Учитель математики Гомбожапова Дарима Сергеевна
учебно-методический материал по алгебре (9, 10, 11 класс)

МОУ «Гурульбинская СОШ»

Решение задач

 на растворы, смеси и сплавы

практикум по решению задач

из опыта работы Гомбожаповой Д.С.

Содержание

1. Общие вопросы по теории
2. Несколько решений одной задачи
3. Решение задач из ЕГЭ

Введение

 В  школьном  курсе  математики  практически  мало  времени  уделяется задачам  на  растворы,  смеси  и  сплавы,  хотя в  заданиях ОГЭ, ЕГЭ и на     олимпиадах по математике  они встречаются.    При  решении  задач  на  растворы,  смеси  и  сплавы  можно проверить свои знания по разделам школьной математики, уровень математического и логического мышления, оценить  свои  способности  к  математике.

Мною была использована в основном литература для подготовки к ЕГЭ по заданной теме, также несколько вторичных источников и информация, взятая из интернета

Целью  моей  работы станет предложение нескольких способов решения конкретных задач на концентрацию, смеси и сплавы.

     Рассматривая  задачи  на  составление  уравнений,  остановлюсь  прежде  всего  на  тех,  решение  которых  связано  с  использованием  понятий  «концентрация»  и  «процентное  содержание».  Обычно  в  условиях  таких  задач  речь  идет  о  составлении  сплавов,  растворов  или  смесей  двух  или  нескольких  веществ.

1. Общие вопросы по теории 

Основными понятиями  в этих задачах являются:

• масса  или  объём   раствора (смеси, сплава); 

• масса  или  объём  вещества  входящего  в  раствор  (смесь  или  в  сплав); 
• концентрация  (объёмная  или  массовая)  вещества;
• процентное  содержание вещества;
• доля  или  часть  раствора (смеси, сплава).

Основные  допущения,  как  правило,  принимаемые  в  задачах  подобного  рода,  состоят  в  следующем:

1. все смешиваемые  вещества  не вступают в химическую реакцию, все  получающиеся  сплавы  или  смеси  однородны;
2. при  слиянии  двух  растворов,  имеющих  объемы  V1  и  V2,  получается  смесь,  объем  которой  равен  V1 + V2,  т.е.

V0=V1 + V2,

причем  это  соотношение  является  именно  допущением,  поскольку  не  всегда  выполняется  в  действительности,  например,  объём  смеси  спирта  и  воды  на  самом  деле  несколько  меньше  суммы  объёмов  спирта  и  воды.  При  слиянии  двух  растворов  не  объем, а  масса  смеси  равняется  сумме  масс  составляющих  ее  компонент:

m0=m1+m2;

3. закон  сохранения  объёма  или  массы  имеет  место и для  отдельных  частей  (компонентов)  раствора,  смеси  и  сплава.

Если  первый  сплав  состоит  из  нескольких  компонентов,  например,  A,  B  и  C,  а  второй – из  компонентов  B,  C  и  D,  то  новый  сплав,  полученный  при  соединении  этих  двух  сплавов,  будет  содержать  компоненты  A,  B,  C,  и  D,  причем  массы  этих  компонентов  в  новом  сплаве  равны  сумме  масс  каждого  из  компонентов,  входящих  в  первый  и  второй  сплавы.

Рассмотрим  для  определенности  смесь  трех  компонент  A,  B  и  C.  Объем  смеси  V0  складывается  из  объемов  чистых  компонент:

V0= VA + VB + VC,

а  три  отношения,  

           ,   ,     ,

показывают,  какую  долю  полного  объема  смеси  составляют  объемы  отдельных  компонент:

VA=cA·V0,     VB=cB·V0,     VC=cC·V0 .

        Отношение  объема  чистой  компоненты  (VA)  в  растворе  ко  всему  объему  смеси  (V0)

называется  объемной  концентрацией   этой  компоненты.

        Концентрации – это  безмерные  величины;  сумма  концентрации  всех  компонент,  составляющих  смесь,  очевидно,  равна  единице:

cA + cB + cC = 1.

Поэтому  для  того,  чтобы  структура  раствора,  состоящего  и  n  компонент,  была  определена,  достаточно  знать  концентрацию  (n-1)-й  компоненты.

Если  известны  концентрации  cA,   cB   и  cC  компонент,  составляющих  данную  смесь,  то  ее  объем  можно  разбить  на  объемы  отдельных  компонент  (рис. 1):

                                          V0= cA·V0+ cB·V0+ cC·V0 .                                         (1)

Объемным  процентным  содержанием  компоненты  A  называется  величина                   pA=cA·100%,

т.е.  концентрация  этого  вещества,  выраженная  в  процентах.

Очевидно          pA + pB +pC=100%.

        Если  известно  процентное  содержание  вещества  A,  то  его  концентрация  находится  по  формуле    .        

Так,  например,  если  процентное  содержание  составляет  80%,  то  соответствующая  концентрация  равна  0,8.  Процентному  содержанию  10%  соответствует  концентрация  0,1  и т.д.                                                      

Таким  же  способом  определяются  и  массовые  концентрация  и  процентное  содержание,  а  именно,  как  отношение  массы  чистого  вещества   A  в  сплаве  к  массе  всего  сплава.  О  какой  концентрации,  объемной  или  массовой,  идет  речь  в  конкретной  задаче,  всегда  ясно  из  ее  условия.

        Встречается  сравнительно  немного  задач,  в  которых приходится  пересчитывать  объемную  концентрацию  на  массовую  или  наоборот.  Для  того  чтобы  это  сделать,  необходимо  знать  плотности  компонент,  составляющих  раствор  или  сплав.  Рассмотрим  для  примера  двухкомпонентную  смесь  с  объемными  концентрациями  компонент  c1  и  c2    (c1+c2=1)  и  плотностями  компонент  ρ1  и   ρ2 .  Масса  смеси  может  быть  найдена  по  формуле

M=V1·ρ1+ V2·ρ2=V0·c1 ·ρ1+ V0·c2 ·ρ2,

в  которой  V1  и  V2 – объемы  составляющих  смесь  компонент.  Объемные  концентрации  выражаются  друг  через  друга  следующим  образом

c1=1-c2  и  c2=1-c1 .

Массовые  концентрации  компонент  находятся  из  равенств

,

,                                                

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 которые  определяют  связь  этих  величин  с  объемными  концентрациями.

        Как  правило,  в  условиях  задач  рассматриваемого  типа  встречается  один  и  тот  же  повторяющийся  элемент:  из  двух  или  нескольких  смесей,  содержащих  компоненты  A1,  A2,  A3, …,  An, составляется  новая  смесь  путем  перемешивания  исходных  смесей,  взятых  в  определенной  пропорции.  При  этом  требуется  найти,  в  каком  отношении  компоненты A1,  A2,  A3, …,  An   войдут  в  получившуюся  смесь. Для  решения  таких  задач  удобно  ввести в  рассмотрение  объем  или  массу  каждой  смеси,  а  также  концентрации  составляющих  их  компонент  A1,  A2,  A3, …,  An.  С  помощью  концентраций  нужно  «расщепить»   каждую  смесь  на  отдельные  компоненты,  как  это  сделано  в  формуле  (1),  а  затем  указанным  в  условии  задачи  способом  составить  новую  смесь.  При  этом  легко   подсчитать,  какой  объем  (какая  масса)  каждой  компоненты  входит  в  получившуюся  смесь, а  также  полный  объем  (полную  массу)  этой  смеси.  После  этого  определяются  концентрации  компонент  A1,  A2,  A3, …,  An  в  новой  смеси.

2. Несколько решений одной задачи

Задача. Смешали  10%-й  раствор  серной  кислоты  с  30%-м  раствором  той  же  кислоты.  В  результате  получили  600 г  15%-го  раствора  серной  кислоты.  Сколько  нужно  было  взять  того  и  другого  раствора?

Решим  эту  задачу разными  способами.  Чаще  всего  при  решении  пользуются  алгебраическим  способом.  В  данном  случае  можно  предложить четыре  таких  решения.

Первое  решение.  Пусть  нужно  взять  x г  10%-го  раствора,  тогда  придётся  взять (600-x) г  30%-го  раствора. Так  как  в  результате  смешивания  получается  15%-ный  раствор,  составляем  уравнение

0,1x+0,3(600-x)=0,15·600.

Решив  это  уравнение,  получаем  ответ:  10%-го  раствора - 450 г, 30%-го  раствора – 150 г.

Второе  решение.   Обозначение:  требуется  взять  x г  10%-го  раствора,  y г  30%-го  раствора.  На  основании  условий  задачи  приходим  к  простой  системе

Решая  её  любым  способом  либо  подстановкой,  либо  сложением  мы  найдем  те  же  450 г  и  150 г.

Третье  решение.  По условию  задачи  в  600 г  раствора  должно  содержаться  90 г  чистой  серной  кислоты  (0,15·600=90).  Предположим,  что  мы  взяли  бы  все  600 г  10%-го  раствора.  В  нём  содержалось  бы  только  60 г  серной  кислоты  (0,1·600=60), т.е.  необходимо  ещё  30 г. Недостающее  количество  серной  кислоты  можно  получить,  если  часть  10%-го  раствора  заменить  более  насыщенным  30%-м. Каждый  грамм (в  силу  однородности  раствора)  10%-го  раствора  содержит  0,1 г  чистой  серной  кислоты,  а  1 г  30%-го  раствора  содержит  0,3 г  чистой  серной  кислоты.  Таким  образом,  при  замене  одного  грамма  10%-го  раствора  на  1 г  30%-го  содержание  кислоты  в  растворе  увеличивается  на  0,2 г.  Всего  недостает  30 г.  Так  как  30:0,2=150,  значит  надо    150 г 10%-го   раствора заменить на  150 г  30%-го. Отсюда  получаем:  10%-го  раствора – 450 г,  30%-го – 150 г.

Четвертое  решение.  Для  наглядности  рассуждений  воспользуемся  изображенной  на  рисунке 5  схемой.  В  силу  однородности  растворов  в  каждой  доле  полученного  15%-го  раствора  должно  содержаться  15  частей  чистой  кислоты  (это  число  15  стоит  в  центре  схемы).  Следовательно,  каждая  доля  10%-го  даёт  недостачу  в  5  частей  (- 5),  а  каждая  доля  30%-го  раствора  даёт  избыток  в  15  частей (+15).  При  смешивании  избыток  и  недостаток  должны  погаситься,  поэтому  исходные  растворы  следует  брать  в  отношении,  обратном  к  данному  5:15,  т.е.  15:5  или  3:1.  Разделив  600г  в  данном  отношении,  мы  получим  искомый  ответ:  450г и  150г. Фактически,  данный  способ  позволил  решить  более  общую  задачу:  каково  должно  быть  соотношение  10%-го  и  30%-го  растворов,  чтобы  при  смешивании  получился  15%-ый  раствор.

3. Решения задач из ЕГЭ

Задача 1. В сосуд, содержащий 180 г 70% -го водного раствора уксуса добавили 320 г воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты.

Решение.  Масса уксусной кислоты не изменилась  и  равна

m1=0,7·180=126 (г).

Получившийся   раствор  имеет  массу

180 г + 320 г = 500 г

Концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна

k==25,2%                  Ответ. 25,2%.

Задача 2.  Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 150 г  70% -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 6 % раствор уксусной кислоты?

Решение.  Количество  воды  необходимое  для  доливания  в  сосуд обозначим  через  x.

Так  как  масса  уксусной  кислоты  осталась  прежней,  составляем  и  решаем  уравнение

0,06(150 + x) = 105,      

9 + 0,06x = 105,      

0,06x = 96,

x = 1600.                                

                                                                         Ответ. 1,6 кг воды.

Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20% раствора этой же кислоты. Найти концентрацию соляной кислоты  в  получившейся  смеси.

Решение.  Обозначим: x – концентрация  кислоты  в  смеси,  y кг – масса  каждого  раствора.

По  закону  сохранения  массы для  отдельных  компонентов  имеем,  масса  соляной  кислоты  в  смеси  равна  сумме  масс  этого  вещества,  входящих  в  первый  и  второй  растворы

2xy=0,12y+0,2y.

Из  y≠0  следует

2x=0,12+0,2=0,32

x=0,16.

Выражаем  в  процентах: 16%.

Ответ. 16%

Задача 4. Смешали 8кг 18% раствора некоторого вещества с 12 кг 8% раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора.

        Решение.  Пусть x – концентрация  смеси  из  двух  растворов.

По  закону  сохранения  массы для  отдельного  вещества  получаем  уравнение

20x=1,44+0,96

20x=2,4

x=0,12

или  в  процентах:12%.

Ответ.  12%

Задача 5. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70% сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40% сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55% содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35% содержание сахара. Найдите массу сахарного сиропа в третьем сосуде и концентрацию сахара в нём.

        Решение. Обозначения: x кг - масса  сахарного  сиропа  в  третьем  сосуде,  y – концентрация  сахара  в  нём.

По  условию  задачи  составляем  уравнения:

для  1  смеси

0,55(4+x)=2,8+ xy,

для  2  смеси

0,35(6+x)=2,4+ xy.

Итак, получаем систему уравнений:

Масса  сахарного  сиропа  в  третьем  сосуде  равна 1,5 кг,  а  массовое  процентное  содержание  равно 15%.

Ответ. 1,5 кг, 15%.

Задача 6. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8:3, а во втором - 12:5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава?

Решение.  Эту  задачу  можно  решить  без  составления  уравнений.

  (кг)  масса золота в I сплаве,

  (кг) масса золота в II сплаве,

121+255=376 (кг)  масса III сплава,

88+180=268 (кг)  масса золота в III сплаве,

376-268=108 (кг) масса меди в III сплаве.

Ответ.  268 кг золота и 108 кг меди.

Задача 7.  При  смешивании  5%-го  раствора  кислоты  с  40%-ным  раствором  той  же  кислоты  получили  140г  30%-го  раствора.  Сколько  граммов  каждого  раствора  было  для  этого  взято?

  Решим  задачу  при  помощи  схемы. Число  30  ставим  в  центр  схемы. Число 5  ставим  в верхнем  левом  углу  схемы,  число  40  в  правом  верхнем  углу. Каждая  доля  5%-го  раствора  даёт  недостачу  в  25  частей (-25),  а  каждая  доля  40%-го  раствора  даёт  избыток  в  10  частей  (+10).  Так  как  при  смешивании  недостаток  и  избыток  должны  гаситься,  то  растворы  будем  брать  в  отношении    обратном  к данному 25:10,  т.е. 10:25  или  2:5.

5%-го:  140:7·2=40 (г),

40%-го: 140:7·5=100 (г).

Ответ. 40г  и  100г.

Задача  8.  Имеется  два  сосуда  с  24%-м  раствором  спирта  и  64%-м раствором  спирта  соответственно.  Как  можно  получить  40%-ый  раствор  спирта,  имея  в  распоряжении  только  кружку  неизвестной  ёмкости  и  пустой  сосуд  для  смешивания?

Решаем  при  помощи  схемы.  Из  схемы  видно,  чтобы получить  40%-ый  спирт  надо  взять  растворы  в  отношении  24:16  или  3:2,  т.е.  необходимо  зачерпнуть  3  кружки  из  сосуда  с  раствором  24%-м  спирта  и  2  кружки  из  сосуда  с  64%-м  спирта.

Ответ.  3:2.

Заключение

 Знание некоторых способов решения задач на концентрацию, смеси  и сплавы поможет мне в подготовке к сдаче ЕГЭ по математике, химии и в продолжении образования, а также в профессиональной деятельности. В процессе решения задач на  растворы,  смеси  и  сплавы в арсенал приёмов и методов человеческого мышления естественным образом включаются индукция и дедукция, обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия 

Список использованной литературы

1. ЕГЭ Математика. Самостоятельная подготовка к ЕГЭ. Универсальные материалы с методическими рекомендациями, и ответами. Л.Д. Лаппо, М.А. Попов-М., Издательский дом «Экзамен», 2014

2. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому

государственному экзамену. Математика. Составители: Л.Д.Лаппо, М.А. Попов и др. - М.,: «Экзамен», 2017

 3. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Авт. –

сост. В. Н. Студенецкая, Л. С. Сагателова. – Волгоград: «Учитель»,

2007. – 205 с.

4. Сборник задач по математике с решениями. 7-11 кл. Под ред.

М.И.Сканави. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21век»; ООО

Издательство «Мир и Образование», 2003.

5.ОГЭ 2017 . Математика. 9 класс. Тематические тестовые задания. С.С. Минаева, Н.Б. Мельникова – М.,: «Экзамен», 2017