Как сложное сделать решаемым
элективный курс по алгебре

Как сложное сделать решаемым.

Элективные курсы: выбрать – обязан.

 В педагогической деятельности учителя всегда волнует то, что учащиеся знают по той или иной теме, что ещё нового они могут узнать по данной теме, как они могут применить полученные знания для выполнения различных заданий. Главная задача современного педагога – постоянный поиск новых приёмов в обучении и дополнительных сведений к изучаемому материалу для того, чтобы у учеников не пропадал интерес к изучаемому на уроках математики, чтобы их волновал сам факт приобретения новых знаний, как с помощью учителя, так и самостоятельно.

Введение ЕГЭ показало, что при его проведении используются задания тех видов учебного материала, которым учителя (по многим причинам) уделяют недостаточно внимания. Уровень сложности заданий (особенно последние задачи профильного экзамена по математике) существенно выше возможностей среднего ученика. Резко возросла и ответственность за результаты экзамена потому, что он является одновременно и вступительным экзаменом в ВУЗы. Это позволяет сделать вывод о том, что готовить ученика к такому экзамену следует иначе. В связи с переходом на профильное обучение актуальность этого вопроса возрастает.

В «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» сказано, что профильное обучение – средство дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счёт изменений в структуре, содержании организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Профильное обучение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса. При этом существенно расширяются возможности выстраивания учеником индивидуальной образовательной траектории.

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные обязательны для старшеклассников. Они связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Именно они, по существу, и являются важнейшим средством построения индивидуальных образовательных программ, так как в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Элективные курсы как бы «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.

Содержание и форма организации предметных курсов должны быть направлены на расширение знаний учащихся по тому или иному учебному предмету; способствовать самоопределению ученика относительно профиля обучения; соответствовать познавательным возможностям; предоставлять ученику возможность работы на уровне повышенных требований; развивать учебную мотивацию.

Курсы должны помочь ученику оценивать свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, способствовать созданию положительной мотивации на планируемом профиле, помочь ученикам поверить в себя, ответить на вопросы: «Могу ли я, хочу ли я учить это, заниматься этим?» Курсы должны подготовить ученика не только к сдаче экзаменов, но и к успешному обучению в дальнейшем.

Одним из основных разделов курса алгебры является раздел «Тригонометрия». Темы, связанные с тригонометрией, считаются традиционно сложными для изучения в старших классах средней школы. Наибольшие трудности возникают при изучении темы «Тригонометрические уравнения». Учащиеся испытывают затруднения при выполнении заданий, в которых кроме стандартных методов решения следует применить нетрадиционные способы решения. Не все учащиеся справляются с такими заданиями на контрольных работах, на ЕГЭ. Это происходит из-за несоответствия между достаточно большим объёмом содержания и относительно небольшим количеством часов, выделенным на изучение данной темы.

Изучение темы в расширенном объёме помогло бы учащимся лучше усвоить эту тему и в дальнейшем допускать меньше ошибок при выполнении заданий, особенно на ЕГЭ, способствовать возможности решения самых сложных задач экзамена.

Поэтому возникла необходимость разработки элективного курса по решению сложных тригонометрических уравнений для подготовки к сдаче ЕГЭ.

В процессе работы по данной теме была предпринята попытка подобрать необходимый теоретический материал, а также ряд заданий, способствующих более полному обобщению материала по теме «Решение тригонометрических уравнений», которые могут стать основой элективного курса. Часть предложенных заданий может быть разобрана на аудиторных занятиях, часть – может быть предложена для самостоятельного решения учащимися. Все приведённые задания даны с подробным решение и необходимыми пояснениями. Ряд предложенных заданий требует от учеников гибкости мышления, способствует развитию математических способностей учащихся.

Курс  «Решение тригонометрических уравнений»

Количество часов: 20.

Цель: расширить представление учащихся о видах тригонометрических уравнений и методах их решения, выработать умение по применению методов решения, актуализировать базовые знания, формировать умения анализировать ситуации, выбирать метод решения.

С каждым годом всё более возрастают требования к умственной деятельности людей. Поэтому в настоящее время традиционный взгляд на состав предметов, изучаемых школьниками, пересматривается и уточняется. Вводятся новые предметы, специальные курсы и факультативы. Одним из таких специальных курсов в профильных классах может быть «Решение тригонометрических уравнений» стараясь избежать перегрузки учащихся, не загружая программу дополнительными вопросами, данная программа предполагает, прежде всего, наполнениекурса разнообразными, интересными задачами школьной программы, овладение основным программным материалом на другом, более интересном уровне. Более того, так как программа состоит из тем, являющихся поддержкой школьного курса, то ученик может начать посещать занятия с с любой темы.

