Принцип преемственности в обучении математике в средней и старшей школе.
статья по алгебре

ПРИНЦИП ПРЕЕМСТВЕННОСТИ В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ В ОСНОВНОЙ И СТАРШЕЙ ШКОЛЕ

Федеральный Государственный Образовательный Стандарт второго поколения направлен на обеспечение равных возможностей получения качественного образования, духовно-нравственного развития и воспитания обучающихся. Наряду с другими направлениями выбрано обеспечение единства образовательного пространства Российской Федерации. Под образовательным пространством России понимается вся совокупность её образовательных учреждений, разного типа взаимодействующих с ними общественных и государственных организаций, а также идущих образовательных и учебно-воспитательных процессов. Вместе они создают пространство социализации человека, превращения его в личность, обеспечивают определенный уровень образованности, интеллекта и культуры общества, межличностных, политических, экономических, социальных, военных, этических и всех других отношений.

Развитие общества происходит благодаря передаче социальных и культурных ценностей от поколения к поколению, от формации к формации. Развитие человеческой личности также происходит поэтапно, и для создания единого непрерывного образовательного процесса на смежных этапах необходимо создание системы связей, обеспечивающей взаимодействие основных задач, содержания и методов обучения и воспитания.

Достижение современного качества образования невозможно без обеспечения преемственных связей между всеми ступенями обучения.

Преемственность – связь между различными этапами или ступенями развития, сущность которой состоит в сохранении тех или иных элементов целого или отдельных его характеристик при переходе к новому состоянию.

Под преемственностью в обучении мы будем понимать связь между этапами в процессе обучения и развития.

Преемственность содержания образования – это непрерывное развитие предметно-содержательного компонента, который на каждом возрастном этапе является базой для последующего изучения учебного предмета на более высоком уровне за счет расширения и углубления тематики, путем обеспечения сквозных линий в содержании, повторений, пропедевтики, а также использование принципа концентрированности в организации содержания учебных программ и межпредметных связей.

В педагогике преемственность рассматривается как методологическая позиция, важнейшее условие развития педагогической науки и организации продуктивной педагогической деятельности, как один из главных принципов обучения, воспитания и развития воспитанников, обеспечения системы непрерывного образования, мастерства и творчества педагогов.

В процессе обучения математике в основной школе учащиеся приобретают определенное количество опорных знаний и умений, составляющих тот фундамент, на котором согласно принципу преемственности может базироваться их дальнейшее обучение в старшей школе. Следовательно, если выпускник основной школы не имеет прочной базы по математике, то он не готов к усвоению курса математики в старшей школе.

Каждый новый этап обучения должен быть связан с предшествующим, служить предпосылкой для последующего обучения. Связь и преемственность этапов обучения способствует доступности учебного материала, прочности его усвоения, познавательных способностей обучаемых, что, в свою очередь, обеспечивает системность в формировании знаний, умений и навыков у старшеклассников. Преемственность и последовательность в обучении позволяют разрешить противоречие между необходимостью формирования у будущих выпускников целостной системы математических знаний, умений, навыков и дискретным характером изучения учебного материала. Преемственность в содержании математической подготовки выступает как непрерывный процесс развертывания структурных компонентов содержания, плавный переход от одного этапа обучения к другому, постепенное усложнение содержания учебной информации, последовательная смена уровня требований к объему и глубине усвоения знаний, умений и навыков. В этом случае каждая следующая ступень образовательной системы является естественным продолжением, развитием предыдущей, что характерно при спиралевидном расположении материала, а учащиеся имеют возможность постепенно и непрерывно расширять знания по конкретной учебной проблеме, не допуская разрывов.

Рассмотрим на примере изучения уравнений один из вариантов обеспечения преемственности в алгебре, использующий последовательное систематическое повторение материала на разных этапах его изучения.

Уравнения занимают центральное место в школьном курсе алгебры. Они имеют не только важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее большинство задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. В курсе алгебры уравнениям также отводится значительное место. По мере того, как вводятся новые виды выражений и изучаются их преобразования, расширяется и круг рассматриваемых уравнений.

При изучении любой темы уравнения могут быть использованы как эффективное средство мотивации, закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, развития творческой математической деятельности учащихся. Операции над числами и свойства этих операций, функции и свойства функций, а также связанные с этими вопросами алгебраические преобразования в процессе изучения сразу же могут находить отражение в упражнениях на решение уравнений. Поэтому реализуя преемственность при изучении уравнений, необходимо обеспечить преемственность не только в самой содержательной линии, но и между уравнениями и изучением функций, числовых множеств, выражений и их преобразований.

При изучении раздела «Уравнения» необходимо учитывать два противоположных направленных процесса, сопровождающие обучение. Первый процесс – постепенное возрастание количества классов уравнений и приемов их решения, различных преобразований применяемых в решении. За счет увеличения объема материала изучение его новых фрагментов затрудняется наличием уже изученных. Второй процесс – установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление все более общих классов, закрепление все более обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений. Для того чтобы оба этих процесса не вступали в противоречие, необходимо обобщить и систематизировать материал за курс основной школы с использованием принципа преемственности.

