Неравенства, содержащие радикалы. По материалам ЕГЭ.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (10 класс)

Иррациональные неравенства.

1.Решите неравенство 

Правая часть неравенства неотрицательна:
 (по определению корня квадратного).

Поскольку  левая часть положительна: 

Выражение под корнем должно быть неотрицательным. Неравенство равносильно системе:

Ответ: (5;+∞)

2.Решите неравенство .

   Здесь правая часть может быть и положительной, и отрицательной, и равной нулю. И надо рассмотреть все эти случаи.

1) Пусть правая часть неравенства неотрицательна. И левая тоже неотрицательна (по определению арифметического квадратного корня). И подкоренное выражение неотрицательно. Значит, при  обе части неравенства можно возвести в квадрат.

Получим:

Разложим выражение  на множители. Корни уравнения  – это  и .

Получаем систему:

2) Пусть теперь правая часть неравенства отрицательна. Если  то неравенство выполняется. В самом деле,  по определению. Значит, 

Нам нужно только, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно: .

Получим:

Объединим полученные интервалы и запишем ответ.

Ответ: .

3.Решите неравенство 

Ответ: 

4.Решите неравенство 

Ответ:  

5.Решите неравенство 

Сделаем замену , тогда 

Ответ: 

6. Решите неравенство

Ответ: 

Неравенства, содержащие радикалы. По материалам ЕГЭ.

1. Задание 15 № 507582

Решите неравенство 

Решение.

Решение неравенства ищем при условиях:  откуда 

Рассмотрим два случая:

1)  т. е.  и, значит,  или  Тем самым,  — решение задачи.

2)  Разделив обе части неравенства на  получим:  откуда 

Решим это неравенство, получим:  или 

Учитывая ограничения, получаем множество решений исходного неравенства: 

Ответ: 

2. Задание 15 № 507612

Решите неравенство 

Решение.

Имеем:

Ответ: 

Примечание.

Напомним, что  При этом условие  избыточно, так как величина, большая неотрицательной, заведомо положительна. Существенным моментом решения является хорошее понимание этого обстоятельства. Именно поэтому, решая неравенство  нет необходимости дополнительно решать неравенство 

3. Задание 15 № 507792

Решите неравенство 

Решение.

Пусть  Получаем систему неравенств:

Следовательно:

Таким образом, решением исходного неравенства является множество 

Ответ: 

4. Задание 15 № 507894

Решите неравенство 

Решение.

Перейдем к равносильной системе:

Из первого неравенства получаем  или 

Второе неравенство выполняется при всех 

Из третьего неравенства получаем  или 

Таким образом, множество решений исходного неравенства: 

Ответ: 

5. Задание 15 № 508431

Решите неравенство: 

Решение.

Неравенство имеет смысл при 

1. Пусть  Тогда  и неравенство равносильно неравенству  Решим систему:

2. Заметим, теперь, что  также является решением.

Ответ: 

6. Задание 15 № 511239

Решите неравенство 

Решение.

Последовательно получаем:

И решим это неравенство методом интервалов, учитывая, что 

Ответ: 

7. Задание 15 № 485951

Решите неравенство 

Решение.

Если  то  или  При этих значениях  выражение  имеет смысл, поэтому  и  являются решениями неравенства.

Если  то  при этом  Тогда

Пересекая полученное решение с множеством  и учитывая, что точки 0 и 6 также входят в являются решениями неравенства, получим множество решений исходного неравенства: 

Ответ: 

8. Задание 15 № 507175

Решите неравенство 

Решение.

Данное неравенство эквивалентно системе неравенств:

Решим второе неравенство системы методом интервалов:

Отметим на прямой точки, как показано на рисунке:

Учитывая неравенство  получаем решение: 

Ответ: 

9. Задание 15 № 539881

Решите неравенство 

Решение.

Корень существует на отрезке [1; 5]. Преобразуем неравенство на этом множестве: приведем к общему знаменателю, и воспользуемся методом интервалов (см. рис.):

Ответ: