Задачи с параметром из второй части «Профильного ЕГЭ по математике»
тренажёр по алгебре (11 класс)

Задачи с параметром из второй части «Профильного ЕГЭ по математике»

1.

2.

Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение   имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).

3.

Найти все значения параметра  при каждом из которых среди значений функции  есть ровно одно целое число.

4.

Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три корня.

Примеры решений задач с параметром из второй части «Профильного ЕГЭ по математике»

1. Найдите все значения a, при которых уравнение  имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку (−1; 1].

Решение.

Уравнение  равносильно системе 

Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  если уравнение  имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку  либо промежутку 

Поскольку графиком функции  является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке  уравнение  имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  при условии 

 (рис. 1).

Уравнение  имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  при условии

 (рис. 2).

Уравнение  имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку  при  и при 

Ответ: 

2. Найти все значения параметра  при каждом из которых среди значений функции есть ровно одно целое число.

Решение.

Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Уравнение  при любом  имеет решение  Значит, при любом  одно из значений функции равно 1.

Поскольку функция непрерывна, множество её значений образует промежуток, включающий число 1. Других целых значений функции нет, если для всех 

Чтобы неравенства выполнялись для всех  дискриминанты обоих трёхчленов должны быть отрицательны:

Таким образом, подходящие значения параметра 

Ответ: (1; 11).

3. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет три различных корня.

Решение.

Заметим, что x = 9 не является корнем уравнения ни при каком a и перепишем уравнение в виде , после чего исследуем функцию  на возрастание и убывание.

При  имеем 

поэтому функция возрастает, при этом  Итак, на этом промежутке функция принимает все неотрицательные значения по одному разу.

При  имеем 

поэтому функция убывает на промежутках  и  при этом   прямая x = 9 является вертикальной асимптотой графика. Итак, на этом промежутке функция принимает все значения по одному разу.

При  имеем 

поэтому функция убывает на промежутке  и возрастает на промежутке  при этом    Итак, на этом промежутке функция принимает все значения из промежутка  по два раза, а значения 0 и -4 — по одному разу.

При  имеем 

поэтому функция возрастает, при этом  

Итак, на этом промежутке функция принимает все отрицательные значения по одному разу. Объединяя, получаем, что на промежутках кроме  функция принимает каждое свое значение ровно два раза. Значит, на этом промежутке она должна принимать такое значение один раз.

Ответ:a = 0; a = -4.