Для поддержания и развития интереса к спецкурсу на первых занятиях включены в процесс обучения интересные задания. На последующих занятиях возрастает роль теоретических знаний, становятся весьма значимыми такие их качества, как системность и обобщенность. Так как в группе занимаются ученики с разным уровнем подготовки, в процесс обучения на каждом этапе включаются повторение и систематизация опорных знаний.

Большая роль отведена самостоятельной математической деятельности – решению задач, проработке теоретического материала. Важно организовать дифференцированных подход к учащимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующий реализации возможности каждого из них.

Основной целью занятий является оказание помощи при подготовке к ЕГЭ, сдаче профилирующего экзамена при поступлении в ВУЗы, восстановлении и закреплении знаний по математике.

Разумеется, на занятиях спецкурса приходится углубляться настолько, что при этом требуется значительное математическое образование, а это и является целью данного факультатива: направить, подтолкнуть, показать необходимость углубления знаний по математике.

Структура программы

Программа «Решение тригонометрических уравнений» состоит из четырёх разделов:

1. Требования к подготовке учащихся.
2. Содержание обучения.
3. Тематическое планирование учебного материала.
4. Связь спецкурса со школьной программой.

Раздел 1 определяет итоговый уровень умений и навыков, которыми учащиеся должны владеть по окончании курса. Требования распределены по основным содержательным линиям курса и характеризуют тот безусловный минимум, которого должны достигать все учащиеся.

Раздел 2 задаёт минимальный объём материала, обязательного для изучения данного курса.

В разделе 3 приводится конкретное планирование.

Раздел 4 устанавливает взаимосвязь школьной программы и спецкурса.

Требования к подготовке учащихся

Решение стандартных тригонометрических уравнений. Учащиеся должны: уметь решать стандартные тригонометрические уравнения и применять способы их решения на более сложные случаи. Знать формулы корней тригонометрических уравнений, формулы тригонометрии и уметь выполнять тригонометрические преобразования.

Специальные вопросы, связанные с решением тригонометрических уравнений. Знать и уметь проверять ответы к решению уравнений, полученные в разной форме. Уметь отбирать корни уравнения по заданным условиям. Разбираться в вопросах, связанных с сужением области определения уравнения в результате преобразований.

Специальные способы решения тригонометрических уравнений. Правильно выбирать стратегию и метод решения, уметь применять разные способы решения тригонометрических уравнений и распространять их на более сложные случаи.

Нестандартные тригонометрические уравнения. Развивать способности учащихся к самостоятельному поиску путей решения нестандартных и сложных тригонометрических уравнений.

Содержание курса

Решение стандартных тригонометрических уравнений. Изучить решение простейших тригонометрических уравнений. Уметь применять формулы записи решений и формулы частных случаев простейших тригонометрических уравнений. Освоить способы решения простейших тригонометрических уравнений и научить распространять их на более сложные случаи. Уметь решать однородные тригонометрические уравнения и уравнения сводимые к однородным. Алгоритмы решения однородных уравнений первой и второй степени. Уметь применять универсальную тригонометрическую подстановку при решении различных заданий. Тождественные преобразования пр решении уравнений. Решение уравнений с кратным аргументом.

Специальные вопросы, связанные с решением тригонометрических уравнений. Уметь решать вопросы, связанные с формой записи решений уравнений, отбором корней, сужением области определения уравнения.

Специальные способы решения тригонометрических уравнений. Уметь решать уравнения способом возведения в квадрат, при помощи искусственных преобразований, способом экстремальных значений, графическим способом.

Нестандартные тригонометрические уравнения. Уметь решать уравнения с ограничениями, уравнения с суперпозициями, уравнения с параметрами, а также решение задач с помощью скалярного произведения векторов и тригонометрических подстановок.

Типы уроков

При работе в рамках элективного курса можно использовать следующие типы уроков: лекции, практикумы, семинары.

Урок-лекция актуализирует базовые знания, вводит новые приёмы, алгоритмы. Объяснение сопровождается оформлением опорного конспекта. Материал подаётся логически завершёнными порциями. После каждой порции самостоятельная работа, которая даёт возможность увидеть осмысление и освоение вопросов теории.

Урок-семинар приближен к вузовскому занятию, поскольку на нём требуется изучить новую тему. Заранее учащиеся разбиваются на несколько бригад по 3-4 человека. Каждая бригада готовит сообщение по выбранной теме, подбирает соответствующие задания, дидактические пособия. В подготовительный период ученики консультируются с учителем, чтобы успешнее выступить на семинаре. Докладчики назначаются заранее, что не освобождает остальных членов бригады от обязанности дополнить докладчика, или, в случае необходимости, заменить его в любой момент. Семинары усиливают интерес учащихся к математике, учат работать с дополнительной литературой и увлекают этой работой.

На уроке-практикуме отрабатываются практические умения и навыки, с помощью заданий, для решения которых необходимо использовать материал предыдущих тем. Учитель организует работу в классе так, чтобы каждый ученик как можно больше самостоятельно решал задания, при этом используется индивидуальная форма работы. Урок можно начать с устной работы. Затем класс разбивается на группы, в каждой по 4 человека разного уровня подготовки. Один из них консультант. Каждая группа получает свой блок заданий, состоящий из более простых и более сложных заданий. Консультант распределяет задания между учениками. При решении обмениваются приёмами, методами, анализом решения. Закончив задание, отдают его другой группе, а те передают своё задание. Из разных групп по одному ученику решают задания у доски. Такой урок повышает ответственность учащихся за результаты своего труда, развивает самостоятельность в овладении знаниями.

В тематическом планировании дано примерное количество часов по темам. Желательно по каждой теме проводить урок-лекцию или урок-семинар и урок-практикум.

Тематическое планирование

Пример занятия

Занятие 14. Решение тригонометрических уравнений с помощью скалярного произведения векторов

Известно, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними ab=|a||b|cosα. Так как | cosα | ≤ 1, то |ab|≤|a||b|. Если векторы заданы в координатной форме, т.е. a{a1;a2} и b{b1;b2}, то a1a2+b1b2 ≤ .

Пример 1. Решить уравнение

sinx+ cosx= .

Решение. Введём векторы a{sinx;cosx} и b{}, тогда   ab= sinx+ cosx ≤ ,

sinx+ cosx≤ .

Очевидно, что исходное уравнение можно записать в виде ab=|a||b|, но это равенство выполняется, когда угол между векторами равен 00. Значит, векторы сонаправлены, т.е. коллинеарны, а у коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны, т.е.

.

Причём, sinx и cosx имеют одинаковые знаки:

sin2x + sin4x = cos2x + cos4x,

cos2x = 0,

2x =

x=.

Из первоначального уравнения следует, что sinx>0 и cosx>0 (с учётом того, что sinx и cosx одного знака). Ясно, что x=.

Ответ: x = .

Пример 2. Решить уравнение

sinx

Решение. Пусть a{sinx;cosx}, b{}, тогда

sinx.

И знак равенства имеет место, если , откуда x=.

Ответ: x=

Пример 3. Найти все пары (x;y), удовлетворяющие уравнению

sinxcos2y +cosxsin2y + 1 = ).

Решение. Рассмотрим векторы a{sinx;cosx,1}, b{cos2y,sin2y,1}, тогда sinxcos2y+cosxsin2y +1 ≤ =.

Ясно, что векторы a и b для выполнения равенства должны быть сонаправлены, а их соответствующие координаты пропорциональны. Получаем, ,

Последнее равенство можно записать в виде системы

Возводим обе части равенства в квадрат и складываем, получим sin4y+cos4y = 1, откуда siny=0 или cosy =0, что невозможно.

Ответ: решений нет.

Используемая литература.

1.  Бородуля И.Т. Тригонометрические уравнения и неравенства. – М.: Просвещение, 1989. – 239 с.
2. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. – М.: Наука, 1967. – 416 с.
3. Дворянинов С. Задачи В3, В7 – тригонометрия / С.Дворянинов // Математика. – 2011. – № 8. – С.24-25.
4. Клещев В.А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности. //Математика в школе. –1992. – № 6. –С. 17-18.
5. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. Алгебра. Тригонометрия.  3-е изд., перераб. и доп. – М.: ABF, 1995. – 352 с.
6. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2019. – 375 с.
7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл. Задачник. М.: Мнемозина, 2019. – 315 с.
8. Хабибуллин К. Я. Систематизируем методы решения тригонометрических уравнений. // Образование в современной школе. – 2009. – № 9. – С. 30-38.
9. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы.  – М.: Наука, 1983. – 416 с.
10. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач.  – М.: Просвещение, 1989. – 355 с.
11. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Тригонометрические уравнения: методы решений и отбор корней (типовые задания части С1)