Элементы комбинаторики. Размещения.
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Элементы комбинаторики г.Москва , НЧУ ОО ЦПШ «Косинская», учитель математики Клейникова Виктория Германовна 9 класс Часть 3 Учебник «Алгебра. 9 класс» Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. под редакцией Теляковского С.А., М.: Просвещение.

Слайд 2

Содержание 4 Размещения 1 2 3 5 Решаем на уроке Решаем самостоятельно Домашнее задание Формула числа размещений

Слайд 3

Рассмотрим пример Вспомним ПРИМЕР 3. Какие двузначные числа можно записать, используя цифры 1, 2 и 3, если цифры не могут повторяться. Решение. На первом месте может стоять любая из 3-х цифр, на втором месте – любая из 2-х оставшихся цифр. По правилу умножения находим возможное число комбинаций: 3 · 2 = 6 1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2 Это числа: Выбирая по разному порядок цифр, получаем разные числа. Каждую упорядоченную двойку, которую можно составить из 3-х элементов (в нашем случае – из 3-х цифр) называют размещением из трех элементов по два без повторений.

Слайд 4

Рассмотрим пример Обобщим этот пример. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры от 1 до n ( цифры не могут повторяться ) ? Решение. На первом месте может стоять любая из n цифр, на втором месте – любая из (n - 1) оставшихся цифр. Любая такая комбинация цифр будет называться размещением из n элементов по 2 без повторений. По правилу умножения находим возможное число комбинаций: n · (n - 1) Рассмотрим другой пример. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры от 1 до n ( цифры не могут повторяться ) ? Решение. На первом месте может стоять любая из n цифр, на втором месте – любая из (n - 1) оставшихся цифр, на третьем месте – любая из ( n – 2) оставшихся цифр. Любая такая комбинация цифр будет называться размещением из n элементов по 3 (б/п) . По правилу умножения находим возможное число комбинаций: n · (n – 1) · ( n – 2)

Слайд 5

Размещения Размещением из n элементов по k (k n) называется любое множество, состоящее из k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов. Таким образом, два размещения из n элементов по k считаются различными , если они различаются самими элементами или порядком их расположения. Размещения бывают без повторения элементов и с повторениями . Число размещений из n элементов по k без повторений обозначают ( читается: «А из n по k », от франц. arangement - размещение).

Слайд 6

Размещения Ранее было показано, что = n(n – 1) ; 2 числа = n(n – 1) ( n – 2) . 3 числа Очевидно, что = n(n – 1) ( n – 2)· … · (n – (k – 1)) , т.е. = n(n – 1) ( n – 2)· … · (n – k + 1) k чисел Умножим и разделим правую часть этого равенства на ( n –k )!: = Заменим ( n –k )! произведением 1 · 2 · 3 · ... · ( n –k ) и расположим в числителе множители в порядке возрастания: =

Слайд 7

при k < n : = или = n(n – 1) ( n – 2)· … · (n – k + 1) при k = n : = = = n! Действительно, = P n = n! Формула для вычисления числа размещений из n элементов по k (без повторений)

Слайд 8

Решаем на уроке Задача 1. Учащиеся 2-го класса изучают 9 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета? Решение. = 9 · 8 · 7 · 6 = 3024 Вычислите. = = 4 · 3 · 2 = 24 или = = = 4 · 3 · 2 = 24 Вычислите. = = 7 · 6 · 5 · 4 = 840 или = = = 7 · 6 · 5 · 4 = 840

Слайд 9

Решаем на уроке Задача 2. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторения)? Решение. Их семи цифр, среди которых нет нуля, можно составить трехзначных чисел. Но в нашем случае среди цифр присутствует ноль, с которого натуральное число начинаться не может. Число размещений, начинающихся с нуля, равно . Таким образом, искомое число трехзначных чисел равно : - = = = 7 · 6 · 5 – 6 · 5 = 180

Слайд 10

Решаем на уроке №764. Сколько можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 (без их повторения) различных трехзначных чисел, которые являются а)четными? б)кратными 5? Решение. а) Четные числа в этом случае могут оканчиваться либо на 2, либо на 4. Таких чисел 2 · = = 2 · 4 · 3 = 24 б) Числа, кратные 5, в нашем случае могут оканчиваться только на 5. Таких чисел = = 4 · 3 = 12

Слайд 11

Решаем самостоятельно № 754 с. 193 № 755 № 756 № 757 № 760

Слайд 12

Домашнее задание №№ 758, 759, 762, 767 с. 193