Элементы комбинаторики. Примеры комбинаторных задач.
презентация к уроку по алгебре (9 класс)

Слайд 1

Элементы комбинаторики г.Москва , НЧУ ОО ЦПШ «Косинская», учитель математики Клейникова Виктория Германовна 9 класс Часть 1 Учебник «Алгебра. 9 класс» Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. под редакцией Теляковского С.А., М.: Просвещение.

Слайд 2

Содержание 4 Что такое «комбинаторика»? 1 2 3 5 Примеры комбинаторных задач Комбинаторные правила Решаем на уроке Домашнее задание

Слайд 3

Что такое «комбинаторика»? Комбинаторика – это раздел математики, посвященный задачам выбора и расположения элементов некоторого (обычно конечного) множества в соответствии с заданными правилами. Комбинаторные задачи – это задачи на перебор всех возможных вариантов .

Слайд 4

Примеры комбинаторных задач ПРИМЕР 1. В кафе предлагают два первых блюда : борщ, рассольник – и четыре вторых блюда : гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды, которые может заказать посетитель. Решение. Введем обозначения: Б – борщ, Р – рассольник; Г – гуляш, К – котлеты, С – сосиски, П – пельмени. Составим все возможные пары из первого и второго блюд: БГ РГ БК РК БС РС БП РП ИТОГО: 8 обедов. 1- ый способ – перебор всех вариантов.

Слайд 5

Примеры комбинаторных задач ПРИМЕР 1. В кафе предлагают два первых блюда : борщ, рассольник – и четыре вторых блюда : гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Постройте дерево возможных вариантов обеда. Обед Первое блюдо Второе блюдо Б Р Г К С П Г К С П 2 - ой способ – графический- построение дерева вариантов .

Слайд 6

Примеры комбинаторных задач ПРИМЕР 2. Запишите все трехзначные числа, в записи которых используются цифры 1, 2 и 3 без повторения. Решение. 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 Дерево возможных вариантов Цифры: 1-я 2-я 3-я 1 2 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 ВСЕГО: 6 чисел 1- ый способ. 2 - ой способ.

Слайд 7

Примеры комбинаторных задач ПРИМЕР 3. Какие двузначные числа можно записать, используя цифры 1, 2 и 3 ? Решение. 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 ВСЕГО: 9 чисел 1- ый способ.

Слайд 8

Комбинаторные правила Вернемся к примеру 1. ПРИМЕР 1. В кафе предлагают два первых блюда : борщ, рассольник – и четыре вторых блюда : гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Сколько различных обедов может заказать посетитель? Решение. С каждым первым блюдом может сочетаться 4 вторых блюда. Так как первых блюд 2, то чтобы посчитать число всех возможных комбинаций, надо 2 умножить на 4 : 2 · 4 = 8 (обедов) Правило умножения. Если имеется m способов выбрать элемент a и n способов выбрать элемент b , то пару ( a,b ) можно выбрать m · n способами. 3 - ий способ – использование правил и формул.

Слайд 9

Комбинаторные правила Решение. Имеем 3 способа выбрать 1-ую цифру числа и 3 способа выбрать 2-ую цифру числа. По правилу умножения всего можно записать: 3 · 3 = 9 (чисел) С помощью правила умножения решим ПРИМЕР 3. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2 и 3 ? 3 - ий способ.

Слайд 10

Комбинаторные правила Правило умножения можно обобщить для большего числа элементов. Правило умножения (в общем виде). Если имеется m способов выбрать элемент a , n способов выбрать элемент b , … , k способов выбрать элемент t , то набор ( a, b , …, t) можно выбрать m · n · … · k способами.

Слайд 11

Комбинаторные правила Решение. Первой цифрой может быть любая из 3-х цифр, второй цифрой – любая из 2-х оставшихся цифр, третьей цифрой – одна цифра. По правилу умножения количество чисел, в записи которых используются цифры 1, 2 и 3 без повторения, равно: 3 · 2 · 1 = 6 С помощью правила умножения решим ПРИМЕР 2. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых используются цифры 1, 2 и 3 без повторения? 3 - ий способ.

Слайд 12

Комбинаторные правила Решение. 12 + 15 = 27 (способов) ПРИМЕР 4 . В классе 12 мальчиков и 15 девочек. Сколькими способами можно выбрать одного человека из класса на общешкольную конференцию? Правило сложения. Если имеется m способов выбрать элемент a и (независимо от них) n способов выбрать элемент b , то выбрать один элемент – или a , или b - можно m + n способами. Аналогичное правило применяется и для большего числа элементов.

Слайд 13

Комбинаторные правила (обобщение) И a , и в Или a , или в Правило умножения Правило сложения Если имеется m способов выбрать элемент a и n способов выбрать элемент b , то выбор a и b можно сделать m · n способами. Если имеется m способов выбрать элемент a и n способов выбрать элемент b , то выбор a или b можно сделать m + n способами.

Слайд 14

Решаем на уроке № 715 с. 185 № 716 № 718

Слайд 15

Сегодня на уроке узнали: Что такое «комбинаторные задачи»? Какие правила применяются для решения комбинаторных задач? Какие способы используются для решения комбинаторных задач?

Слайд 16

Домашнее задание №№ 719, 726, 727 с. 185

Слайд 17

Решаем на уроке Задача. При встрече 5 человек обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий? Решение. А Д Г В Б АБ БВ ВГ ГД АВ БГ ВД АГ БД АД 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (рукопожатий) 1- ый способ. 3 - ий способ. 2 - ой способ. 5 · 4 : 2 = 10 Сосчитаем отрезки.

Слайд 18

Решаем на уроке № 722 с. 186 В соревнованиях по футболу участвовало 12 команд. Каждая команда провела с каждой из остальных по одной игре на своем поле и по одной игре на поле соперника. Сколько игр всего было сыграно? Решение. 3 - ий способ. Чем эта задача отличается от предыдущей? 12 · 11 = 132 (игры)

Слайд 19

Решаем на уроке Задача Государственные регистрационные номера состоят из буквы, трех цифр, еще двух букв и номера региона. Буквы и цифры могут повторяться. Можно использовать только 12 букв: А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х. Цифры можно брать любые от 0 до 9. В качестве номера для московских автомобилей используется одно из чисел 77, 97, 99, 177, 197, 199, 777, 799. Сколько всего можно составить регистрационных номеров для автомобилей в Москве? Решение. 12 ·10 · 10 · 10 · 12 · 12 · 8 = 12 3 · 10 3 · 8 = 13 824 000 3 - ий способ.

Слайд 20

Домашнее задание №№ 720, 721 с. 185