Для этого на уроках вводного повторения и при актуализации знаний учащихся перед изучением в 10 классе раздела «Уравнения» мы считаем целесообразным проанализировать развертывание основных аспектов знаний об уравнениях в курсе алгебры основной школы. Владея определенным багажом знаний и умений, учащиеся могут самостоятельно или при помощи учителя провести их обобщение и систематизацию, что позволит составить целостное представление о развитии линии уравнений в курсе алгебры.

Теоретический материал изучен в курсе основной школы по теме «Уравнения», поэтому необходимо повторить, систематизировать и обобщить используя принцип преемственности:

1) основные понятия и термины: неизвестное число; уравнение (левая часть уравнения, правая часть уравнения, член уравнения); корень уравнения; что значит решить уравнение; линейное уравнение; основные свойства уравнений; квадратное уравнение; формулы корней квадратного уравнения; рациональное и иррациональное уравнение;

2) основные теоретические сведения, используемые при решении уравнений:

• свойства арифметических действий: переместительное, сочетательное, распределительное;
• основные свойства уравнений:

• любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный;
• обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю;
• условие равенства нулю произведения и частного двух чисел;
• определение модуля числа.

Затем для удобства систематизации материала и создания условий для наглядного восприятия, можно предложить учащимся в процессе повторения составить следующую таблицу (речь идет об уравнениях с одним неизвестным), в которой они описывают основные классы функций, изученные ими в курсе алгебры 7–9 классов.

При заполнении этой таблицы учащиеся вспоминают изученные классы уравнений, алгоритмы и способы их решения, а также отмечают особенности решения каждого класса уравнений.

На основании таблицы учащиеся систематизируют классы уравнений, изученные в курсе алгебры основной школы, и выделяют общие приемы решения этих классов уравнений (преобразование уравнения для приведения его к простейшему виду). Например: путем тождественных преобразований выражений в левой и правой частях уравнения (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.д.) и использования свойств уравнений; заменой переменных и подстановкой; разложением на множители; с использованием свойств и графиков функции; сведением к системе уравнений и неравенств.

 Заполнив таблицу и выделив общие приемы решения рассмотренных классов уравнений, учащиеся убеждаются, что раздел «Уравнения» богат по содержанию, по способам и приемам решения уравнений.

Далее учителю предоставляется возможность ввести новые классы уравнений, тем самым показывая, что изучение раздела «Уравнения» не стоит на месте, а получает дальнейшее развитие в курсе алгебры 10 класса.

Например, учитель может попросить учащихся составить соответствие между изученными классами функций и определенными классами уравнений. Ученики без труда составляют такое соответствие: линейная функция–линейное уравнение, квадратичная функция–квадратное уравнение, обратная пропорциональность–дробно-рациональное уравнение, функция – иррациональное уравнение. Далее учитель предлагает продолжить это соответствие для изученных в 10 классе функций: тригонометрические функции– тригонометрические уравнения, показательная функция–показательные уравнения, логарифмическая функция–логарифмические уравнения, степенные функции–иррациональные уравнения. Затем на конкретных примерах учитель показывает, что есть такие уравнения, с которыми ранее учащиеся не встречались (например, 54х+1 = 9). Так учащиеся приходят к мысли, что в 10 классе происходит расширение классов уравнений. При этом ясно, что каждый новый класс уравнений будет изучаться по такой же схеме, что и в курсе основной школы, с использованием знакомой терминологии и приемов решения.

На протяжении изучения раздела «Уравнения» старшеклассники продолжают заполнять таблицу «Основные классы уравнений» по мере знакомства с новыми классами, а также систематизируют способы решения новых классов уравнений: алгебраический метод (метод замены переменной и подстановки), использование формул тождественных преобразований, функциональный, графический, метод решения однородных уравнений. Таким образом, к концу изучения раздела у учащихся происходит обобщение и систематизация по теме «Уравнения» за весь курс изучения алгебры. На одном из уроков, завершающих изучение уравнений, целесообразно представить схему, где показаны внутрипредметные связи по теме «Уравнения» курса средней школы, из которой видно, что целостная система знаний возможна лишь при взаимном проникновении знаний по алгебре за курс основной школы и основными понятиями алгебры старших классов.

Внутрипредметные связи по теме «Уравнения»

Таким образом, изучение каждого класса уравнений на новом этапе обучения позволяет осуществить повторение ранее изученного на более высоком уровне, устанавливая причинно-следственные связи, находя общее между объектами и явлениями, ранее казавшимися далекими друг от друга, выявляя различия между объектами и явлениями, ранее казавшимися сходными. Основой для этого выступает принцип преемственности.

Последовательное осуществление преемственности придаёт обучению перспективный характер, при котором отдельные темы рассматриваются не изолированно друг от друга, а в той взаимосвязи, которая позволяет изучение каждой текущей темы строить не только с опорой на предыдущие знания, но и широкой ориентировкой на последующие темы. Обучение с соблюдением преемственности воспитывает действенность, активность знаний и умений, способность использовать их при решении теоретических и практических задач.