Разложение многочлена на множители
презентация к уроку по алгебре (7 класс)

Слайд 1

Слайд 2

СПОСОБЫ РАЗЛОЖЕНИЯ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ

Слайд 3

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ Алгоритм отыскания общего множителя: 1 . найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем; 2 . найти общую буквенную часть для всех членов многочлена (выбрать наименьший показатель степени ); 3 . произведение коэффициента и общей буквенной части, найденных на первом и втором шагах, является общим множителем, который выносим за скобки.

Слайд 4

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ Разложить на множители: 5y 4 x − 20y 2 Решение: 1. Наибольший общий делитель коэффициентов 5 и 20 равен 5 2. Общая буквенная часть с наименьшим показателем степени - y 2 3 . Произведение коэффициента и общей буквенной части , найденных на первом и втором шагах, т. е . 5y 2 , является общим множителем , который и выносим за скобки 5y 4 x − 20y 2 = 5y 2 (y 2 x − 4)

Слайд 5

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ № 1. Разложить на множители: а) 4х 2 + 12х б) a 5 b − 2 a 3 в) 5 a 3 b 2 c − 1 0 a 2 bc + 15abc г) 2 x (a + b) − 3 y 2 (a + b)

Слайд 6

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ № 1. Проверь себя: а) 4х 2 + 12х = 4x(x +3) б) a 5 b − 2 a 3 = a 3 (a 2 b − 2) в) 5 a 3 b 2 c − 1 0 a 2 bc + 15abc = 5abc(a 2 b − 2a + 3) г) 2 x (a + b) − 3 y 2 (a + b) = (a + b)(2 x − 3 y 2 )

Слайд 7

СПОСОБ ГРУППИРОВКИ Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, надо: 1. объединяем слагаемые многочлена в группы (обычно по два, реже по три и т. д.), которые содержат общий множитель ; 2. выносим общий множитель за скобки ; 3. полученные произведения имеют общий множитель в виде многочлена, который снова выносим за скобки.

Слайд 8

СПОСОБ ГРУППИРОВКИ Разложить на множители: х 2 + ху + 3х + 3у Решение: 1. Объединим в одну группу х 2 и ху , во вторую - 3у и 3х 2. В первой группе можно вынести за скобку х , во второй – 3. 3 . Теперь мы видим, что полученные произведения имеют общий множитель ( х + у), который можно вынести за скобку х 2 + ху + 3х + 3у = (х 2 + ху ) + (3х + 3у) = = х ( х + у) + 3( х + у) = ( х + у)( х +3)

Слайд 9

СПОСОБ ГРУППИРОВКИ Разложить на множители: х 2 + ху + 3х + 3у Решение: 1. Объединим в одну группу х 2 и 3х , во вторую - ху и 3у 2. В первой группе можно вынести за скобку х , во второй – у. 3 . Теперь мы видим, что полученные произведения имеют общий множитель ( х + 3), который можно вынести за скобку х 2 + ху + 3х + 3у = (х 2 + 3х) + ( ху + 3у) = = х ( х + 3) + у( х + 3) = ( х + 3)( х +у)

Слайд 10

СПОСОБ ГРУППИРОВКИ № 2. Разложить на множители: а) ab + 3a + 4b + 12 б) 5 у 2 + у + у 3 + 5 в) ах − 3х + 6 − 2а г) 6х 2 − х + 6 − х 3

Слайд 11

СПОСОБ ГРУППИРОВКИ № 2. Проверь себя: а) ab + 3a + 4b + 12 = ( ab + 4b ) + ( 3a + 12 ) = = b ( a + 4 ) + 3 ( a + 4) = ( a + 4 )( b + 3 ) б) 5 у 2 + у + у 3 + 5 = ( 5 у 2 + у 3 ) + (у + 5) = = у 2 ( 5 + у) + 1 (у + 5) = ( 5 + у)(у 2 + 1) в) ах − 3х − 2а + 6 = х ( х − 3) − 2(а − 3) = = ( х − 3)( х − 2) г) 6х 2 − х + 6 − х 3 = (6х 2 − х 3 ) + (− х + 6) = = х 2 (6 − х ) + 1 (6 − х ) = (6 − х )(х 2 + 1)

Слайд 12

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b ) (разность квадратов) a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2 (квадрат суммы) a 2 − 2 ab + b 2 = ( a − b ) 2 (квадрат разности) a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ( разность кубов ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) ( сумма кубов )

Слайд 13

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Разложить на множители: y 4 − 4х 2 Решение: 1. Выражение y 4 можно представить в виде квадрата: y 4 = (y 2 ) 2 2. Выражение 4х 2 можно представить в виде квадрата: 4х 2 = (2х) 2 3 . Таким образом мы получаем разность квадратов двух выражений y 4 − 4х 2 = (y 2 ) 2 − (2х) 2 = (y 2 − 2х)(y 2 + 2х) a 2 − b 2 = ( a − b )( a + b )

Слайд 14

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Разложить на множители: y 2 + 4ху + 4х 2 Решение: 1 . Выражение y 2 − это квадрат выражения y 2. Выражение 4х 2 − это квадрат выражения 2х 3 . Выражение 4ху − это удвоенное произведение первого и второго выражения 4. Таким образом мы получаем квадрат суммы двух выражений y 2 + 4ху + 4х 2 = y 2 + 2 ∙ 2х ∙ у + (2х) 2 = (у + 2х) 2 = = (у + 2х)(у + 2х) a 2 + 2 ab + b 2 = ( a + b ) 2

Слайд 15

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Разложить на множители: y 3 − 8х 6 Решение: 1 . Выражение y 3 − это куб выражения y 2. Выражение 8х 6 − это куб выражения 2х 2 3 . Таким образом мы получаем разность кубов двух выражений y 3 − 8х 6 = y 3 − (2х 2 ) 3 = ( y − 2х 2 )(у 2 + 2х 2 у + 4х 4 ) a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Слайд 16

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ № 3. Разложить на множители: а) 4 − 36а 2 б) а 2 − 12а + 36 в) 1000 − х 3 № 4. Реши уравнение: х 2 − 49 = 0

Слайд 17

С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ № 3. Проверь себя: а) 4 − 36а 2 = (2 − 6а)(2 + 6а) б) а 2 − 12а + 36 = (а − 6) 2 = (а − 6)(а − 6) в) 1000 − х 3 = (10 − х )(100 +10х + х 2 ) № 4. Проверь себя: х 2 − 49 = 0 ( х − 7)( х + 7) = 0 ( х − 7) = 0 ( х + 7) = 0 х = 7 х = −7