Алгебра 10, Производная
презентация к уроку по алгебре (10 класс)

Слайд 1

Вычисление производных. Формулы дифференцирования

Слайд 2

Упражнение: Продолжите утверждения: Если ‒ закон прямолинейного движения тела, то производная выражает мгновенную скорость в момент времени . Если к графику функции в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси , то выражает угловой коэффициент касательной . Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием функции . Если функция дифференцируема в точке , то она и непрерывна в этой точке.

Слайд 3

Формулы дифференцирования:

Слайд 4

Пример: Найти значение производной функции в точке . Решение: Ответ: .

Слайд 5

Пример: Найти значение производной в точке . Решение: Ответ: .

Слайд 6

Формулы дифференцирования:

Слайд 7

Пример: Найти производную в точке . Решение: Ответ: .

Слайд 8

Пример: Найти значение производной функции в точке . Решение: Ответ: .

Слайд 9

Пример: Составить уравнение касательной к графику функции в точке . Решение:

Слайд 10

Формулы дифференцирования:

Слайд 1

Правила дифференцирования

Слайд 2

Давайте повторим: ̶ приращение аргумента ̶ приращение функции − определение производной в точке Обозначим ,

Слайд 3

Производная суммы Доказательство: 1. Приращение суммы функций в точке : 2. Найдем разностное о т ношение: 3. Найдем :

Слайд 4

Лемма : Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке, то есть Доказательство:

Слайд 5

Постоянный множитель

Слайд 6

Производная произведения Доказательство: 1. Приращение в точке : 2. Вычислим разностное отношение: 3. Найдем производную:

Слайд 7

Пример : Найти производную функции Решение: Ответ: .

Слайд 8

Производная частного Доказательство: Выведем формулу : 1. Найдем приращение функции : 2. Определим разностное отношение: 3. Найдем производную функции:

Слайд 9

Воспользуемся правилом нахождения производной произведения функций.

Слайд 10

Пример : Найти производную функции . Решение: Ответ: .

Слайд 11

Докажем, что Известно, что . Используя правило нахождения производной произведения функций, найдем производные функций: Докажем, что формула справедлива и при других значениях . Метод математической индукции для любого и

Слайд 12

Пример : Найти производную функции . Решение: Ответ: .

Слайд 13

Пример: Найти производную функции . Решение: Ответ: .

Слайд 14

Пример: Найти производную функции . Решение: Ответ:

Слайд 15

Основные правила:

Слайд 1

Уравнение касательной к графику функции

Слайд 2

Упражнение: Найдите производные функций:

Слайд 3

Составить уравнение касатель - ной к графику функции в точке с абсциссой . Если в некоторой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную оси абсцисс, то в этой точке функция дифференцируема и существует. Если к графику функции в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси , то выражает угловой коэффициент касательной :

Слайд 4

Пример: К графику функции провести касательную в точке . Решение:

Слайд 5

Пример: К графику функции провести касательную в точке . Решение:

Слайд 6

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции : Обозначить абсциссу точки касания буквой . Вычислить . Найти и вычислить . Подставить найденные числа в общее уравнение касательной .

Слайд 8

Пример: Вычислить приближенно . Решение: Ответ:

Слайд 9

Пример: Вычислить приближенное значение выражения . Решение: Ответ:

Слайд 10

Сложная кривая в окрестности точки заменяется прямой (касательной к графику функции) и если не велики, то для каждой функции можно вывести соответствующую формулу, по которой осуществляются приближенные вычисления.

Слайд 1

Применение производной для исследования функций на монотонность

Слайд 2

Упражнение: Составить уравнения касательных к графикам функций в точке с абсциссой , если: , , ,

Слайд 4

Если функция возрастает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неотрицательна ; если функция убывает на промежутке и имеет на нем производную, то производная неположительна . Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка выполняется неравенство (причем либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция возрастает на промежутке Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка выполняется неравенство (причем либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция убывает на промежутке

Слайд 5

– возрастает – убывает

Слайд 6

Пример: Доказать, что функция возрастает на всей числовой прямой. Решение:

Слайд 7

Пример: Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой; укажите характер монотонности. Решение: , если – четное – возрастает на всей числовой прямой

Слайд 8

Пример: Исследовать на монотонность и построить график функции . Решение: или или , при , при Функция возрастает при , функция убывает при функция возрастает функция убывает

Слайд 9

На промежутке Если , то Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка выполняется равенство , то функция постоянна на .

Слайд 10

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка выполняется неравенство (причем либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция возрастает на промежутке Теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка выполняется неравенство (причем либо не выполняется, либо выполняется лишь в конечном множестве точек), то функция убывает на промежутке Теорема 3. Если во всех точках открытого промежутка выполняется равенство , то функция постоянна на .