Методическая разработка по теме "Формулы сокращенного умножения"
методическая разработка по алгебре (7 класс)

Слайд 1

Формулы сокращенного умножения (7 класс) подготовила студентка 3 курса 2 группы Павлова Дарья

Слайд 2

Основные математические понятия Квадрат суммы и разность двух выражений куб суммы и разность двух выражений разность квадратов двух выражений разность и сумма кубов двух выражений применение ФСУ в преобразовании выражений

Слайд 3

Цели изучения темы: Обучающие: Повторить тему умножения многочленов вывести ФСУ Научить правильно словесно проговаривать формулы Применение формул в обе стороны (“Слева направо” и “справа налево” Развивающие: Развитие интереса к предмету развитие внимания развитие логических умений

Слайд 4

ФСУ, изучаемые и используемые в 7 классе Обязательные (базовые) Квадрат суммы: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Квадрат разности: (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 Разность квадратов: a 2 -b 2 = (a+b)(a-b) Повышенного уровня Куб суммы: (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 Куб разности: (a-b)=a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3 Сумма кубов: a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 ) разность кубов: a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ) 3) Профильного уровня квадрат суммы 4 слагаемых : (a+b+c+d)=a 2 +b 2 +c 2 +d 2 +2(ab+ac+ad+bc+bd+cd) Квадрат суммы n слагаемых равен сумме их квадратов плюс удвоенная сумма всевозможных попарных произведений этих слагаемых: (a 1 +a 2 +...+a n ) 2 =a 1 2 +a 2 2 +...+a n 2 + 2(a 1 a 2 +....) (a+b) n (Бином Ньютона) , где числовые коэффициенты определяются с помощью “треугольника Паскаля”

Слайд 5

Треугольник Паскаля (необязятельный слайд, просто напоминание) 1 (a+b) 0 1 1 (a+b) 1 1 2 1 (a+b) 2 1 3 3 1 (a+b) 3 1 4 6 4 1 (a+b) 4

Слайд 6

Основные методические положения работы с ФСУ Умение видеть квадрат выражение, а не “Квадрат числа”, для этого целесообразно при изучении темы использование схем (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Пример

Слайд 7

Основные методические положения работы с ФСУ 2) Акцентирование внимания на словесной формулировке формул Квадрат разности (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 Разность квадратов a 2 - b 2 = (a+b)(a-b) (Первое слово соответствует последнему действию)

Слайд 8

3) Иcпользование формул сначала “Слева направо” , затем - “Справа налево” представить выражение в виде слагаемых: а) (3a+2b) 2 = 9a 2 + 12ab +4b 2 b) (4a-2b) 2 = 16a 2 - 16ab +4b 2 Представить сумму в виде произведения (разложить на множители выражение) а) 4x 2 -4xy+y 2 = (2x-y) 2 b) 16 a 2 +24ab +9b 2 = (4a+3b) 2

Слайд 9

4) Последовательность в изложении материала (сначала рассматривать задания базового уровня, затем повышенного) упростите выражение: (базовый) (3p+1)(3p-1) = (повышенный) (4x-5y)+(5y+4x)= Вычислите: (Базовый) 79*81 = ( 80-1)(80+1)=6400-1=6399 (Повышенный) 2,7*3,3 = (3-0,3)(3+0,3)= 9-0,09 = 8,91 (Профильный) Сравнить: 246357 2 и 246356*246358

Слайд 10

Применение формул сокращенного умножения При вычислении: ( 53 2 +22 2 - 47 2 -16 2 ): (65 2 -2*65*59+59) 2 = …. При сокращении дробей: = При преобразовании выражений (1-a)(1-a+a 2 )(1+a+a 2 )(1+a)=(1-a 3 )(1+a 3 )=1-a 6 При решении уравнений: x 2 -6x+5 = 0 x 2 -6x+9 -4 = 0 (x-3) 2 -4 = 0 (x-3) 2 - 2 2 = 0 (x-3+2)(x-3-2)=0 ... 4x 2 +4x+1 = (x-2) 2 (2x+1) 2 = (x-2) 2 (2x+1) 2 - (x-2) 2 =0 (2x+1+x-2) (2x+1-x+2) = 0 ... 5) При решении систем уравнений x-5y = 5 x 2 -25y 2 = -75

Слайд 11

Типовые ошибки при работе с ФСУ, их причины и возможности устранения выделяют квадрат только из неизвестных, оставляя их коэффициенты без изменений Причина: учащиеся не до конца понимают формулы, не запоминают их или не могут быстро оценить порядок выполнения действий в предложенном буквенном ряду Пример: 4x 2 -16y 2 =(4x-16y)(4x+16y) (Ошибка) Для устранения ошибки необходима подготовительная работа - научить “видеть квадрат выражения”, а также уделить внимание порядку выполнения действий: Представить в виде квадрата 16x 2 ; 25b 4 ; 36x 6 представить в виде куба 8a 3 ; 125x 6 Измените порядок выполнения действий при определенном значении х: 9x 2 возведение в степень - умножение умножение - возведение в степень. Сравнить результаты

Слайд 12

2) путают формулы (Путают “правые” и “левые” части формул) Пример: (3a-2b) 2 =(3a-2b)*(3a+2b) Для устранения этой ошибки надо акцентировать внимание учащихся на том, что во всех ФСУ в одной части формулы - произведение, а в другой сумма. Также полезно для предотвращения ошибок, выполнять задания на внимательность (найти ошибку и проанализировать ее) (x-8)(x+8)=x 2 -64 (2x+3) 2 =4x+9 (5x+3)(3-5x)=25x 2 -9 (x-9) 2 = x 2 +18x+81 (x-6)(x+6) = x 2 -12 3) Ошибаются со знаком пример: (-x-4) 2 = -(x 2 +8x+16) (-x-4) 2 = x 2 -8x+16 Для устранения ошибки, следует с учащимися обводить одночлены и задания из пункта (1)

Слайд 13

4) наибольшие проблемы появляются на этапе применения формул, при действии с алгебраическими дробями Для профилактики этой ошибки следует акцентировать внимание учащихся на том, что квадраты (и вообще четные степени) противоположных выражений равны (a-b) 2 =(b-a) 2 , но (a-b) 3 ≠(b-a) 3

Слайд 14

Мотивация к изучению темы. Для лучшего усвоения темы, запоминания ФСУ и их использования при решении задач будет полезно изучение истории этой задачи (и их геометрического вывода) История ФСУ: Многие ФСУ были известны еще 4 тысячи лет назад. в 6 веке до нашей эры. Общие утверждения о преобразованиях многочленов, применение формул и правил были установлены Пифагором (6 век до н.э. и тогда многие алгебраические выражения доказывались в геометрической форме. a 2 -b 2 (a+b) 2 (a-b) 2

Слайд 15

2) Также заинтересованность в изучении темы “подогревают” математические фокусы: фокус: Задумайте число (до 10) Умножьте его на себя Прибавьте к результату задуманное число к полученной сумме добавьте 1 назовите мне полученный результат и я скажу какое число вы задумали. (решение: x*x+x+1+x = x 2 +2x+1 = (x+1) 2 )