Текстовые задачи в профильном уровне ЕГЭ по математике
статья по алгебре (11 класс)

Текстовые задачи  в профильном уровне ЕГЭ по математике

                                                                 Короткова Елена Владиславовна

                                                                 Санкт-Петербург

Текстовые задачи  являются важной составляющей  школьного курса математики, поэтому наличие таких задач  в  ЕГЭ оправдано и необходимо для оценки общей математической подготовки выпускников. Предложенные для решения на экзамене задачи стандартные. И особых вопросов эти задания вызывать не должны.

Однако изучение текстовых задач происходит в основной школе, рассматриваются они недостаточно основательно, поэтому приобретённые в основной школе навыки и знания решения таких задач со временем теряются. Для того чтобы успешно справляться с этими заданиями, необходимо в ходе подготовки к ЕГЭ  повторить классификации задач, а также систематизировать знания  по математике.

Все текстовые задачи  можно  условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д.

По методу решения задачи делятся на задачи решаемые: арифметическим методом, алгебраическим методом и геометрическим методом.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим методом значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу можно решить различными арифметическими способами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом – это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств).

При решении задач алгебраическим методом основная деятельность учащегося сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи  при составлении уравнений или неравенств по условию задачи.

Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенства или системы неравенств.

Третьим важным этапом решения задач является проверка решения задачи, которая проводится по условию задачи.

Геометрический метод. Он состоит в том, что решение задачи сопровождается наглядным представлением, иногда доказательство или решение видно из наглядной картины. Под геометрическим методом решения алгебраических задач  понимается метод решения, заключающийся в использовании геометрических представлений (изображений), законов геометрии и элементов аналитических методов (уравнений или неравенств), систем уравнений, арифметических выражений и др.

Рассмотрим один из распространенных типов задач – задачи на работу.

Эти задачи содержат в себе информацию о выполнении некоторой работы несколькими субъектами (рабочими, насосами, механизмами и т. п.). Объём работы в таких задачах обычно не указывается и не является искомым, а также предполагается, что выполняемая работа проводиться равномерно, т. е. с постоянной производительностью для каждого субъекта.  

В задачах на работу, системы уравнений содержат следующие величины:

•  – время выполнения работы;
•  – производительность, т. е. работа, производимая за единицу времени.  
•  – работа, выполняемая за данное время.

Эти три величины связаны соотношением

Обычно величина выполняемой работы нас не интересует, поэтому удобнее принимать объём всей работы за единицу, т. е. .

Исследуя прототипы из Открытого Банка задач ЕГЭ по математике на движение и производительность, нельзя не заметить, что все задачи данного типа можно разделить на две группы – задачи на «детали»  и задачи на «трубы». Для каждой из них составим  общие модели решения типовых задач, которые знать будет очень полезно.

В задачах «на детали» за неизвестные, как правило, надо принимать производительность – её роль такова же, как роль скорости в задачах на движение.

Правила решения задач на работу очень просты.

1. , то есть работа= производительность  время. Из этой формулы легко найти t или v.
2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Заполнен  бассейн (один). Построено  здание (одно). А вот если речь идет о количестве кирпичей, воды или деталей — работа как раз и равна этому количеству.
3. Если трудятся двое  и более объектов  (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются.
4. В качестве переменной  удобно взять именно производительность.

Рассмотрим  применение  алгебраического метода  решения таких задач на практике.

Задача.  На изготовление 16 деталей первый мастер затрачивает на 6 часов меньше, чем второй мастер на изготовление 40 таких же деталей. Известно, что первый за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй мастер?

1 способ. Примем за х время работы одного из мастеров.

Решение:

Пусть  часов затрачивает второй мастер на изготовление 40 деталей. По условию задачи составим таблицу.

Зная, что первый мастер за час делает на 3 детали больше, чем второй, составим и решим уравнение.

Таким образом, второй мастер делает 40:8=5 деталей в час.

Ответ: 5 деталей в час.

2 способ. Примем за х производительность одного из рабочих.

 Решение:

Пусть  деталей в час делает второй мастер, где  По условию задачи, составим таблицу.

Зная, что первый мастер на выполнение работы затрачивает на 6 часов меньше, чем второй мастер, составим и решим уравнение.

Таким образом, второй мастер делает 5 деталей в час.

Ответ: 5 деталей в час.

Из приведенных решений видно, что выбор неизвестных не влияет на ответ задачи, но от этого зависит длина решения. Поэтому при решении задачи,  выбирать неизвестные стоит исходя из условия. Чем меньше действий предстоит совершить, тем быстрее решается  задача. А это очень большое преимущество на экзамене.

В задачах «на трубы»  модель решения схожа с задачами «на работу». Разница лишь в том, что здесь производительность трубы – это объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Иногда в подобных задачах за неизвестные необходимо одновременно принять и объём бассейна, производительность труб, время наполнения и слива бассейна каждой трубой. Из-за большого количества неизвестных задача на первый взгляд может показаться очень трудной и нерешаемой, но это не так. Рассмотрим пример решения задачи.

Задача. Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

Решение:

Пусть  литров воды в минуту пропускает вторая труба. По условию задачи составим таблицу.

Зная, что вторая труба  заполняет резервуар на 1 минуту быстрее, чем первая труба, составим и решим уравнение.

Таким образом, вторая труба пропускает 11 литров воды в минуту.

Ответ: 11 литров воды в минуту.

Решая задачи «на работу», нужно  принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе.

В заключении можно сделать некоторые выводы и дать рекомендации, которые необходимо знать при сдаче ЕГЭ.

При решении любых текстовых задач нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми.

Для преобразования условия задачи в математическую модель математические знания практически не нужны – необходим здравый смысл. Очень важно обязательно сформулировать, используя переменные, что необходимо найти, т. к. переменных может быть намного больше, чем уравнений, где все их найти просто невозможно.

Решая уравнения нужно помнить, что в текстовых задачах все величины, как правило, положительны, т. к. в природе отрицательных скоростей и расстояний не существует. Это даёт право на умножение, деление и на возведение в квадрат получающиеся уравнения и неравенства.

Решая задачи «на работу», очень выгодно принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе.

Список литературы:

1. Ерина Т.М. Алгебра. Текстовые задачи - Москва,  МГТУ  «МАМИ»,2004

2. Методика преподавания математики в средней школе: общая методика  А.Я. Блох и другие, Москва,  Просвещение, 1985.

3.Турецкий Е.Н., Фридман Л.М. -Как научиться решать задачи, Москва,  Просвещение, 1989

4. Решение текстовых задач. http://schoolcollection.edu.ru/catalog/res/d92c7ae3-a9f1-4ff3-afb0-e1f1783fee48/?from=8f5d7210-86a6-11da-a72b-0800200c9a66&.

5. Презентационные подходы в решении текстовых  задач. http://school-collection. edu.ru/.