Решение. Можно заметить, что х = 1 – корень данного уравнения. Покажем, что других корней уравнение не имеет.

     Рассмотрим функцию f(x) =  +  + . Она монотонно возрастает на всем множестве действительных чисел и f (1) = 9. Поэтому, х = 1 – единственный корень данного уравнения.

Ответ: 1.

Пример 2. Решить уравнение  +  = 34.

Решение. Заметим, что корнем уравнения является число х = 2 (32 + 52 = 34). Докажем, что других корней уравнение не имеет. Каждая из функций   и   является возрастающей, следовательно, их сумма – тоже возрастающая функция. При х = 2 левая часть равна 34, при х <  2 она –  меньше 34, при х > 2 – больше 34. Итак, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 2.

Пример 3.   Решить уравнение   +  =

Решение. Убеждаемся, что х = 1 – корень уравнения. Можно доказать, что других корней уравнение не имеет.  

Если х > 1, то вследствие убывания функции у =  имеем

 +  <  +  = 2,

а вследствие возрастания функции у =  имеем   Поэтому, при х > 1 левая часть уравнения строго меньше 2, а правая строго больше 2.  Следовательно, при х > 1 уравнение корней не имеет. Аналогично, при х <1 левая часть уравнения строго больше 2, а правая строго меньше 2.  Поэтому при х <1 уравнение также не имеет корней.   Таким образом, х = 1 – единственный корень уравнения.

Ответ: 1.

Пример 4. Решить уравнение.  = .

Решение. Подбором находим х = 1. Других корней это уравнение не имеет, поскольку функция f(х)= монотонно убывает, а функция  h(x)= монотонно возрастает (h/(x)=(·3x2).

Ответ: 1.

Пример 5.  Решить уравнение.  –  = 32.

Решение.  

Так как > 0, то разделим обе части уравнения на , тогда получим    – 1 = ;              – 1 = .  Теперь видно, что левая часть монотонно возрастает, а правая монотонно убывает, поэтому решение уравнения х = 2 – единственное.

Ответ: 2.  

Пример 6. Решить уравнение    –  = 15.

Решение. Запишем уравнение в виде = 15.

Рассмотрим функцию f(x) =  и ее поведение на различных интервалах,

где она меняет свое поведение.

1) При х <  2, т.е. х + 2 < 0, ; f(x) .  Решений нет.

2) При  2  х , |х| 2. Тогда  х2 – 4  0,  1.   (1)

При этом     х + 2 < 2, ,                   (2)

Рассмотрим поведение функции у =  при  х  

 Заметим, что при  х  функция у(х) строго убывает, при  х   функция у(х) строго возрастает.        

Перемножив (1) и (2), получим f(x) , что означает отсутствие корней при  2  х .

3) При х  0 функции  и   будут монотонно возрастающими и  непрерывными, поэтому их произведение – функция f(x) также будет непрерывной и возрастающей. Следовательно, уравнение f(x) = 15 может иметь только один корень, который можно найти подбором: х = 2.

Ответ: 2.

3. Метод логарифмирования для решения показательных уравнений.

     В основе этого метода лежит следующее утверждение: если выражения f(x)  и  h(x) положительны на множестве D, то уравнение f(x)  =  h(x) равносильно уравнению = на множестве D, где >0 и  1.

Пример1.    Решите уравнение     = .

Решение. Область допустимых значений уравнения х. Так как обе части уравнения положительные, то, прологарифмировав уравнение, например, по основанию 2, получим равносильное ему уравнение:

3х – 2 = (3 – х) · .

Решая это уравнение с помощью равносильных переходов, имеем:

3х – 2 = 3  3х + 3 +2  х(3 +  = 3 + 2  х = .         Ответ: .

Пример 2. 

 Решить уравнение    ·  = 500.

Решение. Прологарифмируем это уравнение по основанию 5 или 2. (Можно логарифмировать по любому основанию, но не совсем удачный выбор основания может привести к громоздким преобразованиям).

Тогда имеем следующее уравнение х + 3 ·   = 3 + 2

х2 + х( – 3) –  3 = 0,

   Дискриминант D = ( – 3)2 + 12 = ( + 3)2, следовательно, корни уравнения будут     х1,2 =           отсюда   х1 = 3, х2 = –

Ответ: –

     Это же уравнение можно решить другим способом, представив правую часть равенства в виде: 500 = . Тогда получим    · 

 = ;    = ;  (     

Ответ: –  

Пример 3.Решить уравнение  (х-1 = .

Решение. Обе части данного уравнения положительны. Прологарифмируем обе части этого уравнения по основанию 5:

(х – 1) +   =  – , т.е. уравнение

х( – 1) –  + 1 –   +  =  х – 1 –  ,

равносильное исходному уравнению. Отсюда получаем

х =  , т.е.  х = .     Ответ: . 

4.Решение показательно-степенных уравнений.

Пример 1.  

 Решить уравнение  = 9.

Решение. Область допустимых значений уравнения: .

Поскольку обе части уравнений положительны, то прологарифмируем по основанию 3:

) =  2,  ( +  = ,  = 1 и  = 2, следовательно,

(1 +  = 2,  +  – 2 = 0,

Сделаем замену  = у, тогда у2 + у – 2 = 0, корнями которого являются числа

 у1 = – 2 и у2 = 1. Возвращаемся к нашей замене и получаем:

 = – 2 или  = 1.

Тогда х1 =  и х2 = 3.  Ответ: ; 3.

Пример 2.    Решить уравнение  | = 1.

Решение. Понятно, что х  3,следовательно, |х – 3|  0. Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10, тогда (3х2 – 10х + 3) = 0, откуда

3х2 – 10х + 3 = 0 или  = 0. Корнями квадратного уравнения 3х2 – 10х + 3 = 0 будут

х1 =  и х2 = 3 (не удовлетворяет условию х  3) . Из уравнения  = 0 находим |х – 3| =1  х – 3 = – 1 или х – 3 = 1.

Поэтому х3 = 2, х4 = 4.

Ответ: ; 2; 4.

Пример 3. Решить уравнение, в ответе указать наибольший  корень 

Решение. Поскольку область определения данного уравнения: х > 14, то

Наибольший корень уравнения равен 24.       Ответ: 24.

Пример 4. Решить уравнение (2 = 1.

Решение. Запишем уравнение в виде (2.

Тогда           .          

  Ответ: + , .

5. Нестандартные методы решений показательных уравнений.

Пример 1.  Решите уравнение  3  + (3х – 10) + 3 – х = 0.

Решение. Данное уравнение кроме показательных функций содержит линейные функции у = 3х – 10 и у = 3 – х. Можно заметить, что относительно р =  оно является квадратным:

3р2 + (3х – 10) р + 3 – х = 0

и поэтому

р =  =  =

=  =  =

= ,

откуда р = , р = 3 – х.

     Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 =  ,  = 3 – х.

     Корень первого уравнения х = . Второе уравнение имеет корень х = 1, а других корней не имеет, т. к. его левая часть – всюду возрастающая функция, а правая – всюду убывающая.

Ответ: 1; .

Пример 2. 

 Решить уравнение     + х = 2.

Решение. Применив основное логарифмическое тождество, получим уравнение                                               х2 – 2х – 1 + х = 2,                                                                                          (*)

корни которого                                      х1 =  и х2 = .

Теперь достаточно проверить, какое из полученных чисел удовлетворяет неравенству:

                                                                 х2 – 2х – 1  0.                                  (**)

Это можно сделать проще (не подставляя в неравенство полученные числа). Перепишем уравнение (*) в виде             х2 – 2х – 1 = 2 – х,

тогда видим, что выражение    х2 – 2х – 1 положительно тогда и только тогда, когда х  2. Таким образом, вместо проверки неравенства (**) можно проверить условие х  2. Теперь видно, что только х =  является корнем данного уравнения.   Ответ: .

Пример 3.  Решить уравнение     = .

Решение. В данном уравнении удобно применить следующий прием: разделив числители и знаменатели в обеих частях уравнения на   0,получим равносильное исходному уравнение:

 =.

Далее сделаем замену  = у, у0 и получаем  =.  (*)

Можно заметить, что у  1, у  . Таким образом, получаем равносильное (*) уравнение

(5 + 5у) (2 – 3у) = 4 – 4у;   10 – 5у – 15у2 – 4 + 4у = 0;  

15у2 + у – 6 = 0; D = 1 + 360 = 361;

у1=   у2= ;   у1 =  , у2 0.

Вернемся к нашей замене, получим уравнение  = , откуда х = 1.

Ответ: 1.

Пример 4. Решить уравнение    + =  + 1.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде:

 +  =  + 1.

Сделаем замену  = ; = b, b тогда  + -1 – 2 – 1 = 0;

2b + b – 3 –  = 0;   2(b – ) + (b – ) = 0;   (b – )(2 + 1) = 0, откуда b =  поскольку уравнение 2 + 1 = 0 корней не имеет.

Таким образом, =  и   х2 + 1 = 2х. Очевидно, что х = 1.

Ответ: 1.

Пример 5.  Решить уравнение   6 ·  + 8 · = 48.

Решение. Разделим обе части уравнения на 24, получим уравнение

+  = 2.

Применяя неравенство ||| + |b| (его легко доказать возведением обеих частей в квадрат), получим |х – 2| + |х – 4|  |х – 2 – (х – 4)| = 2 и

|х – 1| + |х – 3|  |х – 1 – (х – 3)| = 2, поэтому  1 и  1.

Тогда, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

    .      Ответ:

Пример 5.   Решить уравнение   х2 – 2х + 2 = 2 ·  –  

Решение. Представим уравнение в виде ( – 1)2 + (х – 1)2 = 0. Это уравнение равносильно системе:   откуда  х = 1.

Ответ: 1.

Пример 6.     Решить уравнение     +  +  = 6,5 + 3,25 + 1,625 + …(выражение в правой части – бесконечная геометрическая прогрессия).  

Решение. В правой части – сумма членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии S, где b1 = 6,5; q =  = 0,5  S =  =  = 13.

Теперь перепишем уравнение в виде  +  +  = 13   · =13,  = 16,

откуда х = 4.     Ответ: 4.      

Пример 7. Решить уравнение   3 ·  + 37 ·  = 26 · .

Решение. Для того, чтобы решить данное уравнение разделим обе его части на . Получаем

                        3 ·  + 37 · – 26 = 0.                                    (*)

   Пусть  t = , t  тогда уравнение (*)  принимает вид  

3t2 + 37t – 26 = 0,

корнями которого являются числа   .

 Итак, исходное уравнение равносильно уравнению:

 =  ,

  из которого находим единственный корень  исходного уравнения:    =    =    х = .   Ответ: .

6. Решение показательных уравнений с параметром.

Пример 1.   Найти решение уравнения 3  + 27 =   · при всех  значениях  Решение. Запишем уравнение в виде    3  –   · =  – 27  

 (3 – ) · = – 27     = , где   0.

Прологарифмировав обе части уравнения по основанию 4, получим:

 = )  х – 2 = ), х = 2 + ), где   0.

Решим полученное неравенство методом интервалов и получим .

Ответ: 2 + ), где при  уравнение решений не имеет.

Пример 2.  Решить уравнение     · =    при всех действительных значениях

Решение. Уравнение имеет смысл при  Тогда запишем уравнение в виде:

 · =    =     =    х = ,

где  –  3, учитывая область допустимых значений

Ответ:  при ; нет корней при ;

Пример 3.  Решить уравнение  = 1.

Решение. Если  – 1 = 1, т.е.  = 2, тогда х..

Если , то х2 – х + 1 = 0 и х1,2 = .

Ответ: х, при  = 2; , при при (;  уравнение решений не имеет.

Пример 4. При каких значениях параметра р уравнение

 = 2 имеет единственное решение?

Решение. Поскольку:

,

сделав замену , тогда получим уравнение вида:

 = 2    +  = (  )2 = 0  

 =  . Прологарифмировав обе части уравнения, получим: х = х          (*)

     При любом значении параметра р есть решение х = 0, поэтому для единственности решения уравнения необходимо и достаточно, чтобы второе уравнение совокупности не имело решений.

Область допустимых значений (*):

Если  то

Если , то

     Данное уравнение имеет единственное решение(х = 0 – решение исходного уравнения при любом значении р), если уравнение  не имеет решений, что происходит тогда, когда 9р2 -24 Ответ:

Пример 5.  При каждом значении параметра  решить уравнение

 + 1 = .

Решение. Запишем уравнение в виде:   = . Тогда если  уравнение  обращается в тождество, верное при любом значении переменной, т.е. х.. При

разделим обе части  уравнения на . Получим  =. Обозначим р =   Учитывая, что 0 получим, что , или 1Таким образом, 1 , следовательно 3  Теперь сделаем обратную замену при плученных значениях , тогда . Решения уравнения :

х =

Ответ:  при  ; (-  при  при других значениях  уравнение решений не имеет.